Matrične norme. Dosljednost i podređenost normi
Enciklopedijski YouTube
1 / 1
✪ Vektorska norma. dio 4
Titlovi
Definicija
Neka je K glavno polje (obično K = R ili K = C ) i linearni je prostor svih matrica sa m redaka i n stupaca, koji se sastoji od elemenata K . Norma se daje na prostoru matrica ako je svakoj matrici pridružen nenegativni realni broj ‖ A ‖ (\displaystyle \|A\|), nazvao svoju normu, tako da
U slučaju kvadratnih matrica (tj. m = n), matrice se mogu množiti bez napuštanja prostora, pa stoga norme u tim prostorima obično također zadovoljavaju svojstvo submultiplikativnost :
Submultiplikativnost se može izvesti i za norme nekvadratnih matrica, ali definirana za nekoliko potrebnih veličina odjednom. Naime, ako je A matrica ℓ × m, a B je matrica m × n, onda A B- matrica ℓ × n .
Operatorske norme
Važna klasa matričnih normi su norme operatera, koji se takođe naziva podređeni ili inducirano . Norma operatora je jedinstveno konstruisana prema dvije norme definirane u i , na osnovu činjenice da bilo koja matrica m × n je predstavljen linearnim operatorom iz K n (\displaystyle K^(n)) in K m (\displaystyle K^(m)). konkretno,
‖ A ‖ = sup ( ‖ A x ‖ : x ∈ K n, ‖ x ‖ = 1) = sup ( ‖ A x ‖ ‖ x ‖ : x ∈ K n, x ≠ 0). (\displaystyle (\begin(aligned)\|A\|&=\sup\(\|Ax\|:x\in K^(n),\ \|x\|=1\)\\&=\ sup \left\((\frac (\|Ax\|)(\|x\|)):x\in K^(n),\ x\neq 0\desno\).\end(poravnano)))Pod uslovom da su norme na vektorskim prostorima konzistentno specificirane, takva norma je submultiplikativna (vidi ).
Primjeri normi operatera
Svojstva spektralne norme:
- Spektralna norma operatora jednaka je maksimalnoj singularnoj vrijednosti ovog operatora.
- Spektralna norma normalnog operatora jednaka je apsolutnoj vrijednosti maksimalne modulo svojstvene vrijednosti ovog operatora.
- Spektralna norma se ne mijenja kada se matrica pomnoži sa ortogonalnom (unitarnom) matricom.
Neoperatorske norme matrica
Postoje matrične norme koje nisu norme operatora. Koncept neoperatorskih normi matrica uveo je Yu. I. Lyubich, a proučavao G. R. Belitsky.
Primjer neoperaterske norme
Na primjer, razmotrite dvije različite norme operatora ‖ A ‖ 1 (\displaystyle \|A\|_(1)) i ‖ A ‖ 2 (\displaystyle \|A\|_(2)), kao što su norme redova i kolona. Formiranje nove norme ‖ A ‖ = m a x (‖ A ‖ 1 , ‖ A ‖ 2) (\displaystyle \|A\|=max(\|A\|_(1),\|A\|_(2))). Nova norma ima prstenasto svojstvo ‖ A B ‖ ≤ ‖ A ‖ ‖ B ‖ (\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|), čuva jedinicu ‖ I ‖ = 1 (\displaystyle \|I\|=1) i nije operator .
Primjeri normi
Vector p (\displaystyle p)-norm
Može se uzeti u obzir m × n (\displaystyle m\puta n) matrica kao vektor veličine m n (\displaystyle mn) i koristiti standardne vektorske norme:
‖ A ‖ p = ‖ v e c (A) ‖ p = (∑ i = 1 m ∑ j = 1 n | a i j | p) 1 / p (\displaystyle \|A\|_(p)=\|\mathrm ( vec) (A)\|_(p)=\left(\suma _(i=1)^(m)\suma _(j=1)^(n)|a_(ij)|^(p)\ desno)^(1/p))Frobenius norm
Frobenius norm, ili euklidske norme je poseban slučaj p-norme za str = 2 : ‖ A ‖ F = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j 2 (\displaystyle \|A\|_(F)=(\sqrt (\sum _(i=1)^(m)\sum _(j) =1)^(n)a_(ij)^(2)))).
