معايير المصفوفة. الاتساق والتبعية من القواعد
موسوعي يوتيوب
1 / 1
✪ قاعدة المتجهات. الجزء الرابع
ترجمات
تعريف
دع K يكون الحقل الرئيسي (عادةً ك = ص أو ك = ج ) وهي المساحة الخطية لجميع المصفوفات التي تحتوي على صفوف m و n من الأعمدة ، وتتكون من عناصر K. يتم إعطاء معيار على مساحة المصفوفات إذا كانت كل مصفوفة مرتبطة برقم حقيقي غير سالب ‖ أ ‖ (displaystyle | A |)، تسمى القاعدة ، لذلك
في حالة المصفوفات المربعة (أي م = ن) ، يمكن مضاعفة المصفوفات دون ترك المساحة ، وبالتالي فإن القواعد في هذه المساحات عادةً ما ترضي أيضًا الخاصية الضخامة :
يمكن أيضًا إجراء الضخامة لمعايير المصفوفات غير المربعة ، ولكن يتم تحديدها للعديد من الأحجام المطلوبة في وقت واحد. وهي إذا كانت A مصفوفة ℓ × م، و B هي المصفوفة م × ن، ومن بعد أ ب- مصفوفة ℓ × ن .
قواعد المشغل
فئة مهمة من قواعد المصفوفة هي قواعد المشغل، كما يشار إلى المرؤوسين أو الناجم عن . يتم إنشاء معيار المشغل بشكل فريد وفقًا للمعيارين المحددين في و استنادًا إلى حقيقة أن أي مصفوفة م × نيمثله عامل تشغيل خطي من البوتاسيوم n (displaystyle K ^ (n))في البوتاسيوم م (displaystyle K ^ (m)). خاصة،
‖ A ‖ = sup (‖ A x ‖: x ∈ K n، ‖ x ‖ = 1) = sup (‖ A x ‖ ‖ x ‖: x ∈ K n، x ≠ 0). (\ displaystyle (\ start (align) \ | A \ | & = \ sup \ (\ | Ax \ |: x \ in K ^ (n)، \ | x \ | = 1 \) \ & = \ sup \ left \ ((\ frac (\ | Ax \ |) (\ | x \ |)): x \ in K ^ (n)، \ x \ neq 0 \ right \). \ end (align)))في ظل الشرط الذي يتم فيه تحديد المعايير الخاصة بالمساحات المتجهية باستمرار ، يكون هذا المعيار غير متكاثر (انظر).
أمثلة على قواعد المشغل
خصائص القاعدة الطيفية:
- المعيار الطيفي للمشغل يساوي الحد الأقصى للقيمة الفردية لهذا المشغل.
- المعيار الطيفي لمشغل عادي يساوي القيمة المطلقة للقيمة الذاتية القصوى للنموذج لهذا المشغل.
- لا يتغير المعيار الطيفي عندما يتم ضرب المصفوفة بمصفوفة متعامدة (وحدوية).
قواعد المصفوفات غير المشغلة
هناك معايير مصفوفة ليست معايير المشغل. تم تقديم مفهوم قواعد المصفوفات غير المشغلة بواسطة Yu. I. Lyubich ودرسها G.R Belitsky.
مثال على قاعدة غير المشغل
على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك معيارين مختلفين للمشغل ‖ أ ‖ 1 (displaystyle | A | _ (1))و ‖ أ ‖ 2 (displaystyle | A | _ (2))، مثل قواعد الصف والعمود. تشكيل قاعدة جديدة ‖ أ ‖ = م أ س (‖ أ ‖ 1، ‖ أ ‖ 2) (displaystyle | A | = max (| A | | _ (1)، | A | | _ (2))). القاعدة الجديدة لها خاصية حلقي ‖ أ ب ‖ ≤ ‖ أ ‖ ‖ ب ‖ (displaystyle | AB | | leq | A | | | B |)يحافظ على الوحدة ‖ أنا ‖ = 1 (displaystyle | I | = 1)وليس عامل.
