Matrične norme. Dosljednost i podređenost normi
Enciklopedijski YouTube
1 / 1
✪ Vektorska norma. dio 4
titlovi
Definicija
Neka K bude glavno polje (obično K = R ili K = C ) i linearni je prostor svih matrica s m redaka i n stupaca, koji se sastoje od elemenata od K . Norma je dana na prostoru matrica ako je svakoj matrici pridružen nenegativan realni broj ‖ A ‖ (\displaystyle \|A\|), naziva svojom normom, tako da
U slučaju kvadratnih matrica (tj. m = n), matrice se mogu množiti bez napuštanja prostora, pa stoga norme u tim prostorima obično također zadovoljavaju svojstvo submultiplikativnost :
Submultiplikativnost se također može izvesti za norme nekvadratnih matrica, ali definiranih za nekoliko potrebnih veličina odjednom. Naime, ako je A matrica ℓ × m, a B je matrica m × n, To A B- matrica ℓ × n .
Norme operatera
Važna klasa matričnih normi su norme operatera, također se naziva podređeni ili induciran . Norma operatora je jedinstveno konstruirana prema dvjema normama definiranim u i , na temelju činjenice da svaka matrica m × n predstavljen je linearnim operatorom iz K n (\displaystyle K^(n)) V K m (\displaystyle K^(m)). Posebno,
‖ A ‖ = sup ( ‖ A x ‖ : x ∈ K n , ‖ x ‖ = 1 ) = sup ( ‖ A x ‖ ‖ x ‖ : x ∈ K n, x ≠ 0) . (\displaystyle (\begin(aligned)\|A\|&=\sup\(\|Ax\|:x\in K^(n),\ \|x\|=1\)\\&=\ sup \lijevo\((\frac (\|Ax\|)(\|x\|)):x\in K^(n),\ x\neq 0\desno\).\end(poravnano)))Pod uvjetom da su norme na vektorskim prostorima dosljedno navedene, takva je norma submultiplikativna (vidi ).
Primjeri operatorskih normi
Svojstva spektralne norme:
- Spektralna norma operatora jednaka je najvećoj singularnoj vrijednosti ovog operatora.
- Spektralna norma normalnog operatora jednaka je apsolutnoj vrijednosti maksimalne modulo svojstvene vrijednosti ovog operatora.
- Spektralna norma se ne mijenja kada se matrica pomnoži s ortogonalnom (unitarnom) matricom.
Neoperatorske norme matrica
Postoje matrične norme koje nisu operatorske norme. Koncept neoperatorskih normi matrica uveo je Yu. I. Lyubich, a proučavao G. R. Belitsky.
Primjer norme bez operatora
Na primjer, razmotrite dvije različite operatorske norme ‖ A ‖ 1 (\displaystyle \|A\|_(1)) I ‖ A ‖ 2 (\displaystyle \|A\|_(2)), kao što su norme redaka i stupaca. Formiranje nove norme ‖ A ‖ = m a x (‖ A ‖ 1 , ‖ A ‖ 2) (\displaystyle \|A\|=max(\|A\|_(1),\|A\|_(2))). Nova norma ima prstenasto svojstvo ‖ A B ‖ ≤ ‖ A ‖ ‖ B ‖ (\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|), čuva jedinicu ‖ I ‖ = 1 (\displaystyle \|I\|=1) i nije operator .
Primjeri normi
Vektor p (\displaystyle p)-norma
Može se uzeti u obzir m × n (\displaystyle m\puta n) matrica kao vektor veličine m n (\displaystyle mn) i koristiti standardne vektorske norme:
‖ A ‖ p = ‖ v e c (A) ‖ p = (∑ i = 1 m ∑ j = 1 n | a i j | p) 1 / p (\displaystyle \|A\|_(p)=\|\mathrm ( vec) (A)\|_(p)=\lijevo(\sum _(i=1)^(m)\sum _(j=1)^(n)|a_(ij)|^(p)\ desno)^(1/p))Frobeniusova norma
Frobeniusova norma, ili euklidska norma je poseban slučaj p-norme za str = 2 : ‖ A ‖ F = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j 2 (\displaystyle \|A\|_(F)=(\sqrt (\sum _(i=1)^(m)\sum _(j =1)^(n)a_(ij)^(2)))).
