אקסיומת השלמות של מספרים ממשיים. אקסיומות של מספרים ממשיים
תיאוריות מתמטיות, ככלל, מוצאות את דרכן החוצה בעובדה שהן מאפשרות לעבד קבוצה אחת של מספרים (נתונים ראשוניים) למערכת אחרת של מספרים, המהווה מטרת ביניים או סופית של חישובים. מסיבה זו, פונקציות מספריות תופסות מקום מיוחד במתמטיקה וביישומיה. הם (ליתר דיוק, מה שנקרא פונקציות מספריות הניתנות להבדלה) מהווים את האובייקט העיקרי של המחקר של הניתוח הקלאסי. אבל כל תיאור שלם של תכונות הפונקציות הללו מנקודת המבט של המתמטיקה המודרנית, כפי שכבר יכולת להרגיש בבית הספר וכפי שתראה בקרוב, הוא בלתי אפשרי בלי הגדרה מדויקתקבוצה של מספרים ממשיים שעליהם פועלות פונקציות אלו.
מספר במתמטיקה, כמו זמן בפיזיקה, ידוע לכולם, אך אינו מובן רק למומחים. זוהי אחת ההפשטות המתמטיות העיקריות, שככל הנראה טרם עברה אבולוציה משמעותית ואת סיפורה ניתן להקדיש לקורס אינטנסיבי עצמאי. כאן אנו מתכוונים רק לרכז את מה שהקורא יודע בעצם על מספרים ממשיים מהתיכון, תוך הדגשת בצורה של אקסיומות את התכונות היסודיות והבלתי תלויות של מספרים. יחד עם זאת, המטרה שלנו היא לתת הגדרה מדויקת של מספרים ממשיים המתאימים לשימוש מתמטי שלאחר מכן ולהפוך תשומת - לב מיוחדתעל תכונת השלמות שלהם, או המשכיות, שהיא הנבט של המעבר אל הגבול - הפעולה הלא אריתמטית העיקרית של הניתוח.
§ 1. אקסיומטיקה וכמה מאפיינים כלליים של קבוצת המספרים הממשיים
1. הגדרת קבוצת המספרים הממשיים
הגדרה 1. קבוצה E נקראת קבוצת המספרים הממשיים (אמיתיים), והאלמנטים שלה נקראים ממשיים (אמיתיים)
מספרים אם קבוצת התנאים הבאה, הנקראת אקסיומטיה של מספרים ממשיים, מתקיימת:
(ט) אקסיומות של חיבור
מיפוי מוגדר (פעולת הוספה)
הקצאת לכל זוג אלמנטים מסודר מ-E אלמנט כלשהו שנקרא סכום x ו-y. במקרה זה מתקיימים התנאים הבאים:
יש אלמנט נייטרלי 0 (נקרא אפס במקרה של חיבור) כזה שלכל
לכל אלמנט יש אלמנט שנקרא מול כזה ש
מבצע 4 הוא אסוציאטיבי, כלומר, עבור כל אלמנט מ
פעולה 4 היא קומוטטיבית, כלומר, עבור כל רכיב של E,
אם מוגדרת פעולה על קבוצה כלשהי שעונה על האקסיומות, אז נאמר שהמבנה של קבוצה ניתן על או שיש קבוצה. אם הפעולה נקראת תוספת, אז הקבוצה נקראת תוספת. אם, בנוסף, ידוע שהפעולה היא קומוטטיבית, כלומר, התנאי מתקיים, אז הקבוצה נקראת קומוטטיבית או אבליאנית. אז האקסיומות אומרות ש-E היא קבוצה אבלית מתווספת.
(II) אקסיומות הכפל
מיפוי מוגדר (פעולת כפל)
הקצאת לכל זוג אלמנטים מסודר מ-E אלמנט כלשהו, הנקרא מכפלת x ו-y, ובאופן כזה שמתקיימים התנאים הבאים:
1. יש אלמנט ניטרלי במקרה של כפל באחד) כזה
2. לכל אלמנט יש אלמנט שנקרא הפוך, כזה ש
3. הפעולה היא אסוציאטיבית, כלומר כל אחת מ-E
4. הפעולה היא קומוטטיבית, כלומר לכל
שימו לב שבקשר לפעולת הכפל, ניתן לאמת שהקבוצה היא קבוצה (מכפלת).
(א, ב) קשר בין חיבור לכפל
הכפל הוא חלוקתי ביחס לחיבור, כלומר.
שימו לב, לאור הקומוטטיביות של הכפל, השוויון האחרון נשמר אם סדר הגורמים בשני חלקיו הפוך.
אם בקבוצה כלשהי יש שתי פעולות המקיימות את כל האקסיומות המפורטות, אז זה נקרא שדה אלגברי או פשוט שדה.
(III) אקסיומות של סדר
יש קשר בין היסודות של E, כלומר, עבור יסודות מ-E נקבע אם הוא מתקיים או לא. במקרה זה, יש לעמוד בתנאים הבאים:
היחס נקרא יחס אי השוויון.
קבוצה, שבין חלק מהאלמנטים שלה קיים יחס המקיים את האקסיומות 0, 1, 2, כידוע נקראת מסודרת חלקית, ואם, בנוסף, אקסיומה 3 מתקיימת, כלומר כל שני אלמנטים של הקבוצה ניתנים להשוואה. , אז הסט נקרא מסודר ליניארי.
לפיכך, קבוצת המספרים הממשיים מסודרת ליניארית לפי יחסי אי השוויון בין האלמנטים שלה.
(א, ג) קשר בין חיבור לסדר בר'
אם x, הם אלמנטים של R, אז
(II, III) קשר בין כפל לסדר בר'
אם הם אלמנטים של R, אז
(IV) אקסיומת השלמות (המשכיות)
אם X ו-Y הם תת-קבוצות לא ריקות של E שיש להן את המאפיין של רכיבים כלשהם, אז קיים כזה שלכל אלמנט .
זה משלים את רשימת האקסיומות שההתגשמות שלהן בכל קבוצה E מאפשרת להתייחס לקבוצה הזו כמימוש קונקרטי או, כמו שאומרים, מודל של מספרים ממשיים.
הגדרה זו פורמלית אינה מניחה כל מידע מקדים על מספרים, וממנה, "כולל מחשבה מתמטית", שוב, פורמלית, עלינו כבר לקבל את שאר התכונות של מספרים ממשיים כמשפטים. ברצוננו להעיר כמה הערות לא רשמיות לגבי הפורמליזם האקסיומטי הזה.
תארו לעצמכם שלא עברתם מהוספת תפוחים, קוביות או כמויות אחרות בשם להוספת מספרים טבעיים מופשטים; שלא מדדתם קטעים ולא הגעתם למספרים רציונליים; שאינך יודע את התגלית הגדולה של הקדמונים שהאלכסון של ריבוע אינו תואם לצלעו ולכן אורכו אינו יכול להיות מספר רציונלי, כלומר, יש צורך במספרים אי-רציונליים; שאין לך מושג של "יותר" שעולה בתהליך המדידה, שאתה לא ממחיש לעצמך סדר, למשל, על ידי תמונה של קו מספרים. אם כל זה לא היה מתרחש מראש, אזי מערכת האקסיומות המנויה לא רק שלא הייתה נתפסת כתוצאה מובהקת של התפתחות רוחנית, אלא הייתה נראית לפחות מוזרה וממילא כיצירת פנטזיה שרירותית.
לגבי כל מערכת מופשטת של אקסיומות, לפחות שתי שאלות עולות מיד.
ראשית, האם האקסיומות הללו תואמות, כלומר, האם יש קבוצה שעומדת בכל התנאים לעיל? זוהי שאלת העקביות של האקסיומטיקה.
שנית, האם מערכת האקסיומות הנתונה קובעת באופן ייחודי את האובייקט המתמטי, כלומר, כפי שיאמרו הלוגיקים, היא מערכת האקסיומות קטגורית.
יש להבין את חוסר הבהירות כאן כדלקמן. אם אנשים A ו-B, באופן עצמאי, בנו מודלים משלהם, למשל, של מערכות מספריות המקיימות את האקסיומטיקה, אזי ניתן ליצור התאמה בין הקבוצות, גם אם היא משמרת פעולות אריתמטיות ויחס הסדר, כלומר.
מנקודת מבט מתמטית, במקרה זה, הם פשוט מימושים (מודלים) שונים (שווים לחלוטין) של מספרים ממשיים (לדוגמה, שברים עשרוניים אינסופיים, ו- נקודות על קו המספרים). מימושים כאלה נקראים איזומורפיים, והמיפוי נקרא איזומורפיזם. התוצאות של פעילות מתמטית, אם כן, אינן מתייחסות למימוש אינדיבידואלי, אלא לכל מודל ממעמד המודלים האיזומורפיים של אקסיומטיקה נתונה.
לא נדון כאן בשאלות הנ"ל ונסתפק בתשובות אינפורמטיביות עליהן.
תשובה חיובית לשאלה על העקביות של אקסיומטיקה היא תמיד מותנית. לגבי מספרים, זה נראה כך: בהתבסס על האקסיומטיקה של תורת הקבוצות שאומצה על ידינו (ראה פרק א', סעיף 4, פריט 2), נוכל לבנות קבוצה של מספרים טבעיים, ולאחר מכן קבוצה של רציונליים, ו , לבסוף, קבוצה E של כל המספרים הממשיים שעונה על כל המאפיינים לעיל.