أمثلة على القواعد
المتجه * (displaystyle p)-معيار
يمكن اعتباره م × n (displaystyle m times n)مصفوفة كمتجه الحجم م n (displaystyle mn)واستخدام معايير المتجهات القياسية:
‖ أ ‖ * = ‖ ك.ج (أ) ‖ * * = (∑ أنا = 1 م ∑ ي = 1 ن | أ i ي | ع) 1 / ف (displaystyle | A | _ (p) = | mathrm ( vec) (A) \ | _ (p) = \ left (\ sum _ (i = 1) ^ (m) \ sum _ (j = 1) ^ (n) | a_ (ij) | ^ (p) \ يمين) ^ (1 / ع))قاعدة فروبينيوس
قاعدة فروبينيوس، أو القاعدة الإقليديةهي حالة خاصة للقاعدة p لـ ص = 2 : ‖ A ‖ F = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j 2 (displaystyle | A | _ (F) = (sqrt (sum _ (i = 1) ^ (m) sum _ (j = 1) ^ (n) a_ (ij) ^ (2)))).
من السهل حساب معيار Frobenius (مقارنة ، على سبيل المثال ، بالمعيار الطيفي). لها الخصائص التالية:
‖ أ س ‖ 2 2 = ∑ أنا = 1 م | ∑ j = 1 n a i j x j | 2 ≤ ∑ i = 1 م (∑ j = 1 n | a i j | 2 ∑ j = 1 n | x j | 2) = ∑ j = 1 n | x ي | 2 ‖ A ‖ F 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ x ‖ 2 2. (displaystyle | Axe | _ (2) ^ (2) = sum _ (i = 1) ^ (m) left | sum _ (j = 1) ^ (n) a_ (ij) x_ ( j) \ right | ^ (2) \ leq \ sum _ (i = 1) ^ (m) \ left (\ sum _ (j = 1) ^ (n) | a_ (ij) | ^ (2) \ sum _ (j = 1) ^ (n) | x_ (j) | ^ (2) \ right) = \ sum _ (j = 1) ^ (n) | x_ (j) | ^ (2) \ | A \ | _ (F) ^ (2) = \ | A \ | _ (F) ^ (2) \ | x \ | _ (2) ^ (2).)- الخضوع: ‖ A B ‖ F ≤ ‖ A ‖ F ‖ B ‖ F (displaystyle | AB | _ (F) leq | A | _ (F) | B | _ (F))، لان ‖ أ ب ‖ و 2 = ∑ ط ، ي | ∑ k a i k b k j | 2 ≤ ∑ i، j (∑ k | a i k | | b k j |) 2 ≤ ∑ i، j (∑ k | a i k | 2 ∑ k | b k j | 2) = ∑ i، k | أ ط ك | 2 ∑ ك ، ي | ب ك ي | 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ B ‖ F 2 (\ displaystyle \ | AB \ | _ (F) ^ (2) = sum _ (i، j) left | sum _ (k) a_ (ik) b_ (kj) \ right | ^ (2) \ leq \ sum _ (i، j) \ left (\ sum _ (k) | a_ (ik) || b_ (kj) | \ right) ^ (2) \ leq \ sum _ (i، j) \ left (\ sum _ (k) | a_ (ik) | ^ (2) \ sum _ (k) | b_ (kj) | ^ (2) \ right) = \ sum _ (i، k) | a_ (ik) | ^ (2) \ sum _ (k، j) | b_ (kj) | ^ (2) = \ | A \ | _ (F) ^ (2) \ | ب \ | _ (ف) ^ (2)).
- ‖ A ‖ F 2 = t r A ∗ A = t r A A ∗ (displaystyle | A | _ (F) ^ (2) = mathop (rm (tr)) A ^ (*) A = الرياضيات (\ rm (tr)) AA ^ (*))، أين t r A (displaystyle mathop (rm (tr)) A)- تتبع المصفوفة أ (displaystyle A), أ ∗ (displaystyle A ^ (*))هي مصفوفة مترافقة هرميتية.
- ‖ A ‖ F 2 = ρ 1 2 + ρ 2 2 + ⋯ + ρ n 2 (displaystyle | A | _ (F) ^ (2) = rho _ (1) ^ (2) + rho _ (2) ^ (2) + \ dots + \ rho _ (n) ^ (2))، أين ρ 1، ρ 2، ...، ρ n (displaystyle rho _ (1)، rho _ (2)، dots، rho _ (n))- القيم الفردية للمصفوفة أ (displaystyle A).
- ‖ أ ‖ و (displaystyle | A | _ (F))لا يتغير عند ضرب المصفوفة أ (displaystyle A)يسارًا أو يمينًا على المصفوفات المتعامدة (الوحدوية).