Frobeniusovu normu je lako izračunati (u usporedbi s npr. spektralnom normom). Ima sljedeća svojstva:
‖ A x ‖ 2 2 = ∑ i = 1 m | ∑ j = 1 n a i j x j | 2 ≤ ∑ i = 1 m (∑ j = 1 n | a i j | 2 ∑ j = 1 n | x j | 2) = ∑ j = 1 n | x j | 2 ‖ A ‖ F 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ x ‖ 2 2 . (\displaystyle \|Ax\|_(2)^(2)=\zbroj _(i=1)^(m)\lijevo|\zbroj _(j=1)^(n)a_(ij)x_( j)\desno|^(2)\leq \sum _(i=1)^(m)\lijevo(\sum _(j=1)^(n)|a_(ij)|^(2)\sum _(j=1)^(n)|x_(j)|^(2)\desno)=\zbroj _(j=1)^(n)|x_(j)|^(2)\|A\ |_(F)^(2)=\|A\|_(F)^(2)\|x\|_(2)^(2).)- Submultiplikativnost: ‖ A B ‖ F ≤ ‖ A ‖ F ‖ B ‖ F (\displaystyle \|AB\|_(F)\leq \|A\|_(F)\|B\|_(F)), jer ‖ A B ‖ F 2 = ∑ i , j | ∑ k a i k b k j | 2 ≤ ∑ i , j (∑ k | a i k | | b k j |) 2 ≤ ∑ i , j (∑ k | a i k | 2 ∑ k | b k j | 2) = ∑ i , k | a i k | 2 ∑ k , j | b k j | 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ B ‖ F 2 (\displaystyle \|AB\|_(F)^(2)=\sum _(i,j)\left|\sum _(k)a_(ik) b_(kj)\desno|^(2)\leq \sum _(i,j)\lijevo(\sum _(k)|a_(ik)||b_(kj)|\desno)^(2)\ leq \sum _(i,j)\lijevo(\sum _(k)|a_(ik)|^(2)\sum _(k)|b_(kj)|^(2)\desno)=\sum _(i,k)|a_(ik)|^(2)\zbroj _(k,j)|b_(kj)|^(2)=\|A\|_(F)^(2)\| B\|_(F)^(2)).
- ‖ A ‖ F 2 = t r A ∗ A = t r A A ∗ (\displaystyle \|A\|_(F)^(2)=\mathop (\rm (tr)) A^(*)A=\ mathop (\rm (tr)) AA^(*)), Gdje t r A (\displaystyle \mathop (\rm (tr)) A)- trag matrice A (\displaystyle A), A ∗ (\displaystyle A^(*)) je hermitska konjugirana matrica.
- ‖ A ‖ F 2 = ρ 1 2 + ρ 2 2 + ⋯ + ρ n 2 (\displaystyle \|A\|_(F)^(2)=\rho _(1)^(2)+\rho _ (2)^(2)+\točkice +\rho _(n)^(2)), Gdje ρ 1 , ρ 2 , … , ρ n (\displaystyle \rho _(1),\rho _(2),\točke ,\rho _(n))- singularne vrijednosti matrice A (\displaystyle A).
- ‖ A ‖ F (\displaystyle \|A\|_(F)) ne mijenja se pri množenju matrice A (\displaystyle A) lijevo ili desno na ortogonalne (unitarne) matrice.
Modul maksimum
Norma maksimalnog modula još je jedan poseban slučaj p-norme za str = ∞ .
‖ A ‖ max = max ( | a i j | ) . (\displaystyle \|A\|_(\text(max))=\max\(|a_(ij)|\).)Norm Shatten
Konzistentnost matrice i vektorske norme
Matrična norma ‖ ⋅ ‖ a b (\displaystyle \|\cdot \|_(ab)) na K m × n (\displaystyle K^(m\puta n)) nazvao dogovoren s normama ‖ ⋅ ‖ a (\displaystyle \|\cdot \|_(a)) na K n (\displaystyle K^(n)) I ‖ ⋅ ‖ b (\displaystyle \|\cdot \|_(b)) na K m (\displaystyle K^(m)), ako:
‖ A x ‖ b ≤ ‖ A ‖ a b ‖ x ‖ a (\displaystyle \|Ax\|_(b)\leq \|A\|_(ab)\|x\|_(a))za bilo koji A ∈ K m × n, x ∈ K n (\displaystyle A\in K^(m\puta n),x\in K^(n)). Po konstrukciji, operatorska norma je konzistentna s izvornom vektorskom normom.
Primjeri dosljednih, ali ne podređenih matričnih normi:
Ekvivalencija normi
Sve norme u prostoru K m × n (\displaystyle K^(m\puta n)) su ekvivalentne, to jest za bilo koje dvije norme ‖ . α (\displaystyle \|.\|_(\alpha )) I ‖ . ‖ β (\displaystyle \|.\|_(\beta )) i za bilo koju matricu A ∈ K m × n (\displaystyle A\in K^(m\puta n)) dvostruka nejednakost je istinita.