Frobeniusovu normu je lako izračunati (u poređenju sa, na primjer, spektralnom normom). Ima sljedeća svojstva:
‖ A x ‖ 2 2 = ∑ i = 1 m | ∑ j = 1 n a i j x j | 2 ≤ ∑ i = 1 m (∑ j = 1 n | a i j | 2 ∑ j = 1 n | x j | 2) = ∑ j = 1 n | x j | 2 ‖ A ‖ F 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ x ‖ 2 2 . (\displaystyle \|Ax\|_(2)^(2)=\suma _(i=1)^(m)\levo|\suma _(j=1)^(n)a_(ij)x_( j)\desno|^(2)\leq \sum _(i=1)^(m)\levo(\sum _(j=1)^(n)|a_(ij)|^(2)\suma _(j=1)^(n)|x_(j)|^(2)\desno)=\suma _(j=1)^(n)|x_(j)|^(2)\|A\ |_(F)^(2)=\|A\|_(F)^(2)\|x\|_(2)^(2).)- Submultiplikativnost: ‖ A B ‖ F ≤ ‖ A ‖ F ‖ B ‖ F (\displaystyle \|AB\|_(F)\leq \|A\|_(F)\|B\|_(F)), jer ‖ A B ‖ F 2 = ∑ i , j | ∑ k a i k b k j | 2 ≤ ∑ i , j (∑ k | a i k | | b k j |) 2 ≤ ∑ i , j (∑ k | a i k | 2 ∑ k | b k j | 2) = ∑ i , k | a i k | 2 ∑ k , j | b k j | 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ B ‖ F 2 (\displaystyle \|AB\|_(F)^(2)=\sum _(i,j)\left|\sum _(k)a_(ik) b_(kj)\right|^(2)\leq \sum _(i,j)\left(\sum _(k)|a_(ik)||b_(kj)|\right)^(2)\ leq \sum _(i,j)\left(\sum _(k)|a_(ik)|^(2)\sum _(k)|b_(kj)|^(2)\right)=\sum _(i,k)|a_(ik)|^(2)\suma _(k,j)|b_(kj)|^(2)=\|A\|_(F)^(2)\| B\|_(F)^(2)).
- ‖ A ‖ F 2 = t r A ∗ A = t r A A ∗ (\displaystyle \|A\|_(F)^(2)=\mathop (\rm (tr)) A^(*)A=\ mathop (\rm (tr)) AA^(*)), gdje t r A (\displaystyle \mathop (\rm (tr)) A)- matrični trag A (\displaystyle A), A ∗ (\displaystyle A^(*)) je hermitska konjugirana matrica .
- ‖ A ‖ F 2 = ρ 1 2 + ρ 2 2 + ⋯ + ρ n 2 (\displaystyle \|A\|_(F)^(2)=\rho _(1)^(2)+\rho _ (2)^(2)+\dots +\rho _(n)^(2)), gdje ρ 1 , ρ 2 , … , ρ n (\displaystyle \rho _(1),\rho _(2),\dots ,\rho _(n))- singularne vrijednosti matrice A (\displaystyle A).
- ‖ A ‖ F (\displaystyle \|A\|_(F)) se ne mijenja prilikom množenja matrice A (\displaystyle A) lijevo ili desno na ortogonalne (unitarne) matrice.
Modul maksimum
Maksimalna norma modula je još jedan poseban slučaj p-norme za str = ∞ .
‖ A ‖ max = max ( | a i j | ). (\displaystyle \|A\|_(\text(max))=\max\(|a_(ij)|\).)Norm Shatten
Konzistentnost matričnih i vektorskih normi
Matrix Norm ‖ ⋅ ‖ a b (\displaystyle \|\cdot \|_(ab)) na K m × n (\displaystyle K^(m\puta n)) pozvao pristao sa normama ‖ ⋅ ‖ a (\displaystyle \|\cdot \|_(a)) na K n (\displaystyle K^(n)) i ‖ ⋅ ‖ b (\displaystyle \|\cdot \|_(b)) na K m (\displaystyle K^(m)), ako:
‖ A x ‖ b ≤ ‖ A ‖ a b ‖ x ‖ a (\displaystyle \|Ax\|_(b)\leq \|A\|_(ab)\|x\|_(a))za bilo koji A ∈ K m × n , x ∈ K n (\displaystyle A\u K^(m\puta n),x\u K^(n)). Po konstrukciji, norma operatora je konzistentna s originalnom vektorskom normom.
Primjeri dosljednih, ali ne i podređenih matričnih normi:
Ekvivalencija normi
Sve norme u svemiru K m × n (\displaystyle K^(m\puta n)) su ekvivalentne, odnosno za bilo koje dvije norme ‖ . α (\displaystyle \|.\|_(\alpha )) i ‖ . ‖ β (\displaystyle \|.\|_(\beta)) i za bilo koju matricu A ∈ K m × n (\displaystyle A\in K^(m\puta n)) dvostruka nejednakost je tačna.