وحدة كحد أقصى
معيار المعامل الأقصى هو حالة خاصة أخرى من معيار p لـ ص = ∞ .
‖ أ ‖ ماكس = ماكس (| أ i ي |). (displaystyle | A | _ (text (max)) = max (| a_ (ij) |).)نورم شاتن
اتساق المصفوفة وقواعد المتجهات
مصفوفة نورم ‖ ⋅ ‖ أ ب (displaystyle | cdot | _ (ab))على ال البوتاسيوم م × n (displaystyle K ^ (m times n))اتصل متفق عليهمع الأعراف ‖ ⋅ ‖ أ (displaystyle | cdot | _ (a))على ال البوتاسيوم n (displaystyle K ^ (n))و ‖ ⋅ ‖ ب (displaystyle | cdot | _ (b))على ال البوتاسيوم م (displaystyle K ^ (m))، إذا:
‖ أ س ‖ ب ≤ ‖ أ ‖ أ ب ‖ س ‖ أ (displaystyle | Axe | _ (b) leq | A | _ (ab) | x | _ (a))لأي أ ∈ البوتاسيوم م × n، س ∈ البوتاسيوم n (displaystyle A in K ^ (m times n) ، x in K ^ (n)). من خلال البناء ، يتوافق معيار المشغل مع معيار المتجه الأصلي.
أمثلة على قواعد المصفوفة المتسقة وليست الثانوية:
معادلة القواعد
كل القواعد في الفضاء البوتاسيوم م × n (displaystyle K ^ (m times n))متكافئة ، أي لأي معيارين ‖. α (displaystyle |. | _ (alpha))و ‖. ‖ β (displaystyle |. | _ (beta))ولأي مصفوفة أ ∈ البوتاسيوم م × n (displaystyle A in K ^ (m times n))عدم المساواة المزدوجة صحيح.
»الدرس 12. رتبة المصفوفة. حساب رتبة المصفوفة. قاعدة المصفوفة
رقم الدرس 12. رتبة المصفوفة. حساب رتبة المصفوفة. قاعدة المصفوفة.
إذا كان كل مصفوفة القصرأترتيبكتساوي صفرًا ، فإن كل العناصر الصغرى من الرتبة k + 1 ، إن وجدت ، تساوي أيضًا صفرًا.
رتبة المصفوفة أ
هو أكبر ترتيب للقصر المصفوفة أ
، بخلاف الصفر.
يمكن أن يكون الحد الأقصى للرتبة مساويًا للحد الأدنى لعدد الصفوف أو الأعمدة في المصفوفة ، أي إذا كان حجم المصفوفة 4 × 5 ، فسيكون الحد الأقصى هو 4.
الحد الأدنى لترتيب المصفوفة هو 1 ، إلا إذا كنت تتعامل مع مصفوفة صفرية ، حيث تكون الرتبة دائمًا صفرًا.
إن رتبة مصفوفة مربعة غير مولدة من الرتبة n تساوي n ، لأن محددها هو رتبة ثانوية من الرتبة n والمصفوفة غير المولدة ليست صفرية.
إن تبديل المصفوفة لا يغير مرتبتها.
دع رتبة المصفوفة تكون. ثم يتم استدعاء أي أمر ثانوي ، باستثناء الصفر ثانوي أساسي.
مثال.بالنظر إلى مصفوفة A.
محدد المصفوفة هو صفر.
الصغرى من الدرجة الثانية . لذلك ، r (A) = 2 والقاصر أساسي.
القاصر الأساسي هو أيضًا قاصر .
تحت السن القانوني ، لان = 0 ، لذلك لن تكون أساسية.
ممارسه الرياضه: تحقق بشكل مستقل من القاصرين من الدرجة الثانية الآخرين الذين سيكونون أساسيين وأيهم لن يكون كذلك.
يتطلب العثور على مرتبة المصفوفة عن طريق حساب كل صغارها الكثير من العمل الحسابي. (يمكن للقارئ التحقق من وجود 36 قاصرًا من الدرجة الثانية في مصفوفة مربعة من الدرجة الرابعة.) لذلك ، يتم استخدام خوارزمية مختلفة للعثور على الرتبة. لوصف ذلك ، مطلوب بعض المعلومات الإضافية.
نسمي العمليات التالية عليها تحولات أولية للمصفوفات:
1) تبديل الصفوف أو الأعمدة ؛
2) ضرب صف أو عمود بعدد غير صفري ؛
3) إضافة صف آخر إلى أحد الصفوف ، مضروبًا في رقم ، أو إضافة إلى أحد أعمدة عمود آخر ، مضروبًا في رقم.