אקסיומה של המשכיות (שלמות). ו ו את אי השוויון , יש מספר אמיתי זה לכולם ו יש יחס
מבחינה גיאומטרית, אם נתייחס למספרים ממשיים כנקודות על קו, ההצהרה הזו נראית ברורה. אם שני סטים ו הם כאלה שעל קו המספרים כל האלמנטים של אחד מהם נמצאים משמאל לכל האלמנטים של השני, אז יש מספר , הפרדהשתי הקבוצות הללו, כלומר שוכבות מימין לכל האלמנטים (למעט אולי ה ) ומשמאל לכל האלמנטים (אותו סעיף).
יש לציין כאן שלמרות ה"מובן מאליו" של תכונה זו, עבור מספרים רציונליים הוא לא תמיד מרוצה. לדוגמה, שקול שתי קבוצות:
A = \(x \in \mathbb(Q): x > 0, \; x^2< 2\}, \quad B = \{x \in \mathbb{Q}: x >0,\; x^2 > 2\)
קל לראות את זה עבור כל אלמנט ו את אי השוויון . למרות זאת רַצִיוֹנָלִימספרים , המפריד בין שתי הקבוצות הללו, אינו קיים. ואכן, מספר זה יכול להיות רק אבל זה לא רציונלי.
תפקידה של אקסיומה של המשכיות בבניית ניתוח מתמטי
המשמעות של אקסיומה של המשכיות היא כזו שבלעדיה בנייה קפדנית של ניתוח מתמטי בלתי אפשרית. לשם המחשה, אנו מציגים מספר הצהרות ניתוח בסיסיות, שהוכחה להן מבוססת על המשכיות של מספרים ממשיים:
- (משפט ויירשטראס).כל רצף מוגבל מונוטוני מתכנס
- (משפט בולצאנו-קאוצ'י).פונקציה רציפה בקטע שלוקח ערכים של סימנים שונים בקצותיו נעלמת בנקודה פנימית כלשהי של הקטע
- (קיום של כוח, אקספוננציאלי, לוגריתמי וכל הפונקציות הטריגונומטריות על כל תחום ההגדרה ה"טבעי").לדוגמה, הוכח כי עבור כל ושלמים קיים , כלומר פתרון המשוואה . זה מאפשר לך לקבוע את הערך של הביטוי לכל רציונלי :
לבסוף, שוב בשל המשכיות קו המספרים, ניתן לקבוע את ערך הביטוי כבר לשרירותיות . באופן דומה, באמצעות מאפיין המשכיות, אנו מוכיחים את קיומו של המספר לכל .
במשך תקופה היסטורית ארוכה, מתמטיקאים הוכיחו משפטים מניתוח, ב"מקומות דקים" בהתייחסו להצדקה הגיאומטרית, ולעתים קרובות יותר דילגו עליהם לחלוטין, מכיוון שזה היה ברור. נעשה שימוש במושג המהותי של המשכיות ללא כל הגדרה ברורה. רק בשליש האחרון של המאה ה-19 יצר המתמטיקאי הגרמני קרל ויירשטראס את האריתמטיזציה של הניתוח, ובנה את התיאוריה הקפדנית הראשונה של מספרים ממשיים כשברים עשרוניים אינסופיים. הוא הציע את ההגדרה הקלאסית של הגבול בשפה , הוכיח מספר אמירות שנחשבו "ברורות" לפניו, ובכך השלים את בניית היסוד של הניתוח המתמטי.
מאוחר יותר הוצעו גישות אחרות להגדרה של מספר ממשי. בגישה האקסיומטית, המשכיות של מספרים ממשיים מוגדרת במפורש כאקסיומה נפרדת. בגישות קונסטרוקטיביות לתורת המספרים הממשיים, כמו בבניית מספרים ממשיים באמצעות קטעי Dedekind, תכונת ההמשכיות (בניסוח כזה או אחר) מוכחת כמשפט.
הצהרות אחרות של נכס המשכיות והצעות שוות ערך
ישנם מספר הצהרות שונות המבטאות את תכונת ההמשכיות של מספרים ממשיים. ניתן לקחת כל אחד מהעקרונות הללו כבסיס לבניית התיאוריה של המספר הממשי כאקסיומה של המשכיות, וניתן לגזור ממנה את כל האחרים. נושא זה נדון ביתר פירוט בחלק הבא.
המשכיות לפי דדקינד
שאלת המשכיות המספרים הממשיים דן ביצירתו "המשכיות ומספרים אי-רציונליים". בו הוא משווה את המספרים הרציונליים לנקודות של ישר. כידוע, בין מספרים רציונליים לנקודות של קו ישר, ניתן ליצור התאמה כאשר נקודת ההתחלה ויחידת המידה של הקטעים נבחרות על הקו הישר. בעזרת האחרון, על כל מספר רציונלי לבנות את הקטע המתאים, ולשים אותו בצד ימין או שמאל, תלוי אם יש מספר חיובי או שלילי, קבל נקודה מתאים למספר . אז כל מספר רציונלי תואמת נקודה אחת ויחידה על קו ישר.
מסתבר שיש אינסוף נקודות על הקו שאינן מתאימות לשום מספר רציונלי. לדוגמה, נקודה המתקבלת על ידי שרטוט אורך האלכסון של ריבוע הבנוי על קטע יחידה. לפיכך, בתחום המספרים הרציונליים אין את זה שְׁלֵמוּת, או הֶמשֵׁכִיוּת, הטבועה בקו ישר.
כדי לברר ממה מורכבת המשכיות זו, דדקינד מעיר את ההערה הבאה. אם היא נקודה מסוימת של הקו, אז כל נקודות הקו מתחלקות לשתי מחלקות: נקודות הממוקמות משמאל , ומצביע ימינה . עצם הנקודה ניתן לשייך באופן שרירותי למעמד הנמוך או העליון. דדקינד רואה את מהות ההמשכיות בעקרון ההפוך:
מבחינה גיאומטרית, עיקרון זה נראה מובן מאליו, אך איננו בעמדה להוכיח זאת. דדקינד מדגיש שבמהותו עיקרון זה הוא הנחה, המבטאת את המהות של אותה תכונה המיוחסת לקו הישיר, שאנו מכנים המשכיות.
הצעה זו מקבילה גם לעקרון ההמשכיות של דדקינד. יתרה מכך, ניתן להראות כי הצהרת משפט האינפימיום נובעת ישירות מקביעת משפט העליון, ולהיפך (ראה להלן).
Lemma כריכה סופית (עקרון היינה-בורל)
כריכה סופית לממה (היינה - בורל). בכל מערכת של מרווחים המכסה קטע, קיימת תת-מערכת סופית המכסה קטע זה.
הלמה של נקודת הגבלה (עקרון בולצאנו-ויירשטראס)
Limit Point Lemma (בולצאנו - ויירשטראס). לכל קבוצת מספרים מוגבלת אינסופית יש לפחות נקודת גבול אחת.
שוויון של משפטים המבטאים את המשכיות קבוצת המספרים הממשיים
בואו נעיר כמה הערות מקדימות. לפי ההגדרה האקסיומטית של מספר ממשי, אוסף המספרים הממשיים מספק שלוש קבוצות של אקסיומות. הקבוצה הראשונה היא אקסיומות השדה. הקבוצה השנייה מבטאת את העובדה שקבוצת המספרים הממשיים היא קבוצה מסודרת ליניארית, ויחס הסדר תואם את הפעולות הבסיסיות של השדה. לפיכך, קבוצת האקסיומות הראשונה והשנייה אומרות שקבוצת המספרים הממשיים היא שדה מסודר. קבוצת האקסיומות השלישית מורכבת מאקסיומה אחת - אקסיומה של המשכיות (או שלמות).
כדי להראות את השקילותם של ניסוחים שונים של המשכיות המספרים הממשיים, יש להוכיח שאם אחת מהטענות הללו מתקיימת עבור שדה מסודר, אז כל האחרות נכונות.
מִשׁפָּט. לתת - קבוצה שרירותית מסודרת ליניארית. ההצהרות הבאות שוות ערך:
- לא משנה מה הסטים הלא ריקים ו , כזה שלכל שני אלמנטים ו את אי השוויון , יש אלמנט כזה זה לכולם ו יש קשר
- לכל סעיף ב יש אלמנט שמייצר את הקטע הזה
- כל קבוצה לא ריקה מוגבלת למעלה יש עליונות
- כל קבוצה לא ריקה מוגבלת למטה יש אינפימום
כפי שניתן לראות ממשפט זה, ארבעת המשפטים הללו משתמשים רק במה שמופיע הציגו יחס סדר ליניארי, ואל תשתמשו במבנה השדה. כך, כל אחד מהם מבטא את הקניין כסט מסודר ליניארי. תכונה זו (של קבוצה שרירותית בסדר ליניארי, לאו דווקא קבוצת המספרים הממשיים) נקראת המשכיות, או שלמות, על פי דדקינד.
הוכחת השקילות של משפטים אחרים כבר דורשת מבנה שדה.