» Lekcija 12. Rang matrice. Izračun ranga matrice. Norma matrice
Lekcija broj 12. Rang matrice. Izračun ranga matrice. Norma matrice.
Ako sve matrice minoreAnarudžbakjednaki nuli, onda su svi minori reda k + 1, ako takvi postoje, također jednaki nuli.
Rang matrice A
je najveći red minora matrice A
, osim nule.
Maksimalni rang može biti jednak minimalnom broju redaka ili stupaca matrice, tj. ako matrica ima veličinu 4x5, tada će maksimalni rang biti 4.
Minimalni rang matrice je 1, osim ako nemate posla s nultom matricom, gdje je rang uvijek nula.
Rang nedegenerirane kvadratne matrice reda n jednak je n, jer je njena determinanta minor reda n, a nedegenerirana matrica je različita od nule.
Transponiranje matrice ne mijenja njen rang.
Neka je rang matrice . Tada se poziva bilo koji minor reda , osim nule osnovni mol.
Primjer. Zadana je matrica A.
Determinanta matrice je nula.
Minor drugog reda . Dakle, r(A)=2 i minor je bazičan.
Osnovni minor je također minor .
Minor , jer =0, pa neće biti osnovno.
Vježbajte: samostalno provjeriti koji će još minori drugog reda biti osnovni, a koji ne.
Pronalaženje ranga matrice izračunavanjem svih njenih minora zahtijeva previše računalnog rada. (Čitatelj može provjeriti postoji li 36 minora drugog reda u kvadratnoj matrici četvrtog reda.) Stoga se za pronalaženje ranga koristi drugačiji algoritam. Za opis su potrebne neke dodatne informacije.
Sljedeće operacije na njima nazivamo elementarnim transformacijama matrica:
1) permutacija redaka ili stupaca;
2) množenje reda ili stupca brojem koji nije nula;
3) dodavanje jednom od redaka drugog reda, pomnoženog brojem, ili dodavanje jednom od stupaca drugog stupca, pomnoženog brojem.
Pod elementarnim transformacijama, rang matrice se ne mijenja.
Algoritam za izračunavanje ranga matrice je sličan algoritmu izračuna determinante i leži u činjenici da se uz pomoć elementarnih transformacija matrica reducira na jednostavan oblik za koji nije teško pronaći rang. Budući da se rang nije mijenjao sa svakom transformacijom, izračunavanjem ranga transformirane matrice nalazimo rang originalne matrice.
Neka se zahtijeva izračunavanje ranga matrice dimenzija mxn.
Kao rezultat izračuna, matrica A1 ima oblik
Ako su svi redovi, počevši od trećeg, nula, tada , budući da je mal . Inače, permutiranjem redaka i stupaca s brojevima većim od dva, postižemo da treći element trećeg retka bude različit od nule. Nadalje, dodavanjem trećeg retka, pomnoženog s odgovarajućim brojevima, redovima s velikim brojevima, dobivamo nule u trećem stupcu, počevši od četvrtog elementa, i tako dalje.
U nekoj fazi doći ćemo do matrice u kojoj su svi redovi, počevši od (r + 1) th, jednaki nuli (ili ga nema u ), a minor u prvim redovima i prvim stupcima je determinanta trokuta matrica s elementima različitim od nule na dijagonali . Rang takve matrice je. Prema tome, Rang(A)=r.
U predloženom algoritmu za pronalaženje ranga matrice svi izračuni moraju se izvesti bez zaokruživanja. Proizvoljno mala promjena u barem jednom od elemenata srednjih matrica može dovesti do činjenice da će se dobiveni odgovor razlikovati od ranga izvorne matrice za nekoliko jedinica.
Ako su elementi u izvornoj matrici bili cijeli brojevi, tada je prikladno izvesti izračune bez korištenja razlomaka. Stoga je u svakoj fazi preporučljivo pomnožiti nizove takvim brojevima da se u izračunima ne pojave razlomci.
U laboratorijskom i praktičnom radu razmotrit ćemo primjer određivanja ranga matrice.
ALGORITAM PRONALAŽENJA MATRIČNI PROPISI
.
Postoje samo tri norme matrice.
Prva matrična norma= najveći broj brojeva dobivenih zbrajanjem svih elemenata svakog stupca, uzet po modulu.