» Lekcija 12. Matrični rang. Proračun ranga matrice. Matrična norma
Lekcija broj 12. Matrix rang. Proračun ranga matrice. Matrična norma.
Ako sve matrične minoreAredkjednaki su nuli, onda su svi minori reda k + 1, ako takvi postoje, također jednaki nuli.
Matrix rang A
je najveći poredak minora matrice A
, osim nule.
Maksimalni rang može biti jednak minimalnom broju redova ili stupaca matrice, tj. ako matrica ima veličinu 4x5, tada će maksimalni rang biti 4.
Minimalni rang matrice je 1, osim ako imate posla sa nultom matricom, gdje je rang uvijek nula.
Rang nedegenerisane kvadratne matrice reda n je jednak n, pošto je njena determinanta minor reda n, a nedegenerisana matrica nije nula.
Transponovanje matrice ne menja njen rang.
Neka je rang matrice . Tada se poziva bilo koji minor reda, osim nule osnovni mol.
Primjer. Date matricu A.
Determinanta matrice je nula.
Minor drugog reda . Dakle, r(A)=2 i minor je bazičan.
Osnovni maloljetnik je također maloljetnik .
Minor , jer =0, tako da neće biti osnovno.
Vježbajte: samostalno provjerite koji će drugi maloljetnici drugog reda biti osnovni, a koji ne.
Pronalaženje ranga matrice izračunavanjem svih njenih minora zahtijeva previše računskog rada. (Čitalac može potvrditi da postoji 36 minora drugog reda u kvadratnoj matrici četvrtog reda.) Stoga se za pronalaženje ranga koristi drugačiji algoritam. Da bismo to opisali, potrebne su neke dodatne informacije.
Sljedeće operacije na njima nazivamo elementarnim transformacijama matrica:
1) permutacija redova ili kolona;
2) množenje reda ili kolone brojem koji nije nula;
3) dodavanje u jedan od redova drugog reda, pomnoženog brojem, ili dodavanje u jednu od kolona druge kolone, pomnožene brojem.
Pod elementarnim transformacijama, rang matrice se ne mijenja.
Algoritam za izračunavanje ranga matrice je sličan algoritmu izračunavanja determinante i leži u činjenici da se uz pomoć elementarnih transformacija matrica svodi na jednostavan oblik za koji nije teško pronaći rang. Kako se rang nije mijenjao sa svakom transformacijom, izračunavanjem ranga transformirane matrice, na taj način nalazimo rang originalne matrice.
Neka je potrebno izračunati rang matrice dimenzija mxn.
Kao rezultat proračuna, matrica A1 ima oblik
Ako su svi redovi, počevši od trećeg, nula, onda , od maloljetnog . Inače, permutiranjem redova i kolona s brojevima većim od dva postižemo da se treći element trećeg reda razlikuje od nule. Dalje, dodavanjem trećeg reda, pomnoženog sa odgovarajućim brojevima, redovima sa velikim brojevima, dobijamo nule u trećem stupcu, počevši od četvrtog elementa, itd.
U nekoj fazi, doći ćemo do matrice u kojoj su svi redovi, počevši od (r + 1) th, jednaki nuli (ili ih nema u ), a minor u prvim redovima i prvim stupcima je determinanta trokuta matrica sa elementima koji nisu nula na dijagonali . Rang takve matrice je . Prema tome, Rang(A)=r.
U predloženom algoritmu za pronalaženje ranga matrice svi proračuni moraju biti izvedeni bez zaokruživanja. Proizvoljno mala promjena u barem jednom od elemenata međumatrice može dovesti do činjenice da će se rezultirajući odgovor razlikovati od ranga originalne matrice za nekoliko jedinica.
Ako su elementi u originalnoj matrici bili cijeli brojevi, onda je zgodno izvoditi proračune bez korištenja razlomaka. Stoga je u svakoj fazi preporučljivo nizove pomnožiti takvim brojevima da se u proračunima ne pojavljuju razlomci.
U laboratorijskom i praktičnom radu razmatrat ćemo primjer pronalaženja ranga matrice.
ALGORITAM PRONALAŽENJA MATRIX REGULATIVA
.
Postoje samo tri norme matrice.
Prva matrična norma= maksimum brojeva dobijenih sabiranjem svih elemenata svake kolone, uzetih po modulu.