מִשׁפָּט. לתת - שדה מסודר שרירותי. המשפטים הבאים שווים:
- (כסט מסודר ליניארי) הוא Dedekind שלם
- ל מילא את העיקרון של ארכימדסו עקרון של מקטעים מקוננים
- ל עקרון היינה-בורל מתגשם
- ל עקרון בולצאנו-ויירשטראס מתגשם
תגובה. כפי שניתן לראות מהמשפט, עקרון המקטעים המקוננים בפני עצמו אינו שווה ערךעקרון ההמשכיות של דדקינד. עקרון המקטעים המקוננים נובע מעקרון ההמשכיות של Dedekind, אך להיפך נדרש לדרוש בנוסף שהשדה המסודר סיפק את האקסיומה של ארכימדס
את ההוכחה למשפטים לעיל ניתן למצוא בספרים מהביבליוגרפיה המובאת להלן.
כתוב סקירה על המאמר "המשכיות של קבוצת המספרים הממשיים"
הערות
סִפְרוּת
- קודריאבצב, ל.ד.קורס ניתוח מתמטי. - מהדורה 5. - מ .: "דרופה", 2003. - ת' 1. - 704 עמ'. - ISBN 5-7107-4119-1.
- פיכטנגולטס, ג.מ.יסודות הניתוח המתמטי. - מהדורה 7. - M .: "FIZMATLIT", 2002. - ת' 1. - 416 עמ'. - ISBN 5-9221-0196-X.
- דדקינד, ר.= Stetigkeit und irrationale Zahlen. - מהדורה רביעית מתוקנת. - אודסה: Mathesis, 1923. - 44 עמ'.
- זוריך, V.A.ניתוח מתמטי. חלק א' - אד. 4, מתוקן .. - מ .: "MTsNMO", 2002. - 657 עמ'. - ISBN 5-94057-056-9.
- המשכיות של פונקציות ותחומים מספריים: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Kantor. - מהדורה שלישית. - נובוסיבירסק: ANT, 2005. - 64 עמ'.
קטע המאפיין את המשכיות של קבוצת המספרים הממשיים
– אז על זה אני מרחם – כבוד האדם, שלוות הנפש, הטהרה, ולא את הגב והמצח שלהם, שלא משנה כמה מלקות, איך שלא תתגלחו, כולם יישארו אותו גב ומצח."לא, לא, ואלפי פעמים לא, לעולם לא אסכים איתך," אמר פייר.
בערב, הנסיך אנדריי ופייר עלו לכרכרה ונסעו להרי הקירח. הנסיך אנדריי, שהביט בפייר, קטע מדי פעם את השתיקה בנאומים שהוכיחו שהוא במצב רוח טוב.
הוא סיפר לו, מצביע על השדות, על שיפוריו הכלכליים.
פייר שתק קודר, ענה בחד-הברות, ונראה שקוע במחשבותיו שלו.
פייר חשב שהנסיך אנדריי אומלל, שהוא טעה, שאינו מכיר את האור האמיתי, ושפייר צריך לבוא לעזרתו, להאיר ולגדלו. אבל ברגע שפייר הבין איך ומה הוא יגיד, הייתה לו תחושה מוקדמת שהנסיך אנדריי יעזוב כל דבר בתורתו במילה אחת, בוויכוח אחד, והוא פחד להתחיל, פחד לחשוף את מקדש אהובו בפני אפשרות ללעג.
"לא, למה אתה חושב," פתח לפתע פייר, הוריד את ראשו ולובש צורה של שור נגוע, למה אתה חושב כך? אתה לא צריך לחשוב ככה.
– על מה אני חושב? שאל הנסיך אנדרו בהפתעה.
- על החיים, על מטרת האדם. זה לא יכול להיות. זה מה שחשבתי, וזה הציל אותי, אתה יודע מה? בנייה חופשית. לא, אתה לא מחייך. הבנייה החופשית היא לא כת דתית, לא פולחנית, כפי שחשבתי, אבל הבנייה החופשית היא הטוב ביותר, הביטוי היחיד להיבטים הטובים והנצחיים של האנושות. – והוא התחיל להסביר לנסיך אנדריי את הבונים החופשיים, כפי שהוא מבין זאת.
הוא אמר שהבנייה החופשית היא הוראת הנצרות, משוחררת מכבלי המדינה והדת; תורת השוויון, האחווה והאהבה.
– רק לאחוותינו הקדושה יש משמעות אמיתית בחיים; כל השאר הוא חלום", אמר פייר. – אתה מבין, ידידי, שמחוץ לאיחוד הזה הכל מלא שקרים ואי-אמת, ואני מסכים איתך, שלא נשאר כלום לאדם חכם וטוב לב, ברגע שכמוך יחיה את חייו, מנסה. רק לא להפריע לאחרים. אבל תטמיע לעצמך את האמונות הבסיסיות שלנו, הצטרף לאחווה שלנו, תתן את עצמך אלינו, תן לעצמך להוביל, ועכשיו תרגיש, כפי שהרגשתי, חלק מהשרשרת הענקית, הבלתי נראית, שתחילתה חבויה בשמים, – אמר פייר.
הנסיך אנדריי, בדממה, מביט לפניו, הקשיב לנאומו של פייר. כמה פעמים, מבלי לשמוע את רעש הכרכרה, ביקש מפייר מילים שלא נשמעו. מתוך הברק המיוחד שנדלק בעיני הנסיך אנדריי, ומתוך שתיקתו, ראה פייר, כי אין דבריו לשווא, שהנסיך אנדריי לא יפריע לו ולא יצחק מדבריו.
הם נסעו עד נהר מוצף, אותו נאלצו לחצות במעבורת. בזמן התקנת הכרכרה והסוסים הם הלכו למעבורת.
הנסיך אנדריי, נשען על המעקה, הביט בדממה לאורך המבול הזורח מהשמש השוקעת.
- נו, מה אתה חושב על זה? – שאל פייר, – מדוע אתה שותק?
- מה שאני חושב? הקשבתי לך. כל זה כך, – אמר הנסיך אנדרי. – אבל אתה אומר: הצטרף לאחוותינו, ונראה לך את תכלית החיים ואת תכלית האדם ואת החוקים השולטים בעולם. אבל מי אנחנו האנשים? למה אתה יודע הכל? למה אני היחיד שלא רואה את מה שאתה רואה? אתה רואה את ממלכת הטוב והאמת עלי אדמות, אבל אני לא רואה אותה.
פייר קטע אותו. האם אתה מאמין בחיים עתידיים? - הוא שאל.
- לחיים הבאים? – חזר הנסיך אנדריי, אך פייר לא נתן לו זמן לענות ולקח את החזרה הזו להכחשה, במיוחד מאחר שהכיר את ההרשעות האתאיסטיות הקודמות של הנסיך אנדריי.
– אתה אומר שאינך יכול לראות את ממלכת הטוב והאמת עלי אדמות. ואני לא ראיתי אותו, ואתה לא יכול לראות אותו אם אתה מסתכל על החיים שלנו כסוף של הכל. על פני האדמה, דווקא על האדמה הזו (פייר הצביע על השדה), אין אמת – הכל שקר ורוע; אבל בעולם, בכל העולם, יש מלכות של אמת, ואנחנו עתה בני הארץ, ולעולם בני כל העולם. האם אני לא מרגיש בנפשי שאני חלק מהמכלול העצום וההרמוני הזה. האם אני לא מרגיש שאני נמצא במספר העצום, האין ספור הזה של ישויות שבהן בא לידי ביטוי האלוהי - הכוח הגבוה ביותר, כמו שאתה אוהב - שאני חוליה אחת, צעד אחד מיצורים נמוכים יותר לגבוהים יותר. אם אני רואה, אני רואה בבירור את הסולם הזה שמוביל מהצומח לאדם, אז למה לי לשער שהסולם הזה נקטע אצלי, ולא מוביל עוד ועוד. אני מרגישה שלא רק שאני לא יכולה להיעלם, כמו ששום דבר בעולם לא נעלם, אלא שתמיד אהיה ותמיד הייתי. אני מרגיש שמלבדי רוחות חיות מעלי ושיש אמת בעולם הזה.
"כן, זו תורתו של הרדר," אמר הנסיך אנדריי, "אבל לא זה, נשמתי, תשכנע אותי, אלא חיים ומוות, זה מה שמשכנע. זה משכנע שאתה רואה יצור יקר לך, שקשור אליך, לפניו היית אשם וקיווית להצדיק את עצמך (הנסיך אנדריי רעד בקולו והסתובב) ופתאום היצור הזה סובל, סובל ומפסיק להיות ... למה? לא יכול להיות שאין תשובה! ואני מאמין שהוא... זה מה שמשכנע, זה מה ששכנע אותי, – אמר הנסיך אנדרי.
"טוב, כן, כן," אמר פייר, "זה לא מה שאני אומר גם!"
- לא. אני רק אומר שלא טיעונים משכנעים אותך בצורך בחיים עתידיים, אלא כשאתה הולך בחיים יד ביד עם אדם, ופתאום האדם הזה נעלם לשום מקום, ואתה בעצמך נעצר מול התהום הזו להסתכל על זה. והסתכלתי...
- נו, אז מה! אתה יודע מה יש ומה זה מישהו? יש חיים עתידיים. מישהו הוא אלוהים.
הנסיך אנדרו לא ענה. הכרכרה והסוסים הובאו מזמן לצד השני וכבר הונחו, והשמש כבר נעלמה לחצי, וכפור הערב כיסה את השלוליות ליד המעבורת בכוכבים, ופייר ואנדריי, להפתעה. מהלקים, העגלונים והמובילים, עדיין עמדו על המעבורת ודיברו.