Primjer: neka je dana 3x2 matrica A (slika 10). Prvi stupac sadrži elemente: 8, 3, 8. Svi elementi su pozitivni. Nađimo njihov zbroj: 8+3+8=19. Drugi stupac sadrži elemente: 8, -2, -8. Dva su elementa negativna, stoga je pri zbrajanju ovih brojeva potrebno zamijeniti modul tih brojeva (to jest, bez znakova minus). Nađimo njihov zbroj: 8+2+8=18. Maksimum od ova dva broja je 19. Dakle, prva norma matrice je 19.
Slika 10.
Druga matrična norma predstavlja a Korijen iz zbroja kvadrata svih elemenata matrice. A to znači da kvadriramo sve elemente matrice, zatim zbrajamo dobivene vrijednosti i iz rezultata izvlačimo kvadratni korijen.
U našem slučaju pokazalo se da je norma 2 matrice jednaka kvadratnom korijenu od 269. U dijagramu sam grubo izvadio kvadratni korijen od 269 i rezultat je bio približno 16,401. Iako je ispravnije ne vaditi korijen.
Matrica trećih normi je maksimum brojeva dobivenih zbrajanjem svih elemenata svakog retka, uzet po modulu.
U našem primjeru: prvi red sadrži elemente: 8, 8. Svi elementi su pozitivni. Nađimo njihov zbroj: 8+8=16. Drugi red sadrži elemente: 3, -2. Jedan od elemenata je negativan, pa kada zbrajate ove brojeve, morate zamijeniti modul tog broja. Nađimo njihov zbroj: 3+2=5. Treći red sadrži elemente 8 i -8. Jedan od elemenata je negativan, pa kada zbrajate ove brojeve, morate zamijeniti modul tog broja. Nađimo njihov zbroj: 8+8=16. Maksimalni od ova tri broja je 16. Dakle, treća norma matrice je 16.
Sastavio: Saliy N.A.
Norma matrice zovemo realni broj pridružen ovoj matrici ||A|| takav da je, kao realan broj, pridružen svakoj matrici iz n-dimenzionalnog prostora i zadovoljava 4 aksioma:
1. ||A||³0 i ||A||=0 samo ako je A nula matrica;
2. ||αA||=|α|·||A||, gdje je R;
3. ||A+B||£||A||+||B||;
4. ||A·B||£||A||·||B||. (svojstvo multiplikativnosti)
Može se uvesti matrična norma različiti putevi. Matrica A se može promatrati kao n 2 - dimenzionalni vektor.
Ova norma se naziva euklidska norma matrice.
Ako za bilo koju kvadratnu matricu A i bilo koji vektor x čija je dimenzija jednaka redu matrice vrijedi nejednakost ||Ax||£||A||·||x||
tada kažemo da je norma matrice A konzistentna s normom vektora. Primijetimo da je norma vektora lijevo u zadnjem uvjetu (Ax je vektor).
Različite matrične norme su u skladu s danom vektorskom normom. Izaberimo najmanji među njima. Takav će biti
Ova matrična norma je podređena zadanoj vektorskoj normi. Postojanje maksimuma u ovom izrazu slijedi iz kontinuiteta norme, budući da uvijek postoji vektor x -> ||x||=1 i ||Ax||=||A||.
Pokažimo da tada norma N(A) ne podliježe niti jednoj vektorskoj normi. Matrične norme podređene prethodno uvedenim vektorskim normama izražene su na sljedeći način:
1. ||A|| ¥ = |a ij | (norma-maksimum)
2. ||A|| 1 = |a ij | (normativ)
3. ||A|| 2 = , (spektralna norma)
gdje je s 1 najveća svojstvena vrijednost simetrične matrice A¢A, koja je produkt transponirane i izvorne matrice. Ako je matrica A¢A simetrična, tada su sve njezine svojstvene vrijednosti realne i pozitivne. Broj l je svojstvena vrijednost, a vektor različit od nule je svojstveni vektor matrice A (ako su povezani relacijom Ax=lx). Ako je matrica A sama po sebi simetrična, A¢ = A, tada je A¢A = A 2 i tada s 1 = , gdje je svojstvena vrijednost matrice A s najvećom apsolutnom vrijednošću. Dakle, u ovom slučaju imamo = .
Svojstvene vrijednosti matrice ne prelaze nijednu od dogovorenih normi. Normalizirajući relaciju koja definira svojstvene vrijednosti, dobivamo ||λx||=|||Ax||, |λ|·||x||=||Ax||£||A||·||x||, | λ|£||A||
Budući da ||A|| 2 £||A|| e , gdje se euklidska norma može jednostavno izračunati, umjesto spektralne norme, u procjenama se može koristiti euklidska norma matrice.
