Уравнение равноускоренного поступательного движения. Ускорение
Механика
Формулы кинематики:
Кинематика
Механическое движение
Механическим движением называется изменение положения тела (в пространстве) относительно других тел (с течением времени).
Относительность движения. Система отсчета
Чтобы описать механическое движение тела (точки), нужно знать его координаты в любой момент времени. Для определения координат следует выбрать тело отсчета и связать с ним систему координат . Часто телом отсчета служит Земля, с которой связывается прямоугольная декартова система координат. Для определения положения точки в любой момент времени необходимо также задать начало отсчета времени.
Система координат, тело отсчета, с которым она связана, и прибор для измерения времени образуют систему отсчета , относительно которой рассматривается движение тела.
Материальная точка
Тело, размерами которого в данных условиях движения можно пренебречь, называют материальной точкой .
Тело можно рассматривать как материальную точку, если его размеры малы по сравнению с расстоянием, которое оно проходит, или по сравнению с расстояниями от него до других тел.
Траектория, путь, перемещение
Траекторией движения называется линия, вдоль которой движется тело. Длина траектории называется пройденным путем . Путь – скалярная физическая величина, может быть только положительным.
Перемещением называется вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории.
Движение тела, при котором все его точки в данный момент времени движутся одинаково, называется поступательным движением . Для описания поступательного движения тела достаточно выбрать одну точку и описать ее движение.
Движение, при котором траектории всех точек тела являются окружностями с центрами на одной прямой и все плоскости окружностей перпендикулярны этой прямой, называется вращательным движением.
Метр и секунда
Чтобы определить координаты тела, необходимо уметь измерять расстояние на прямой между двумя точками. Любой процесс измерения физической величины заключается в сравнении измеряемой величины с единицей измерения этой величины.
Единицей измерения длины в Международной системе единиц (СИ) является метр . Метр равен примерно 1/40 000 000 части земного меридиана. По современному представлению метр – это расстояние, которое свет проходит в пустоте за 1/299 792 458 долю секунды.
Для измерения времени выбирается какой-нибудь периодически повторяющийся процесс. Единицей измерения времени в СИ принята секунда . Секунда равна 9 192 631 770 периодам излучения атома цезия при переходе между двумя уровнями сверхтонкой структуры основного состояния.
В СИ длина и время приняты за независимые от других величины. Подобные величины называются основными .
Мгновенная скорость
Для количественной характеристики процесса движения тела вводится понятие скорости движения.
Мгновенной скоростью поступательного движения тела в момент времени t называется отношение очень малого перемещения Ds к малому промежутку времени Dt, за который произошло это перемещение:
Мгновенная скорость – векторная величина. Мгновенная скорость перемещения всегда направлена по касательной к траектории в сторону движения тела.
Единицей скорости является 1 м/с. Метр в секунду равен скорости прямолинейно и равномерно движущейся точки, при которой точка за время 1 с перемещается на расстояние 1 м.
Ускорение
Ускорением называется векторная физическая величина, равная отношению очень малого изменения вектора скорости к малому промежутку времени, за которое произошло это изменение, т.е. это мера быстроты изменения скорости:
Метр в секунду за секунду – это такое ускорение, при котором скорость тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно, за время 1 с изменяется на 1 м/с.
Направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора изменения скорости () при очень малых значениях промежутка времени, за который происходит изменение скорости.
Если тело движется по прямой и его скорость возрастает, то направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора скорости; при убывании скорости – противоположно направлению вектора скорости.
При движении по криволинейной траектории направление вектора скорости изменяется в процессе движения, вектор ускорения при этом может оказаться направлен под любым углом к вектору скорости.
Равномерное, равноускоренное прямолинейное движение
Движение с постоянной скоростью называется равномерным прямолинейным движением . При равномерном прямолинейном движении тело движется по прямой и за любые равные промежутки времени проходит одинаковые пути.
Движение, при котором тело за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения, называют неравномерным движением . При таком движении скорость тела изменяется с течением времени.
Равнопеременным называется такое движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется на одинаковую величину, т.е. движение с постоянным ускорением.
Равноускоренным называется равнопеременное движение, при котором величина скорости возрастает. Равнозамедленным – равнопеременное движение, при котором величина скорости уменьшается.
Графическое представление равномерного прямолинейного движения
Механическое движение представляют графическим способом. Зависимость физических величин выражают при помощи функций. Обозначают:
V (t) - изменение скорости со временем
a(t) - изменение ускорения со временем
За висимость ускорения от времени . Так как при равномерном движении ускорение равно нулю, то зависимость a(t) - прямая линия, которая лежит на оси времени.
Зависимость скорости от времени . Так как тело движется прямолинейно и равномерно (v = const ), т.е. скорость со временем не изменяется, то график с зависимостью скорости от времени v(t) - прямая линия, параллельная оси времени.
Проекция перемещения тела
численно равна площади прямоугольника АОВС под графиком, так как величина
вектора перемещения равна произведению вектора скорости на время, за которое
было совершено перемещение.
Правило определения пути по графику v(t): при прямолинейном равномерном движении модуль вектора перемещения равен площади прямоугольника под графиком скорости.