- אם יש אלוהים ויש חיים עתידיים, אז יש אמת, יש סגולה; והאושר הגבוה ביותר של האדם הוא לשאוף להשיגם. עלינו לחיות, עלינו לאהוב, עלינו להאמין, – אמר פייר, – שאיננו חיים כעת רק על פיסת האדמה הזו, אלא חיינו ונחיה שם לנצח בכל דבר (הוא הצביע לשמים). הנסיך אנדריי עמד נשען על מעקה המעבורת, והאזין לפייר, מבלי להסיר את עיניו, הביט בהשתקפות האדומה של השמש על פני המבול הכחול. פייר שותק. היה שקט לגמרי. המעבורת נחתה מזמן, ורק גלי הזרם בקול קלוש פגעו בתחתית המעבורת. נדמה היה לנסיך אנדריי שהשטיפה הזו של הגלים אומרת לדברי פייר: "נכון, תאמין לזה".
הנסיך אנדריי נאנח, ובמבט זוהר, ילדותי, עדין, הביט אל מול חברו המעלה של פייר הסמוק, הנלהב, אך עדיין ביישן.
"כן, אם זה היה המקרה!" - הוא אמר. "עם זאת, בוא נלך לשבת," הוסיף הנסיך אנדריי, ויצא מהמעבורת, הביט בשמים, שעליהם הצביע לו פייר, ולראשונה, לאחר אוסטרליץ, ראה את השמים הגבוהים והנצחיים, אשר הוא. ראה שוכב על שדה אוסטרליץ, ומשהו ישן ארוך, משהו הכי טוב שהיה בו, התעורר פתאום בשמחה ובנעורים בנפשו. הרגשה זו נעלמה ברגע שהנסיך אנדריי נכנס שוב לתנאי החיים הרגילים, אך הוא ידע שהתחושה הזו, שלא ידע כיצד לפתח, חיה בו. פגישה עם פייר הייתה עבור הנסיך אנדריי תקופה שממנה, אמנם במראה החיצוני זה היה אותו הדבר, אבל בעולם הפנימי, החלו חייו החדשים.
כבר החל להחשיך כשהנסיך אנדריי ופייר נסעו אל הכניסה הראשית של בית ליסוגורסקי. בזמן שהם נסעו למעלה, הנסיך אנדריי משך בחיוך את תשומת לבו של פייר לסערה שהתרחשה במרפסת האחורית. זקנה כפופה עם תרמיל על גבה, וגבר נמוך קומה בחלוק שחור ועם שיער ארוך, שראה כרכרה נכנסת פנימה, מיהר לרוץ בחזרה דרך השער. שתי נשים רצו אחריהם, וארבעתם, כשהם מסתכלים לאחור על הכרכרה, רצו מפוחדים במעלה המרפסת האחורית.
"אלה הם המכונות של אלוהים," אמר הנסיך אנדריי. הם לקחו אותנו לאבא שלהם. וזהו הדבר היחיד שבו היא אינה מצייתת לו: הוא מצווה להסיע את המשוטטים הללו, והיא מקבלת אותם.
- מה הם אנשי אלוהים? שאל פייר.
הנסיך אנדריי לא הספיק לענות לו. יצאו המשרתים לקראתו, והוא שאל היכן הנסיך הזקן וכמה זמן הם מחכים לו.
הנסיך הזקן עדיין היה בעיר, והם חיכו לו כל דקה.
הנסיך אנדריי הוביל את פייר למגוריו, שתמיד חיכו לו בסדר מופתי בבית אביו, והוא עצמו הלך למשתלה.
"בואי נלך אל אחותי," אמר הנסיך אנדריי, ושב אל פייר; – עוד לא ראיתי אותה, היא מסתתרת כעת ויושבת עם אנשי האלוהים שלה. שרת אותה נכון, היא תהיה נבוכה, ואתה תראה את עם ה'. C "est curieux, ma parole. [זה מוזר, בכנות.]
- Qu "est ce que c" est que [מהו] העם של אלוהים? שאל פייר.
- אבל אתה תראה.
הנסיכה מרי הייתה ממש נבוכה והסמיקה בנקודות כשהן נכנסו אליה. בחדרה הנעים עם המנורות מול מארזי האייקונים, על הספה, בסמובר, ישב לידה נער צעיר עם אף ארוך ושיער ארוך, ובחבית נזירית.
על כורסה, לידו, ישבה זקנה מקומטת ורזה עם הבעה ענווה של פני ילד.
- אנדריי, pourquoi ne pas m "avoir prevenu? [אנדריי, למה לא הזהירו אותי?] - היא אמרה בתוכחה ענווה, עומדת מול הנודדים שלה, כמו תרנגולת מול תרנגולות.
– Charmee de vous voir. Je suis tres contente de vous voir, [שמח מאוד לראות אותך. אני כל כך שמחה לראות אותך,] אמרה לפייר, בעודו מנשק את ידה. היא הכירה אותו בילדותו, ועכשיו ידידותו עם אנדריי, חוסר המזל שלו עם אשתו, והכי חשוב, פניו הטובות והפשוטות, חיבבו אותה עליו. היא הביטה בו בעיניה היפות והקורנות ונראה היה שאמרה: "אני אוהבת אותך מאוד, אבל בבקשה אל תצחק על שלי." לאחר שהחליפו את ביטויי הברכה הראשונים, הם התיישבו.
"אה, ואיבנושקה כאן," אמר הנסיך אנדריי, והצביע בחיוך על הנודד הצעיר.
– אנדרו! אמרה הנסיכה מרי בתחינה.
- Il faut que vous sachiez que c "est une femme, [דע שזו אישה] - אמר אנדריי לפייר.
אנדרה, au nom de Dieu! [אנדריי, למען השם!] – חזרה הנסיכה מריה.
ניכר היה שיחסו המלגלג של הנסיך אנדריי כלפי המשוטטים והשתדלותה חסרת התועלת של הנסיכה מרי עבורם היו יחסים רגילים, הקימו ביניהם.
- Mais, ma bonne amie, - אמר הנסיך אנדריי, - vous devriez au contraire m "etre reconaissante de ce que j" explique a Pierre votre intimite avec ce jeune homme ... [אבל, ידידי, אתה צריך להיות אסיר תודה לי שאני מסביר לפייר את הקרבה שלך לאיש הצעיר הזה.]
– וריימנט? [באמת?] – אמר פייר בסקרנות וברצינות (על כך הנסיכה מרי הייתה אסירת תודה לו במיוחד), והציץ מבעד למשקפיים בפניה של איבנושקה, אשר, כשהבינה כי מדובר בו, הסתכלה סביב כולם בעיניים ערמומיות.
הנסיכה מריה הייתה נבוכה שלא לצורך עבור בני עמה. הם לא היססו כלל. הזקנה, משפילה את עיניה, אך מביטה במבט עקום לעבר החדשים, מפילה את הספל על צלוחית ומניחה לידה חתיכת סוכר נגוסה, התיישבה בשלווה וללא תנועה על כיסאה, וחיכתה שיציעו לו עוד תה. איבנושקה, ששתה מצלוחית, הסתכלה על הצעירים בעיניים ערמומיות ונשיות מתחת לגבותיו.
- איפה, בקייב היה? שאל הנסיך אנדריי את הזקנה.
– היה, אבי, – ענתה הזקנה בדיבור, – בחג המולד עצמו, כיבדה אותה בקדושים, סודות שמימיים מהקדושים. ועכשיו מקוליאזין, אבא, חסד גדול נפתח ...
– נו, איבנושקה איתך?
"אני הולך לבד, מפרנס," אמרה איבנושקה, מנסה לדבר בקול בס. – רק ביוכנוב הסכימו עם פלגיושקה...
פלג'יושקה קטעה את חברתה; נראה היה שהיא רצתה לספר את מה שראתה.
– בקוליאזין אבא נפתח חסד גדול.
- ובכן, שרידים חדשים? שאל הנסיך אנדרו.
"די, אנדריי," אמרה הנסיכה מרי. – אל תספר לי, פלג'ושקה.
– לא... מה את, אמא, למה לא לספר? אני אוהב אותו. הוא אדיב, דורש אלוהים, הוא נתן לי, נדיב, רובלים, אני זוכר. כשהייתי בקייב, אומר לי קריושה השוטה הקדוש - באמת איש אלוהים, הוא הולך יחף בחורף ובקיץ. למה אתה הולך, הוא אומר, ממקומך, לך לקוליאזין, יש אייקון מופלא, אמא מריה הקדושה פתחה. במילים האלה נפרדתי מהקדושים והלכתי...
כולם שתקו, נודד אחד דיבר בקול מדוד, שואב אוויר.
– בא, אבי, אמרו לי האנשים: חסד גדול נפתח, אצל אמא אלוהים ישמורמור נופל מהלחי...
"טוב, טוב, טוב, אתה תספר לי אחר כך," אמרה הנסיכה מריה והסמיקה.
"תן לי לשאול אותה," אמר פייר. - ראית את זה בעצמך? - הוא שאל.
– איך, אבי, היא עצמה זכתה לכבוד. הזוהר על פניה הוא כמו אור שמים, ומלחיה של אמא הוא נוטף ומטפטף...
"אבל זו הונאה," אמר פייר בתמימות, והקשיב בתשומת לב למשוטט.
"אה, אבא, על מה אתה מדבר!" – אמרה פלג'יושקה באימה, ופנתה אל הנסיכה מריה להגנה.
"הם מרמים את האנשים", הוא חזר.