30. Uvjetovanost sustava jednadžbi. Faktor uvjetovanja .
Stupanj uvjetovanosti- utjecaj odluke na početne podatke. sjekira = b: vektor b odgovara odluci x. Neka b promijenit će se za . Zatim vektor b+ odgovarat će novom rješenju x+ : A(x+ ) = b+. Budući da je sustav linearan, dakle Sjekira+A = b+, Zatim A = ; = ; = ; b = Sjekira; = onda ; * , Gdje - relativna pogreška poremećaji rješenja, faktor uvjetovanjauvjet (A) (koliko puta se pogreška rješenja može povećati), relativna je perturbacija vektora b. uvjet (A) = ; uvjet(A)* Svojstva koeficijenata: ovise o izboru norme matrice; uvjet( = cond(A); množenje matrice brojem ne utječe na faktor uvjeta. Što je koeficijent veći, pogreška u početnim podacima jače utječe na rješenje SLAE. Broj uvjeta ne može biti manji od 1.
31. Sweep metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi.
Često se javlja potreba za rješavanjem sustava čije matrice, budući da su slabo popunjene, tj. koji sadrži mnogo elemenata različitih od nule. Matrice takvih sustava obično imaju određenu strukturu, među kojima postoje sustavi s matricama vrpčne strukture, tj. u njima se različiti od nule elementi nalaze na glavnoj dijagonali i na nekoliko sporednih dijagonala. Za rješavanje sustava s tračnim matricama Gaussova se metoda može transformirati u učinkovitije metode. Razmotrimo najjednostavniji slučaj trakastih sustava, na koje se, kao što ćemo kasnije vidjeti, rješavanje problema diskretizacije za rubne probleme za diferencijalne jednadžbe svodi metodama konačnih razlika, konačnih elemenata itd. Trodijagonalna matrica je takva matrica koja ima različite elemente samo na glavnoj dijagonali i uz nju:
Tri dijagonalne matrice elemenata različitih od nule imaju ukupno (3n-2).
Preimenujte koeficijente matrice:
Zatim, u notaciji komponenta po komponenta, sustav se može predstaviti kao:
A i * x i-1 + b i * x i + c i * x i+1 = d i , i=1, 2,…, n; (7)
a 1 =0, c n =0. (8)
Struktura sustava pretpostavlja odnos samo između susjednih nepoznanica:
x i \u003d x i * x i +1 + h i (9)
x i -1 =x i -1* x i + h i -1 i zamijenite u (7):
A i (x i-1* x i + h i-1)+ b i * x i + c i * x i+1 = d i
(a i * x i-1 + b i)x i = –c i * x i+1 +d i –a i * h i-1
Uspoređujući dobiveni izraz s prikazom (7), dobivamo:
Formule (10) predstavljaju rekurzivne relacije za izračun sweep koeficijenata. Za njih je potrebno navesti početne vrijednosti. U skladu s prvim uvjetom (8) za i =1 imamo 1 =0, što znači
Nadalje, preostali koeficijenti pomicanja se izračunavaju i pohranjuju prema formulama (10) za i=2,3,…, n, a za i=n, uzimajući u obzir drugi uvjet (8), dobivamo x n =0 . Dakle, u skladu s formulom (9) x n = h n .
Nakon toga se prema formuli (9) sekvencijalno pronalaze nepoznanice x n -1 , x n -2 , …, x 1 . Ova faza izračuna se naziva obrnuto kretanje, dok se izračun koeficijenata pomicanja naziva pomicanje prema naprijed.
Za uspješnu primjenu metode sweep-a potrebno je da u procesu proračuna ne postoje situacije s dijeljenjem s nulom, a kod velike dimenzionalnosti sustava ne bi trebalo doći do brzog povećanja pogrešaka zaokruživanja. Pozvat ćemo trčanje ispraviti, ako nazivnik sweep koeficijenata (10) ne nestaje, i održivi, ako je ½x i ½<1 при всех i=1,2,…, n. Достаточные условия корректности и устойчивости прогонки, которые во многих приложениях выполняются, определяются теоремой.
Teorema. Neka su koeficijenti a i c i jednadžbe (7) za i=2,3,..., n-1 različiti od nule i neka
½b i ½>½a i ½+½c i ½ za i=1, 2,..., n. (jedanaest)
Tada je sweep definiran formulama (10), (9) točan i stabilan.