في ظل التحولات الأولية ، لا تتغير رتبة المصفوفة.
خوارزمية لحساب رتبة المصفوفةتشبه خوارزمية حساب المحدد وتكمن في حقيقة أنه بمساعدة التحويلات الأولية ، يتم تقليل المصفوفة إلى شكل بسيط ليس من الصعب العثور على الرتبة فيه. نظرًا لأن الرتبة لم تتغير مع كل تحويل ، فمن خلال حساب رتبة المصفوفة المحولة ، نجد بالتالي رتبة المصفوفة الأصلية.
فليكن مطلوبًا لحساب رتبة مصفوفة الأبعاد مxن.
نتيجة العمليات الحسابية ، تظهر المصفوفة A1 على الشكل
إذا كانت كل الصفوف ، بدءًا من الصف الثالث ، صفرًا ، إذن ، منذ الصغر . بخلاف ذلك ، من خلال تبديل الصفوف والأعمدة ذات الأرقام الأكبر من اثنين ، نحقق أن العنصر الثالث في الصف الثالث يختلف عن الصفر. علاوة على ذلك ، بإضافة الصف الثالث ، مضروبًا في الأرقام المقابلة ، إلى الصفوف ذات الأعداد الكبيرة ، نحصل على أصفار في العمود الثالث ، بدءًا من العنصر الرابع ، وهكذا.
في مرحلة ما ، سنصل إلى مصفوفة تكون فيها جميع الصفوف ، بدءًا من (r + 1) th ، مساوية للصفر (أو غائبة عند) ، والقاصر في الصفوف الأولى والأعمدة الأولى هو محدد المثلث مصفوفة تحتوي على عناصر غير صفرية على القطر. رتبة مثل هذه المصفوفة. لذلك ، Rang (A) = r.
في الخوارزمية المقترحة لإيجاد رتبة مصفوفة ، يجب إجراء جميع الحسابات بدون تقريب. يمكن أن يؤدي تغيير طفيف تعسفي في عنصر واحد على الأقل من عناصر المصفوفات الوسيطة إلى حقيقة أن الإجابة الناتجة ستختلف عن رتبة المصفوفة الأصلية بعدة وحدات.
إذا كانت العناصر في المصفوفة الأصلية أعدادًا صحيحة ، فمن الملائم إجراء العمليات الحسابية دون استخدام الكسور. لذلك ، في كل مرحلة ، يُنصح بضرب السلاسل بمثل هذه الأرقام بحيث لا تظهر أي كسور في الحسابات.
في المختبر والعمل العملي ، سننظر في مثال لإيجاد رتبة مصفوفة.
البحث عن الخوارزمية قواعد المصفوفة
.
لا يوجد سوى ثلاثة معايير للمصفوفة.
أول مصفوفة نورم= الحد الأقصى للأرقام التي تم الحصول عليها عن طريق إضافة جميع عناصر كل عمود ، مأخوذ من modulo.
مثال: دعنا نعطي مصفوفة 3x2 A (الشكل 10). يحتوي العمود الأول على العناصر: 8 ، 3 ، 8. جميع العناصر موجبة. لنجد مجموعهم: 8 + 3 + 8 = 19. يحتوي العمود الثاني على العناصر: 8 ، -2 ، -8. عنصران سالبان ، لذلك ، عند جمع هذه الأرقام ، من الضروري استبدال مقياس هذه الأرقام (أي بدون علامات الطرح). لنجد مجموعهم: 8 + 2 + 8 = 18. الحد الأقصى لهذين الرقمين هو 19. إذن القاعدة الأولى للمصفوفة هي 19.
الشكل 10.
قاعدة المصفوفة الثانيةيمثل أ الجذر التربيعيمن مجموع مربعات جميع عناصر المصفوفة. وهذا يعني أننا نقوم بتربيع جميع عناصر المصفوفة ، ثم نضيف القيم الناتجة واستخراج الجذر التربيعي من النتيجة.
في حالتنا ، تبين أن القاعدة 2 للمصفوفة تساوي الجذر التربيعي للرقم 269. في الرسم التخطيطي ، أخذت الجذر التربيعي لـ 269 وكانت النتيجة تقريبًا 16.401. على الرغم من أنه من الأصح عدم استخراج الجذر.