- אדוני ישוע המשיח! – חצה אמר הזר. "הו, אל תדבר, אבא. אז אנראל אחד לא האמין, אמר: "הנזירים מטעים", אבל כפי שהוא אמר, הוא התעוור. והוא חלם שאמא פצ'רסקאיה באה אליו ואמרה: "תאמין לי, אני ארפא אותך". אז הוא התחיל לשאול: קח אותי וקח אותי אליה. אני אומר לך את האמת, ראיתי את זה בעצמי. הביאו אותו עיוור ממש אליה, עלו, נפלו, אמרו: "תרפא! אני אתן לך, הוא אומר, במה שהתלונן המלך. ראיתי את זה בעצמי, אבא, הכוכב מוטבע בזה ככה. ובכן, זה התעורר! זה לא בסדר להגיד את זה. אלוהים יעניש", היא פנתה לפייר בצורה מאלפת.
- איך הכוכב מצא את עצמו בתמונה? שאל פייר.
- הפכת את אמא שלך לגנרלית? – אמר הנסיך אנדריי בחיוך.
פלג'ושקה החווירה לפתע וחיברה את ידיה.
"אבא, אבא, חטא בך, יש לך בן!" היא דיברה, והפכה לפתע מחיוורון לצבע עז.
– אבא, מה אמרת, אלוהים יסלח לך. היא הצטלבה. "אלוהים, סלח לו. אמא, מה זה?... - היא פנתה לנסיכה מריה. היא קמה וכמעט בוכה החלה לאסוף את הארנק שלה. היא כנראה גם נבהלה וגם התביישה שהיא נהנתה מהברכות בבית שבו יכלו לומר זאת, וחבל שעכשיו נאלץ לשלול ממנה את ברכות הבית הזה.
- נו, מה אתה מחפש? – אמרה הנסיכה מרי. למה באת אליי?...
"לא, אני צוחק, פלג'ושקה," אמר פייר. - Princesse, ma parole, je n "ai pas voulu l" offerr, [נסיכה, ממש לא רציתי להעליב אותה,] פשוט עשיתי. אל תחשוב, התבדחתי, – אמר, מחייך בביישנות ורוצה לכפר על אשמתו. - אחרי הכל, זה אני, והוא רק התבדח.
פלאג'יושקה עצרה בחוסר אמון, אבל הייתה כנות כזו של תשובה בפניו של פייר, והנסיך אנדריי הביט כל כך ענווה בפלאגיושקה ואחר כך בפייר, עד שהיא נרגעה בהדרגה.
המשוטט נרגע, וחזר לשיחה, אחר כך דיבר זמן רב על האב אמפילוכיוס, שהיה חיים קדושים כל כך עד שידו הריחה ריח ידו, וכיצד הנזירים שהכירה במסע האחרון לקייב נתנו לה את מפתחות למערות, וכיצד היא, שלקחה איתה קרקרים, בילתה יומיים במערות עם קדושים. "אני אתפלל לאחד, אקרא, אלך לאחר. אורן, אני אלך להתנשק שוב; וכזה, אמא, שתיקה, חסד כזה שאתה אפילו לא רוצה לצאת לאור ה'.
פייר הקשיב לה בתשומת לב וברצינות. הנסיך אנדריי יצא מהחדר. ואחריו, כשהיא משאירה את עם האלוהים לסיים את התה שלהם, הובילה הנסיכה מרי את פייר אל הסלון.
"אתה מאוד אדיב," היא אמרה לו.
"אה, באמת לא חשבתי לפגוע בה, כי אני מבין ומעריך מאוד את הרגשות האלה!
הנסיכה מרי הביטה בו בשקט וחייכה בעדינות. "אחרי הכל, אני מכירה אותך הרבה זמן ואוהבת אותך כמו אח", אמרה. איך מצאת את אנדרו? שאלה בחיפזון, לא נותנת לו זמן לומר לה דבר בתגובה מילים מתוקות. "הוא מדאיג אותי מאוד. מצבו הבריאותי טוב יותר בחורף, אבל באביב האחרון הפצע נפתח, והרופא אמר שהוא חייב ללכת לטיפול. ומבחינה מוסרית אני מאוד מפחדת בשבילו. הוא לא דמות כמונו הנשים לסבול ולזעוק את צערו. הוא נושא את זה בתוכו. היום הוא עליז ותוסס; אבל הגעתם הייתה זו שהשפיעה עליו כל כך: לעתים רחוקות הוא כזה. אם היית יכול לשכנע אותו לנסוע לחו"ל! הוא זקוק לפעילות, והחיים החלקים והשקטים האלה הורסים לו. אחרים לא שמים לב, אבל אני רואה.
בשעה 10 מיהרו המלצרים אל המרפסת, שומעים את פעמוני הכרכרה של הנסיך הזקן מתקרבים. גם הנסיך אנדריי ופייר יצאו למרפסת.
- מי זה? שאל הנסיך הזקן, יצא מהכרכרה ומנחש את פייר.
- AI מאוד שמח! נשיקה, - אמר, לאחר שנודע מיהו הצעיר הלא מוכר.
הנסיך הזקן היה ברוח טובה והתייחס לפייר באדיבות.
לפני ארוחת הערב, הנסיך אנדריי, שחזר לחדר העבודה של אביו, מצא את הנסיך הזקן בוויכוח סוער עם פייר.
פייר טען שיבוא הזמן שבו לא תהיה עוד מלחמה. הנסיך הזקן, מתגרה, אך לא כועס, אתגר אותו.
- תוציא את הדם מהוורידים, שפך מים, אז לא תהיה מלחמה. שטויות של אישה, שטויות של אישה, "אמר, אבל עדיין טפח בחיבה על כתפו של פייר, וניגש לשולחן שבו הנסיך אנדריי, שכנראה לא רצה להיכנס לשיחה, ממיין את הניירות שהביא הנסיך מהבית. עִיר. הנסיך הזקן ניגש אליו והחל לדבר על עסקים.
– המנהיג, הרוזן רוסטוב, לא מסר מחצית מהעם. הוא בא לעיר, החליט לקרוא לארוחת ערב, - ביקשתי ממנו ארוחת ערב כזו... אבל תראה את זה... נו, אחי, - הנסיך ניקולאי אנדרייביץ' פנה אל בנו, מחא כפיים לפייר על כתפו, - כל הכבוד חבר שלך, התאהבתי בו! מדליק אותי. השני מדבר מילים חכמות, אבל אני לא רוצה להקשיב, אבל הוא משקר ומלהיב אותי, איש זקן. ובכן, לך, לך, - אמר, - אולי אני אבוא, אשב בסעודה שלך. אני מהמר שוב. תאהב את השוטה שלי, הנסיכה מרי, "צעק לפייר מהדלת.
פייר רק כעת, בביקורו בהרים הקירח, העריך את מלוא החוזק והקסם של ידידותו עם הנסיך אנדריי. קסם זה התבטא לא כל כך ביחסיו עם עצמו, אלא ביחסים עם כל קרובי המשפחה ומשק הבית. פייר, עם הנסיך הזקן והקשוח ועם הנסיכה מרי הענווה והבייישנית, למרות שבקושי הכיר אותם, הרגיש מיד כמו חבר ותיק. כולם כבר אהבו אותו. לא רק הנסיכה מרי, ששוחדה מיחסו הענווה למשוטטים, הביטה בו בעיניים הזוהרות ביותר; אבל הנסיך ניקולאי הקטן, בן השנה, כפי שכינה אותו סבו, חייך אל פייר ונכנס לזרועותיו. מיכאיל איבנוביץ', מלה בוריין הביט בו בחיוכים משמחים כשדיבר עם הנסיך הזקן.
§ 7 . יסוד הניתוח, 4
השלמות של קבוצת המספרים הממשיים.
7.1. מבוא.
הַגדָרָה.במספר ממשי a אנו מתכוונים למחלקת השקילות a של רצפים בסיסיים של מספרים רציונליים.
הַגדָרָה.חבורה של רמחלקות שקילות של רצפים בסיסיים של מספרים רציונליים ייקראו קבוצת המספרים הממשיים.
1) lim a n = a Û " 0< eÎר$ pО נ("לא נ, n ³ p) Þ |a n - a| £ ה
2) כל רצף (a n) שמתכנס הוא גם יסודי
" 0 < eÎר$ pО נ("מ.י נ, "לא נ, m ³ p, n ³ p) Þ |a m - a n | £ ה)
טבעי לנסות, באנלוגיה ל-§6, ליישם את הליך הפירוק לגורמים על קבוצת הרצפים הבסיסיים של מספרים ממשיים. האם לא נקבל קבוצה של מחלקות שקילות של רצפים בסיסיים של מספרים ממשיים המכילים את הסט רבתור תת-קבוצה משלו?
מסתבר שלא.
בסעיף זה, יקבע תכונה יוצאת דופן: תכונת השלמות של קבוצת המספרים הממשיים, המורכבת מכך שכל רצף בסיסי של מספרים ממשיים מתכנס ב ר.
7.2. קירוב של מספרים ממשיים בשברים עשרוניים.
הַגדָרָה.הרצף (q n) מוגבל אם 0 $< MÎש, כי (" לא נ|q n | £ M)
משפט 1. כל רצף בסיסי של מספרים רציונליים מוגבל.