Primjer: neka je data matrica 3x2 A (slika 10). Prva kolona sadrži elemente: 8, 3, 8. Svi elementi su pozitivni. Nađimo njihov zbir: 8+3+8=19. Druga kolona sadrži elemente: 8, -2, -8. Dva elementa su negativna, stoga je pri sabiranju ovih brojeva potrebno zamijeniti modul ovih brojeva (odnosno bez predznaka minus). Nađimo njihov zbir: 8+2+8=18. Maksimum ova dva broja je 19. Dakle, prva norma matrice je 19.
Slika 10.
Druga matrična norma predstavlja a Kvadratni korijen iz zbira kvadrata svih elemenata matrice. A to znači da kvadriramo sve elemente matrice, zatim dodamo rezultirajuće vrijednosti i izvučemo kvadratni korijen iz rezultata.
U našem slučaju, ispostavilo se da je norma 2 matrice jednaka kvadratnom korijenu od 269. Na dijagramu sam otprilike uzeo kvadratni korijen od 269 i rezultat je bio otprilike 16,401. Iako je ispravnije ne vaditi korijen.
Treća matrica norme je maksimum brojeva dobijenih zbrajanjem svih elemenata svakog reda, uzetih po modulu.
U našem primjeru: prvi red sadrži elemente: 8, 8. Svi elementi su pozitivni. Nađimo njihov zbir: 8+8=16. Drugi red sadrži elemente: 3, -2. Jedan od elemenata je negativan, tako da pri sabiranju ovih brojeva morate zamijeniti modul ovog broja. Nađimo njihov zbir: 3+2=5. Treći red sadrži elemente 8 i -8. Jedan od elemenata je negativan, tako da pri sabiranju ovih brojeva morate zamijeniti modul ovog broja. Nađimo njihov zbir: 8+8=16. Maksimum ova tri broja je 16. Dakle, treća norma matrice je 16.
Sastavio: Saliy N.A.
Matrična norma zovemo pravi broj koji je dodijeljen ovoj matrici ||A|| takav da je, kao realan broj, dodeljen svakoj matrici iz n-dimenzionalnog prostora i zadovoljava 4 aksioma:
1. ||A||³0 i ||A||=0 samo ako je A nula matrica;
2. ||αA||=|α|·||A||, pri čemu je R;
3. ||A+B||£||A||+||B||;
4. ||A·B||£||A||·||B||. (osobina multiplikativnosti)
Može se uvesti matrična norma Različiti putevi. Matrica A se može posmatrati kao n 2 - dimenzionalni vektor.
Ova norma se naziva euklidskom normom matrice.
Ako je za bilo koju kvadratnu matricu A i bilo koji vektor x čija je dimenzija jednaka redu matrice, nejednakost ||Ax||£||A||·||x||
tada kažemo da je norma matrice A konzistentna sa normom vektora. Imajte na umu da je norma vektora lijevo u posljednjem uvjetu (Ax je vektor).
Različite matrične norme su konzistentne sa datom vektorskom normom. Odaberimo najmanju među njima. Tako će biti
Ova norma matrice je podređena datoj vektorskoj normi. Postojanje maksimuma u ovom izrazu proizilazi iz kontinuiteta norme, jer uvijek postoji vektor x -> ||x||=1 i ||Ax||=||A||.
Pokažimo da x tada norma N(A) ne podliježe nijednoj vektorskoj normi. Matrične norme podređene prethodno uvedenim vektorskim normama izražavaju se na sljedeći način:
1. ||A|| ¥ = |a ij | (norma-maksimum)
2. ||A|| 1 = |a ij | (norm-zbroj)
3. ||A|| 2 = , (spektralna norma)
gdje je s 1 najveća vlastita vrijednost simetrične matrice A¢A, koja je proizvod transponovane i originalne matrice. Ako je matrica A¢A simetrična, tada su sve njene vlastite vrijednosti realne i pozitivne. Broj l je svojstvena vrijednost, a nenulti vektor x je svojstveni vektor matrice A (ako su povezani relacijom Ax=lx). Ako je matrica A sama po sebi simetrična, A¢ = A, tada je A¢A = A 2 i onda s 1 = , gdje je vlastita vrijednost matrice A sa najvećom apsolutnom vrijednošću. Dakle, u ovom slučaju imamo = .