Зависимость перемещения от времени. График s(t) - наклонная линия:
Из графика видно, что проекция скорости равна:
Рассмотрев эту формулу, мы можем сказать, чем больше угол, тем быстрей движется тело и оно проходит больший путь за меньшее время.
Правило определения скорости по графику s(t): Тангенс угла наклона графика к оси времени равен скорости движения.
Неравномерное прямолинейное движение.
Равномерное движение это движение с постоянной скоростью. Если скорость тела меняется, говорят, что оно движется неравномерно.
Движение, при котором тело за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения, называют неравномерным или переменным движением .
Для характеристики неравномерного движения вводится понятие средней скорости.
Средняя скорость движения равна отношению всего пути, пройденного материальной точкой к промежутку времени, за который этот путь пройден.
В физике наибольший интерес представляет не средняя, а мгновенная скорость , которая определяется как предел, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени Δt :
Мгновенной скоростью переменного движения называют скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории .
Мгновенная скорость тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке.
Различие между средней и мгновенной скоростями показано на рисунке.
Движение тела, при котором его скорость за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, называют равноускоренным или равнопеременным движением .
Ускорение - это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости, численно равная отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло.
Если скорость изменяется одинаково в течение всего времени движения, то ускорение можно рассчитать по формуле:
Обозначения:
V x - Скорость тела при равноускоренном движении по прямой
V x o - Начальная скорость тела
a x - Ускорение тела
t - Время движения тела
Ускорение показывает, как быстро изменяетcя скорость тела. Если ускорение положительно, значит скорость тела увеличивается, движение ускоренное. Если ускорение отрицательно, значит скорость уменьшается, движение замедленное.
Единица измерения ускорения в СИ [м/с 2 ].
Ускорение измеряют акселерометром
Уравнение скорости для равноускоренного движения:v x = v xo + a x t
Уравнение равноускоренного прямолинейного движения (перемещение при равноускоренном движении):
Обозначения:
S x - Перемещение тела при равноускоренном движении по прямой
V x o - Начальная скорость тела
V x - Скорость тела при равноускоренном движении по прямой
a x - Ускорение тела
t - Время движения тела
Еще формулы, для нахождения перемещения при равноускоренном прямолинейном движении, которые можно использовать при решении задач:
Если известны начальная, конечная скорости движения и ускорение.
Если известны начальная, конечная скорости движения и время всего движения
Графическое представление неравномерного прямолинейного движения
Механическое движение представляют графическим способом. Зависимость физических величин выражают при помощи функций. Обозначают:
V(t) - изменение скорости со временем
S(t) - изменение перемещения (пути) со временем
1) Аналитический способ.Считаем шоссе прямолинейным. Запишем уравнение движения велосипедиста. Так как велосипедист двигался равномерно, то его уравнение движения:
(начало координат помещаем в точку старта, поэтому начальная координата велосипедиста равна нулю).
Мотоциклист двигался равноускоренно. Он также начал движение с места старта, поэтому его начальная координата равна нулю, начальная скорость мотоциклиста также равна нулю (мотоциклист начал двигаться из состояния покоя).
Учитывая, что мотоциклист начал движение на позже, уравнение движения мотоциклиста:
При этом скорость мотоциклиста изменялась по закону:
В момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста их координаты равны, т.е. или:
Решая это уравнение относительно , находим время встречи:
Это квадратное уравнение. Определяем дискриминант:
Определяем корни:
Подставим в формулы числовые значения и вычислим:
Второй корень отбрасываем как несоответствующий физическим условиям задачи: мотоциклист не мог догнать велосипедиста через 0,37 с после начала движения велосипедиста, так как сам покинул точку старта только через 2 с после того, как стартовал велосипедист.
Таким образом, время, когда мотоциклист догнал велосипедиста:
Подставим это значение времени в формулу закона изменения скорости мотоциклиста и найдем значение его скорости в этот момент:
2) Графический способ.
На одной координатной плоскости строим графики изменения со временем координат велосипедиста и мотоциклиста (график для координаты велосипедиста — красным цветом, для мотоциклиста — зеленым). Видно, что зависимость координаты от времени для велосипедиста — линейная функция, и график этой функции — прямая (случай равномерного прямолинейного движения). Мотоциклист двигался равноускоренно, поэтому зависимость координаты мотоциклиста от времени — квадратичная функция, графиком которой является парабола.
Одним из самых распространенных видов перемещения объектов в пространстве, с которым человек встречается повседневно, является равноускоренное прямолинейное движение. В 9 классе общеобразовательных школ в курсе физики изучают подробно этот вид движения. Рассмотрим его в статье.
Кинематические характеристики движения
Прежде чем приводить формулы, описывающие равноускоренное прямолинейное движение в физике, рассмотрим величины, которые его характеризуют.
В первую очередь это пройденный путь. Будем его обозначать буквой S. Согласно определению, путь - это расстояние, которое тело прошло вдоль траектории перемещения. В случае прямолинейного движения траектория представляет собой прямую линию. Соответственно, путь S - это длина прямого отрезка на этой линии. Он в системе физических единиц СИ измеряется в метрах (м).