הוכחה. תן (q n) להיות רצף בסיסי של מספרים רציונליים, אם כן, בשל הטבע הבסיסי, עבור e=1 יש pн כזה נ, מה:
$ pО N:((" m ³ p) Þ |q n -q m | £ 1)
m = p - fix, ואז " n ³ p |q n | £ |q p | + 1.
אכן: |q n | = |qn -qp +qp | £ |q n -q p | + |q p | z |q n | £ 1 + |q p |.
הגדרה כ-M = max (|q 1 |, |q 2 |, … , |q p-1 |, …, 1+|q p |) נקבל: " nн נ|q n | £ M.ð
בסעיף 6.3. על הסט ניתנה היחס האנוארי "להיות חיובי". אנו מסכימים לכתוב ">0". ואז a ³ 0 w (a > 0 או a = 0).
משפט 2 . תן לרצף הבסיסי (q n) של מספרים רציונליים לייצג מספר ממשי a, אז:
א) ($ p 1 О נ, $ MO ש("לא נ, " n ³ p 1) z |q n | £ M) z a £ M.
ב) ($ p 2 О נ, $ mО ש("לא נ, " n ³ p 2) Þ q n ³ m) Þ m £ a.
הוכחה.מכיוון ש" n³p 1 q n -M £ 0, אז הרצף הבסיסי q n -M - ההבדל בין הרצף הבסיסי (q n) לרצף הקבוע M לא יכול להיות רצף חיובי, מכיוון שהוא אפס או שלילי.
לכן, המספר האמיתי (a-M) המיוצג על ידי רצף זה אינו יכול להיות חיובי, כלומר. a-M £0, כלומר. א מ.
באופן דומה, ב) נחשב.
משפט 3
. הרצף הבסיסי (q n) של מספרים רציונליים מייצג מספר ממשי a אם ורק אם " 0
(q n)нa ы " 0< eÎר$ pО נ("לא נ, n³p) Þ |q n -a| £ ה.
הוכחה.בואו רק נוכיח את ההכרח. ברור כי "eн ר$ e 1 О ש(e 1 £e)
תן לרצף היסודי (q n) של מספרים רציונליים להיות נציג של המספר a.
לפי ההנחה, הוא יסודי, כלומר. "0< eÎש$ pО נ("לא נ,"מאו נ, n³p, m³p) Þ |q n -q n | £e/2.
תקן את n³p, ואז נקבל את הרצף הבסיסי (q m -q n): (q 1 -q n; q 2 -q n; ...; q n-1 -q n; 0; q n+1 -q n; ...) .
כל האיברים של רצף זה עבור m³p עומדים בחוסר השוויון: |q m -q n |£ e/2.
לפי משפט 2, המספר האמיתי המיוצג על ידי רצף זה | a-q n | £e/2.
| a-q n | £ e О ר"n³p.
משפט 4
. יהיה המספר האמיתי a אשר יהיה, תמיד יהיה מספר שלם M כך שאי השוויון M £ a ("אО ר$! MO ז(M £ a< M+1)) הוכחה. שלב 1. הוכחת קיום. תן לרצף הבסיסי (q n) של מספרים רציונליים לייצג מספר ממשי a: ((q n)нa). מכוח משפט 1, $ Lн Z0, כך ש" nн נ q n ³-L, q n £L: (-L£ q n £L). לפי משפט 3 (q n)нa ы " e>0, eн ר$ pО נ:((" לא נ, n³p) z 1q n -a1 £ e). ואז " n³p ½a1=½a- q n + q n ½ £½a- q n ½+½ q n ½ £ e + L. ½a1 £ e + L w -L-e £ a £ L+e. כי e הוא מספר שרירותי >0, ואז –L £ a £ L. לאחר מכן, ברור ש-1-L<
a < L+1. ואז בין קבוצת המספרים השלמים הסופית: -L-1, -L, -L+1, ..., -1, 0, +1, ..., L, L+1, נמצא ראשוןמספר M+1 שעבורו התנאי א< M+1. אז המספר M אינו מקיים את אי השוויון M £ a< M+1,
т.е. такое число M существует. שלב 2. הוכחת ייחודיות.4 1
/
5 ✪ אקסיומטיקה של מספרים ממשיים ✪ מבוא. מספרים אמיתיים | מתן #001 | בוריס טרושין + ✪ העיקרון של מקטעים מקוננים | מתן #003 | בוריס טרושין! ✪ עקרונות שונים של המשכיות | מתן #004 | בוריס טרושין! ✪ אקסיומה של המשכיות. עקרון החתכים המקוננים של קנטור ההצעה הבאה היא אולי הפשוטה והנוחה ביותר לניסוח יישומים של תכונת המשכיות של מספרים ממשיים. בבנייה האקסיומטית של תורת המספר הממשי, אמירה זו, או המקבילה לה, בהחלט נכללת במספר האקסיומות של המספר הממשי. אקסיומה של המשכיות (שלמות). A ⊂ R (\displaystyle A\subset \mathbb (R) )ו B ⊂ R (\displaystyle B\subset \mathbb (R) )ואי השוויון מרוצה, יש כזה מספר אמיתי ξ (\displaystyle \xi )זה לכולם a ∈ A (\displaystyle a\in A)ו b ∈ B (\displaystyle b\in B)יש יחס מבחינה גיאומטרית, אם נתייחס למספרים ממשיים כנקודות על קו ישר, ההצהרה הזו נראית ברורה. אם שני סטים A (\displaystyle A)ו B (\displaystyle B)הם כאלה שעל קו המספרים כל האלמנטים של אחד מהם נמצאים משמאל לכל האלמנטים של השני, אז יש מספר ξ (\displaystyle \xi ), הפרדהשתי הקבוצות הללו, כלומר שוכבות מימין לכל האלמנטים A (\displaystyle A)(למעט אולי ה ξ (\displaystyle \xi )) ומשמאל לכל האלמנטים B (\displaystyle B)(אותו סעיף). יש לציין כאן שלמרות ה"מובן מאליו" של תכונה זו, עבור מספרים רציונליים הוא לא תמיד מרוצה. לדוגמה, שקול שתי קבוצות: קל לראות את זה עבור כל אלמנט a ∈ A (\displaystyle a\in A)ו b ∈ B (\displaystyle b\in B)את אי השוויון א<
b
{\displaystyle a. למרות זאת רַצִיוֹנָלִימספרים ξ (\displaystyle \xi ), המפריד בין שתי הקבוצות הללו, אינו קיים. ואכן, מספר זה יכול להיות רק 2 (\displaystyle (\sqrt (2))), אבל זה לא רציונלי. המשמעות של אקסיומה של המשכיות היא כזו שבלעדיה בנייה קפדנית של ניתוח מתמטי בלתי אפשרית. לשם המחשה, אנו מציגים מספר הצהרות ניתוח בסיסיות, שהוכחה להן מבוססת על המשכיות של מספרים ממשיים: A m / n = (a n) m (\displaystyle a^(m/n)=\left((\sqrt[(n)](a))\right)^(m)) לבסוף, שוב בשל המשכיות קו המספרים, ניתן לקבוע את ערך הביטוי a x (\displaystyle a^(x))כבר לשרירותיות x ∈ R (\displaystyle x\in \mathbb (R) ). באופן דומה, באמצעות מאפיין המשכיות, אנו מוכיחים את קיומו של המספר log a b (\displaystyle \log _(a)(b))לכל a , b > 0 , a ≠ 1 (\displaystyle a,b>0,a\neq 1).