Svojstvene vrijednosti matrice ne prelaze nijednu od njenih dogovorenih normi. Normalizujući relaciju koja definiše sopstvene vrednosti, dobijamo ||λx||=||Ax||, |λ|·||x||=||Ax||£||A||·||x||, | λ|£||A||
Od ||A|| 2 £||A|| e , gdje se euklidska norma može jednostavno izračunati, umjesto spektralne norme, u procjenama se može koristiti euklidska norma matrice.
30. Uslovljenost sistema jednačina. Faktor uslovljavanja .
Stepen uslovljenosti- uticaj odluke na početne podatke. ax = b: vektor b odgovara odluci x. Neka bće se promijeniti do . Zatim vektor b+ odgovaraće novom rješenju x+ : A(x+ ) = b+. Pošto je sistem linearan, onda Ax+A = b+, onda A = ; = ; = ; b = Ax; = onda ; * , gdje - relativna greška perturbacije rješenja, faktor uslovljavanjakond(A) (koliko puta se greška rješenja može povećati), je relativna perturbacija vektora b. kond(A) = ; kond(A)* Svojstva koeficijenta: zavisi od izbora norme matrice; kond( = kond(A); množenje matrice brojem ne utiče na faktor uslova. Što je koeficijent veći, to greška u početnim podacima jače utiče na rješenje SLAE. Broj uslova ne može biti manji od 1.
31. Sweep metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina.
Često postoji potreba za rješavanjem sistema čije su matrice, slabo popunjene, tj. koji sadrži mnogo elemenata koji nisu nula. Matrice ovakvih sistema obično imaju određenu strukturu, među kojima su i sistemi sa matricama trakaste strukture, tj. u njima se elementi različiti od nule nalaze na glavnoj dijagonali i na nekoliko sekundarnih dijagonala. Za rješavanje sistema sa matricama pojasa, Gaussova metoda se može transformisati u efikasnije metode. Razmotrimo najjednostavniji slučaj sistema traka, na koji se, kao što ćemo kasnije vidjeti, rješavanje problema diskretizacije za granične probleme za diferencijalne jednadžbe svodi metodama konačnih razlika, konačnih elemenata itd. Trodijagonalna matrica je takva matrica koja ima elemente različite od nule samo na glavnoj dijagonali i uz nju:
Tri dijagonalna matrica elemenata koji nisu nula ima ukupno (3n-2).
Preimenujte koeficijente matrice:
Zatim, u notaciji komponenta po komponenta, sistem se može predstaviti kao:
A i * x i-1 + b i * x i + c i * x i+1 = d i , i=1, 2,…, n; (7)
a 1 =0, c n =0. (osam)
Struktura sistema pretpostavlja odnos samo između susjednih nepoznanica:
x i \u003d x i * x i +1 + h i (9)
x i -1 =x i -1* x i + h i -1 i zamijeni u (7):
A i (x i-1* x i + h i-1)+ b i * x i + c i * x i+1 = d i
(a i * x i-1 + b i)x i = –c i * x i+1 +d i –a i * h i-1
Upoređujući rezultujući izraz sa prikazom (7), dobijamo:
Formule (10) predstavljaju rekurzivne relacije za izračunavanje koeficijenata sweep-a. Oni zahtijevaju da se navedu početne vrijednosti. U skladu sa prvim uslovom (8) za i =1 imamo 1 =0, što znači
Nadalje, preostali koeficijenti sweep se izračunavaju i pohranjuju prema formulama (10) za i=2,3,…,n, a za i=n, uzimajući u obzir drugi uvjet (8), dobijamo x n =0 . Dakle, u skladu sa formulom (9) x n = h n .
Nakon toga, prema formuli (9), sekvencijalno se pronalaze nepoznanice x n -1 , x n -2 , …, x 1. Ova faza proračuna se naziva reverse run, dok se izračunavanje koeficijenata sweep zove naprijed sweep.
Za uspješnu primjenu sweep metode potrebno je da u procesu proračuna ne dođe do situacija s podjelom na nulu, a uz veliku dimenzionalnost sistema ne bi trebalo doći do naglog povećanja grešaka zaokruživanja. Pozvaćemo trčanje ispravan, ako nazivnik koeficijenata sweep-a (10) ne nestane, i održivo, ako je ½x i ½<1 при всех i=1,2,…, n. Достаточные условия корректности и устойчивости прогонки, которые во многих приложениях выполняются, определяются теоремой.
Teorema. Neka su koeficijenti a i i c i jednadžbe (7) za i=2,3,..., n-1 različiti od nule i neka
½b i ½>½a i ½+½c i ½ za i=1, 2,..., n. (jedanaest)
Tada je sweep definiran formulama (10), (9) ispravan i stabilan.