Скорость или как часто ее называют линейная скорость - это быстрота изменения положения тела в пространстве вдоль его траектории перемещения. Обозначим скорость буквой v. Измеряется она в метрах в секунду (м/с).
Ускорение - третья важная величина для описания прямолинейного равноускоренного движения. Она показывает, как быстро во времени изменяется скорость тела. Обозначают ускорение символом a и определяют его в метрах в квадратную секунду (м/с 2).
Путь S и скорость v являются переменными характеристиками при прямолинейном равноускоренном движении. Ускорение же является величиной постоянной.
Связь скорости и ускорения
Представим себе, что некоторый автомобиль движется по прямой дороге, не меняя свою скорость v 0 . Это движение называется равномерным. В какой-то момент времени водитель стал давить на педаль газа, и автомобиль начал увеличивать свою скорость, приобретя ускорение a. Если начинать отсчет времени с момента, когда автомобиль приобрел ненулевое ускорение, тогда уравнение зависимости скорости от времени примет вид:
Здесь второе слагаемое описывает прирост скорости за каждый промежуток времени. Поскольку v 0 и a являются постоянными величинами, а v и t - это переменные параметры, то графиком функции v будет прямая, пересекающая ось ординат в точке (0; v 0), и имеющая некоторый угол наклона к оси абсцисс (тангенс этого угла равен величине ускорения a).
На рисунке показаны два графика. Отличие между ними заключается только в том, что верхний график соответствует скорости при наличии некоторого начального значения v 0 , а нижний описывает скорость равноускоренного прямолинейного движения, когда тело начало из состояния покоя ускоряться (например, стартующий автомобиль).
Отметим, если в примере выше водитель вместо педали газа нажал бы педаль тормоза, то движение торможения описывалось бы следующей формулой:
Этот вид движения называется прямолинейным равнозамедленным.
Формулы пройденного пути
На практике часто важно знать не только ускорение, но и значение пути, который за данный период времени проходит тело. В случае прямолинейного равноускоренного движения эта формула имеет следующий общий вид:
S = v 0 * t + a * t 2 / 2.
Первый член соответствует равномерному движению без ускорения. Второй член - это вклад в пройденный путь чистого ускоренного движения.
В случае торможения движущегося объекта выражение для пути примет вид:
S = v 0 * t - a * t 2 / 2.
В отличие от предыдущего случая здесь ускорение направлено против скорости движения, что приводит к обращению в ноль последней через некоторое время после начала торможения.
Не сложно догадаться, что графиками функций S(t) будут ветви параболы. На рисунке ниже представлены эти графики в схематическом виде.
Параболы 1 и 3 соответствуют ускоренному перемещению тела, парабола 2 описывает процесс торможения. Видно, что пройденный путь для 1 и 3 постоянно увеличивается, в то время как для 2 он выходит на некоторую постоянную величину. Последнее означает, что тело прекратило свое движение.
Задача на определение времени движения
Автомобиль должен отвести пассажира из пункта A в пункт B. Расстояние между ними 30 км. Известно, что авто в течение 20 секунд движется с ускорением 1 м/с 2 . Затем его скорость не меняется. За какое время авто доставит пассажира в пункт B?
Расстояние, которое авто за 20 секунд пройдет, будет равно:
При этом скорость, которую он наберет за 20 секунд, равна:
Тогда искомое время движения t можно вычислить по следующей формуле:
t = (S - S 1) / v + t 1 = (S - a * t 1 2 / 2) / (a * t 1) + t 1 .
Здесь S - расстояние между A и B.
Переведем все известные данные в систему СИ и подставим в записанное выражение. Получим ответ: t = 1510 секунд или приблизительно 25 минут.
Задача на расчет пути торможения
Теперь решим задачу на равнозамедленное движение. Предположим, что грузовой автомобиль двигался со скоростью 70 км/ч. Впереди водитель увидел красный сигнал светофора и начал останавливаться. Чему равен тормозной путь авто, если он остановился за 15 секунд.
S = v 0 * t - a * t 2 / 2.
Время торможения t и начальную скорость v 0 мы знаем. Ускорение a можно найти из выражения для скорости, учитывая, что ее конечное значение равно нулю. Имеем:
Подставляя полученное выражение в уравнение, приходим к конечной формуле для пути S:
S = v 0 * t - v 0 * t / 2 = v 0 * t / 2.
Подставляем значения из условия и записываем ответ: S = 145,8 метра.
Задача на определение скорости при свободном падении
Пожалуй, самым распространенным в природе прямолинейным равноускоренным движением является свободное падение тел в поле гравитации планет. Решим следующую задачу: тело с высоты 30 метров отпустили. Какую скорость будет оно иметь в момент падения на поверхность земли?
Где g = 9,81 м/с 2 .
Время падения тела определим из соответствующего выражения для пути S:
S = g * t 2 / 2;
t = √(2 * S / g).
Подставляем время t в формулу для v, получаем:
v = g * √(2 * S / g) = √(2 * S * g).
Значение пройденного телом пути S известно из условия, подставляем его в равенство, получаем: v = 24,26 м/с или около 87 км/ч.