במשך תקופה היסטורית ארוכה, מתמטיקאים הוכיחו משפטים מניתוח, ב"מקומות דקים" בהתייחסו להצדקה הגיאומטרית, ולעתים קרובות יותר דילגו עליהם לחלוטין, מכיוון שזה היה ברור. נעשה שימוש במושג המהותי של המשכיות ללא כל הגדרה ברורה. רק בשליש האחרון של המאה ה-19 יצר המתמטיקאי הגרמני קרל ויירשטראס את האריתמטיזציה של הניתוח, ובנה את התיאוריה הקפדנית הראשונה של מספרים ממשיים כשברים עשרוניים אינסופיים. הוא הציע את ההגדרה הקלאסית של הגבול בשפה ε − δ (\displaystyle \varepsilon -\delta), הוכיח מספר אמירות שנחשבו "ברורות" לפניו, ובכך השלים את בניית היסוד של הניתוח המתמטי. מאוחר יותר הוצעו גישות אחרות להגדרה של מספר ממשי. בגישה האקסיומטית, המשכיות של מספרים ממשיים מוגדרת במפורש כאקסיומה נפרדת. בגישות קונסטרוקטיביות לתיאוריה של מספר ממשי, למשל, כאשר בונים מספרים ממשיים באמצעות קטעי Dedekind, תכונת ההמשכיות (בניסוח כזה או אחר) מוכחת כמשפט. ישנם מספר הצהרות שונות המבטאות את תכונת ההמשכיות של מספרים ממשיים. ניתן לקחת כל אחד מהעקרונות הללו כבסיס לבניית התיאוריה של המספר הממשי כאקסיומה של המשכיות, וניתן לגזור ממנה את כל האחרים. נושא זה נדון ביתר פירוט בחלק הבא. שאלת ההמשכיות של המספרים הממשיים דן בעבודתו "המשכיות ומספרים אי-רציונליים". בו הוא משווה מספרים רציונליים עם נקודות על קו ישר. כידוע, בין מספרים רציונליים לנקודות של קו ישר, ניתן ליצור התאמה כאשר נקודת ההתחלה ויחידת המידה של הקטעים נבחרות על הקו הישר. בעזרת האחרון, על כל מספר רציונלי a (\displaystyle a)לבנות את הקטע המתאים, ולשים אותו בצד ימין או שמאל, תלוי אם יש a (\displaystyle a)מספר חיובי או שלילי, קבל נקודה p (\displaystyle p)מתאים למספר a (\displaystyle a). אז כל מספר רציונלי a (\displaystyle a)תואמת נקודה אחת ויחידה p (\displaystyle p)על קו ישר. מסתבר שיש אינסוף נקודות על הקו שאינן מתאימות לשום מספר רציונלי. לדוגמה, נקודה המתקבלת על ידי שרטוט אורך האלכסון של ריבוע הבנוי על קטע יחידה. לפיכך, בתחום המספרים הרציונליים אין את זה שְׁלֵמוּת, או הֶמשֵׁכִיוּת, הטבועה בקו ישר. כדי לברר ממה מורכבת המשכיות זו, דדקינד מעיר את ההערה הבאה. אם p (\displaystyle p)היא נקודה מסוימת של הקו, אז כל נקודות הקו מתחלקות לשתי מחלקות: נקודות הממוקמות משמאל p (\displaystyle p), ומצביע ימינה p (\displaystyle p). עצם הנקודה p (\displaystyle p)ניתן לשייך באופן שרירותי למעמד הנמוך או העליון. דדקינד רואה את מהות ההמשכיות בעקרון ההפוך: מבחינה גיאומטרית, עיקרון זה נראה מובן מאליו, אך איננו בעמדה להוכיח זאת. דדקינד מדגיש שבמהותו עיקרון זה הוא הנחה, המבטאת את המהות של אותה תכונה המיוחסת לקו הישיר, שאנו מכנים המשכיות. כדי להבין טוב יותר את מהות ההמשכיות של קו המספרים במובן של Dedekind, שקול קטע שרירותי של קבוצת המספרים הממשיים, כלומר החלוקה של כל המספרים הממשיים לשתי מחלקות לא ריקות, כך שכל המספרים של מחלקה אחת שוכבת על קו המספרים משמאל לכל המספרים של השנייה. כיתות אלה נקראות בהתאמה נמוך יותרו המעמדות העליוניםמקטעים. תיאורטית, ישנן 4 אפשרויות: במקרה הראשון והשני, האלמנט המקסימלי של האלמנט התחתון או המינימום של האלמנט העליון, בהתאמה, מייצר את הסעיף הזה. במקרה השלישי יש לנו קְפִיצָה, וברביעית מֶרחָב. לפיכך, המשכיות של קו המספרים פירושה שאין קפיצות או פערים בקבוצת המספרים הממשיים, כלומר, באופן פיגורטיבי, אין חללים. הצעה זו מקבילה גם לעקרון ההמשכיות של דדקינד. יתרה מכך, ניתן להראות כי הצהרת משפט האינפימיום נובעת ישירות מקביעת משפט העליון, ולהיפך (ראה להלן). כריכה סופית לממה (היינה - בורל). בכל מערכת של מרווחים המכסה קטע, קיימת תת-מערכת סופית המכסה קטע זה. Limit Point Lemma (בולצאנו - ויירשטראס). לכל קבוצת מספרים מוגבלת אינסופית יש לפחות נקודת גבול אחת.. הקבוצה השנייה מבטאת את העובדה שקבוצת המספרים הממשיים היא , ויחס הסדר תואם את הפעולות הבסיסיות של השדה. לפיכך, קבוצת האקסיומות הראשונה והשנייה אומרות שקבוצת המספרים הממשיים היא שדה מסודר. קבוצת האקסיומות השלישית מורכבת מאקסיומה אחת - אקסיומה של המשכיות (או שלמות). כדי להראות את השקילותם של ניסוחים שונים של המשכיות המספרים הממשיים, יש להוכיח שאם אחת מהטענות הללו מתקיימת עבור שדה מסודר, אז כל האחרות נכונות. מִשׁפָּט. תן להיות קבוצה שרירותית בסדר ליניארי. ההצהרות הבאות שוות ערך: כפי שניתן לראות ממשפט זה, ארבעת המשפטים הללו משתמשים רק במה שמופיע R (\displaystyle (\mathsf (R)))הציגו יחס סדר ליניארי, ואל תשתמשו במבנה השדה. כך, כל אחד מהם מבטא את הקניין R (\displaystyle (\mathsf (R)))כסט מסודר ליניארי. תכונה זו (של קבוצה שרירותית בסדר ליניארי, לאו דווקא קבוצת המספרים הממשיים) נקראת המשכיות, או שלמות, על פי דדקינד. הוכחת השקילות של משפטים אחרים כבר דורשת מבנה שדה. מִשׁפָּט. לתת R (\displaystyle (\mathsf (R)))- שדה מסודר שרירותי. המשפטים הבאים שווים: תגובה. כפי שניתן לראות מהמשפט, עקרון המקטעים המקוננים בפני עצמו אינו שווה ערךעקרון ההמשכיות של דדקינד. עקרון המקטעים המקוננים נובע מעקרון ההמשכיות של Dedekind, אך להיפך נדרש לדרוש בנוסף שהשדה המסודר . המשכיות של מספרים ממשיים- תכונה של מערכת המספרים הממשיים, שאין לקבוצת המספרים הרציונליים. לפעמים, במקום המשכיות, הם מדברים על השלמות של מערכת המספרים הממשיים. ישנם מספר ניסוחים שונים של תכונת המשכיות, הידועים שבהם הם: עקרון ההמשכיות של מספרים ממשיים של דדקינד, עקרון הקטעים המקוננים Cauchy - Cantor, משפט העליון. בהתאם להגדרה המקובלת של מספר ממשי, ניתן להניח את תכונת ההמשכיות כאקסיומה - בניסוח כזה או אחר, או להוכיח כמשפט. ההצעה הבאה היא אולי הפשוטה והנוחה ביותר לניסוח יישומים של תכונת המשכיות של מספרים ממשיים. בבנייה האקסיומטית של תורת המספר הממשי, אמירה זו, או המקבילה לה, היא בהחלט בין האקסיומות של מספר ממשי. המחשה גיאומטרית של אקסיומה של המשכיות אקסיומה של המשכיות (שלמות). לא משנה מה הקבוצות הלא ריקות ו, כך שעבור כל שני אלמנטים והאי-שוויון מתקיים, קיים מספר ξ כך שלכולם והיחס מתקיים מבחינה גיאומטרית, אם נתייחס למספרים ממשיים כנקודות על קו ישר, ההצהרה הזו נראית ברורה. אם שני סטים או בהם כאלה שעל קו המספרים כל האלמנטים של אחד מהם נמצאים משמאל לכל האלמנטים של השני, אז יש מספר ξ, הפרדהשתי הקבוצות הללו, כלומר שוכבות מימין לכל האלמנטים א(למעט, אולי, ξ עצמו) ומשמאל לכל האלמנטים ב(אותו סעיף). יש לציין כאן שלמרות ה"מובן מאליו" של תכונה זו, עבור מספרים רציונליים הוא לא תמיד מרוצה. לדוגמה, שקול שתי קבוצות: קל לראות את זה עבור כל אלמנט ואי השוויון א < ב. למרות זאת רַצִיוֹנָלִיאין מספר ξ המפריד בין שתי הקבוצות הללו. אכן, מספר זה יכול להיות רק , אבל הוא לא רציונלי. המשמעות של אקסיומה של המשכיות היא כזו שבלעדיה בנייה קפדנית של ניתוח מתמטי בלתי אפשרית. לשם המחשה, אנו מציגים מספר הצהרות ניתוח בסיסיות, שהוכחה להן מבוססת על המשכיות של מספרים ממשיים: לבסוף, שוב בשל המשכיות קו המספרים, ניתן לקבוע את ערך הביטוי א איקסכבר לשרירות . באופן דומה, באמצעות מאפיין המשכיות, אנו מוכיחים את קיומו של יומן המספרים א בלכל . במשך תקופה היסטורית ארוכה, מתמטיקאים הוכיחו משפטים מניתוח, ב"מקומות דקים" בהתייחסו להצדקה הגיאומטרית, ולעתים קרובות יותר דילגו עליהם לחלוטין כי זה היה ברור. נעשה שימוש במושג המהותי של המשכיות ללא כל הגדרה ברורה. רק בשליש האחרון של המאה ה-19 יצר המתמטיקאי הגרמני קרל ויירשטראס את האריתמטיזציה של הניתוח, ובנה את התיאוריה הקפדנית הראשונה של מספרים ממשיים כשברים עשרוניים אינסופיים. הוא הציע הגדרה קלאסית של הגבול בשפה, הוכיח מספר אמירות שנחשבו ל"ברורות" לפניו, ובכך השלים את יסוד הניתוח המתמטי. מאוחר יותר הוצעו גישות אחרות להגדרה של מספר ממשי. בגישה האקסיומטית, המשכיות של מספרים ממשיים מוגדרת במפורש כאקסיומה נפרדת. בגישות קונסטרוקטיביות לתיאוריה של מספר ממשי, למשל, כאשר בונים מספרים ממשיים באמצעות קטעי Dedekind, תכונת ההמשכיות (בניסוח כזה או אחר) מוכחת כמשפט. ישנם מספר הצהרות שונות המבטאות את תכונת ההמשכיות של מספרים ממשיים. ניתן לקחת כל אחד מהעקרונות הללו כבסיס לבניית התיאוריה של המספר הממשי כאקסיומה של המשכיות, וניתן לגזור ממנה את כל האחרים. נושא זה נדון ביתר פירוט בחלק הבא. שאלת המשכיות המספרים הממשיים נשקלת על ידי דדקינד ביצירתו המשכיות ומספרים אי-רציונליים. בו הוא משווה את המספרים הרציונליים לנקודות של ישר. כידוע, ניתן ליצור התאמה בין מספרים רציונליים לנקודות של קו ישר כאשר בוחרים נקודת התחלה ויחידת מדידה של קטעים על קו ישר. בעזרת האחרון, על כל מספר רציונלי אלבנות את הקטע המתאים, ולשים אותו בצד ימין או שמאל, תלוי אם יש אמספר חיובי או שלילי, קבל נקודה עמתאים למספר א. אז כל מספר רציונלי אתואמת נקודה אחת ויחידה עעל קו ישר. מסתבר שיש אינסוף נקודות על הקו שאינן מתאימות לשום מספר רציונלי. לדוגמה, נקודה המתקבלת על ידי שרטוט אורך האלכסון של ריבוע הבנוי על קטע יחידה. לפיכך, בתחום המספרים הרציונליים אין את זה שְׁלֵמוּת, או הֶמשֵׁכִיוּת, הטבועה בקו ישר. כדי לברר ממה מורכבת המשכיות זו, דדקינד מעיר את ההערה הבאה. אם עהיא נקודה מסוימת של הקו, אז כל נקודות הקו מתחלקות לשתי מחלקות: נקודות הממוקמות משמאל ע, ומצביע ימינה ע. עצם הנקודה עניתן לשייך באופן שרירותי למעמד הנמוך או העליון. דדקינד רואה את מהות ההמשכיות בעקרון ההפוך: מבחינה גיאומטרית, עיקרון זה נראה מובן מאליו, אך איננו בעמדה להוכיח זאת. דדקינד מדגיש שבמהותו עיקרון זה הוא הנחה, המבטאת את המהות של אותה תכונה המיוחסת לקו הישיר, שאנו מכנים המשכיות. כדי להבין טוב יותר את מהות ההמשכיות של קו המספרים במובן של Dedekind, שקול קטע שרירותי של קבוצת המספרים הממשיים, כלומר החלוקה של כל המספרים הממשיים לשתי מחלקות לא ריקות, כך שכל המספרים של מחלקה אחת שוכבת על קו המספרים משמאל לכל המספרים של השנייה. כיתות אלה נקראות בהתאמה נמוך יותרו המעמדות העליוניםמקטעים. תיאורטית, ישנן 4 אפשרויות: במקרה הראשון והשני, האלמנט המקסימלי של האלמנט התחתון או המינימום של האלמנט העליון, בהתאמה, מייצר את הסעיף הזה. במקרה השלישי יש לנו קְפִיצָה, וברביעית מֶרחָב. לפיכך, המשכיות של קו המספרים פירושה שאין קפיצות או פערים בקבוצת המספרים הממשיים, כלומר, באופן פיגורטיבי, אין חללים. אם נציג את הרעיון של קטע מקבוצת המספרים הממשיים, אזי ניתן לנסח את עקרון ההמשכיות של Dedekind באופן הבא. עקרון ההמשכיות של דדקינד (השלמות). לכל קטע של קבוצת המספרים הממשיים, יש מספר שמייצר קטע זה. תגובה. הניסוח של אקסיומת ההמשכיות לגבי קיומה של נקודה המפרידה בין שתי קבוצות מזכיר מאוד את הניסוח של עקרון ההמשכיות של דדקינד. למעשה, הצהרות אלו שוות ערך, ובמהותן, הן ניסוחים שונים של אותו דבר. לכן, שתי ההצהרות הללו נקראות עקרון ההמשכיות של המספרים הממשיים לפי דדקינד. הלמה על מקטעים מקוננים (Cauchy - קנטור). כל מערכת של מקטעים מקוננים יש צומת לא ריק, כלומר, יש לפחות מספר אחד ששייך לכל המקטעים של המערכת הנתונה. אם, בנוסף, אורך המקטעים של המערכת הנתונה שואף לאפס, כלומר, אז המפגש בין המקטעים של מערכת זו מורכב מנקודה אחת. נכס זה נקרא המשכיות של קבוצת המספרים הממשיים במובן של קנטור. להלן יוצג כי עבור השדות המסודרים הארכימדיים ההמשכיות לפי קנטור שוות ערך להמשכיות לפי דדקינד. עקרון העליונות. לכל קבוצה לא ריקה של מספרים ממשיים התחום למעלה יש עליונה. בקורסי חשבון, טענה זו היא בדרך כלל משפט, והוכחתו עושה שימוש משמעותי בהמשכיות קבוצת המספרים הממשיים בצורה כזו או אחרת. יחד עם זאת, להיפך, ניתן להניח קיומו של עליונות לכל קבוצה שאינה ריקה התחום מלמעלה, ולהסתמך על כך להוכחת, למשל, את עקרון ההמשכיות של דדקינד. לפיכך, משפט העליון הוא אחד הניסוחים המקבילים של תכונת ההמשכיות של מספרים ממשיים. תגובה. במקום העליון, אפשר להשתמש במושג הכפול של האינפימום. העיקרון האינפומי. לכל קבוצה לא ריקה של מספרים ממשיים המוגבלים למטה יש אינפיום. הצעה זו מקבילה גם לעקרון ההמשכיות של דדקינד. יתרה מכך, ניתן להראות כי הצהרת משפט האינפימיום נובעת ישירות מקביעת משפט העליון, ולהיפך (ראה להלן). כריכה סופית לממה (היינה - בורל). בכל מערכת של מרווחים המכסה קטע, קיימת תת-מערכת סופית המכסה קטע זה. Limit Point Lemma (בולצאנו - ויירשטראס). לכל קבוצת מספרים מוגבלת אינסופית יש לפחות נקודת גבול אחת. בואו נעיר כמה הערות מקדימות. בהתאם להגדרה האקסיומטית של מספר ממשי, קבוצת המספרים הממשיים מספקת שלוש קבוצות של אקסיומות. הקבוצה הראשונה היא אקסיומות השדה. הקבוצה השנייה מבטאת את העובדה שאוסף המספרים הממשיים הוא קבוצה מסודרת ליניארית, ויחס הסדר תואם את הפעולות הבסיסיות של השדה. לפיכך, קבוצת האקסיומות הראשונה והשנייה אומרות שקבוצת המספרים הממשיים היא שדה מסודר. קבוצת האקסיומות השלישית מורכבת מאקסיומה אחת - אקסיומה של המשכיות (או שלמות). כדי להראות את השקילותם של ניסוחים שונים של המשכיות המספרים הממשיים, יש להוכיח שאם אחת מהטענות הללו מתקיימת עבור שדה מסודר, אז כל האחרות נכונות. מִשׁפָּט. תן להיות קבוצה מסודרת ליניארית שרירותית. ההצהרות הבאות שוות ערך: כפי שניתן לראות ממשפט זה, ארבע ההצעות הללו משתמשות רק במה שיחס הסדר הליניארי הציג ואינן משתמשות במבנה השדה. לפיכך, כל אחד מהם מבטא תכונה כקבוצה מסודרת ליניארית. תכונה זו (של קבוצה שרירותית בסדר ליניארי, לאו דווקא קבוצת המספרים הממשיים) נקראת המשכיות, או שלמות, על פי דדקינד. הוכחת השקילות של משפטים אחרים כבר דורשת מבנה שדה. מִשׁפָּט. תן להיות שדה מסודר שרירותי. המשפטים הבאים שווים: תגובה. כפי שניתן לראות מהמשפט, עקרון המקטעים המקוננים בפני עצמו אינו שווה ערךעקרון ההמשכיות של דדקינד. עקרון המקטעים המקוננים נובע מעקרון ההמשכיות של דדקינד, אך להיפך נדרש לדרוש בנוסף שהשדה המסודר יעמוד באקסיומה של ארכימדס את ההוכחה למשפטים לעיל ניתן למצוא בספרים מהביבליוגרפיה המובאת להלן.יוטיוב אנציקלופדית
כתוביות
אקסיומה של המשכיות
תפקידה של אקסיומה של המשכיות בבניית ניתוח מתמטי
הצהרות אחרות של נכס המשכיות והצעות שוות ערך
המשכיות לפי דדקינד
Lemma כריכה סופית (עקרון היינה-בורל)
הלמה של נקודת הגבלה (עקרון בולצאנו-ויירשטראס)
לְתַכְנֵן:
מבוא
סִפְרוּת מבוא
1. אקסיומה של המשכיות
2. תפקידה של אקסיומה של המשכיות בבניית הניתוח המתמטי
3. ניסוחים אחרים של תכונת ההמשכיות והצעות שוות
3.1. המשכיות לפי דדקינד
3.2. הלמה על מקטעים מקוננים (עקרון Cauchy-Cantor)
3.3. העיקרון העליון
3.4. Lemma כריכה סופית (עקרון היינה-בורל)
3.5. הלמה של נקודת הגבלה (עקרון בולצאנו-ויירשטראס)
4. שקילות משפטים המבטאים את המשכיות קבוצת המספרים הממשיים
הערות
סִפְרוּת