مصفوفة القاعدة الثالثةهو الحد الأقصى للأرقام التي تم الحصول عليها عن طريق إضافة جميع عناصر كل صف ، مأخوذ من modulo.
في مثالنا: السطر الأول يحتوي على العناصر: 8 ، 8. جميع العناصر موجبة. لنجد مجموعهم: 8 + 8 = 16. السطر الثاني يحتوي على العناصر: 3 ، -2. أحد العناصر سالب ، لذا عند جمع هذه الأرقام ، يجب أن تعوض بمقياس هذا العدد. لنجد مجموعهم: 3 + 2 = 5. يحتوي السطر الثالث على العناصر 8 و -8. أحد العناصر سالب ، لذا عند جمع هذه الأرقام ، يجب أن تعوض بمقياس هذا العدد. لنجد مجموعهم: 8 + 8 = 16. الحد الأقصى لهذه الأرقام الثلاثة هو 16. إذن القاعدة الثالثة للمصفوفة هي 16.
بقلم: Saliy N.A.
قاعدة المصفوفةنسمي الرقم الحقيقي المخصص لهذه المصفوفة || A || بحيث ، كرقم حقيقي ، يتم تخصيصه لكل مصفوفة من الفضاء ذي البعد n ويفي بـ 4 بديهيات:
1. || A || ³0 و || A || = 0 فقط إذا كانت A مصفوفة صفرية ؛
2. || αA || = | α | · || A ||، حيث R؛
3. || A + B || £ || A || + || B ||
4. || A · B || £ || A || · || B ||. (خاصية تعدد)
يمكن تقديم قاعدة المصفوفة طرق مختلفة. يمكن اعتبار المصفوفة أ ن 2 -ناقلات الأبعاد.
هذه القاعدة تسمى القاعدة الإقليدية للمصفوفة.
إذا كانت أي مصفوفة مربعة A وأي متجه x يكون بعده مساويًا لترتيب المصفوفة ، فإن المتباينة || Ax || £ || A || · || x ||
ثم نقول إن قاعدة المصفوفة A تتوافق مع معيار المتجه. لاحظ أن قاعدة المتجه على اليسار في الحالة الأخيرة (الفأس متجه).
تتوافق معايير المصفوفة المختلفة مع معيار ناقل معين. دعونا نختار الأصغر بينهم. سيكون هذا
معيار المصفوفة هذا خاضع لقاعدة المتجه المحددة. يأتي وجود الحد الأقصى في هذا التعبير من استمرارية القاعدة ، حيث يوجد دائمًا متجه x -> || x || = 1 و || Ax || = || A ||.
دعنا نظهر أن xthen القاعدة N (A) لا تخضع لأي معيار متجه. يتم التعبير عن معايير المصفوفة التابعة لمعايير المتجه المقدمة سابقًا على النحو التالي:
1. || A || ¥ = | a ij | (القاعدة القصوى)
2. || A || 1 = | a ij | (مجموع عادي)
3. || A || 2 = ، (معيار طيفي)
حيث s 1 هي أكبر قيمة ذاتية للمصفوفة المتماثلة A ¢ A ، وهي حاصل ضرب المصفوفتين المنقولة والأصلية. إذا كانت المصفوفة A ¢ A متماثلة ، فإن كل قيمها الذاتية تكون حقيقية وإيجابية. الرقم l هو قيمة ذاتية ، والمتجه غير الصفري x هو متجه ذاتي للمصفوفة A (إذا كانا مرتبطين بالعلاقة Ax = lx). إذا كانت المصفوفة A هي نفسها متماثلة ، A ¢ = A ، ثم A ¢ A = A 2 ثم s 1 = ، أين هي القيمة الذاتية للمصفوفة A ذات القيمة المطلقة الأكبر ، لذلك لدينا في هذه الحالة =.
لا تتجاوز قيم المصفوفة الذاتية أيًا من معاييرها المتفق عليها. تطبيع العلاقة التي تحدد قيم eigenvalues ، نحصل على || λx || = || Ax ||، | λ | · || x || = || Ax || £ || A || · || x ||، | λ | £ || A ||
منذ || A || 2 جنيه استرليني || A || هـ ، حيث يمكن حساب المعيار الإقليدي ببساطة ، بدلاً من القاعدة الطيفية ، يمكن استخدام المعيار الإقليدي للمصفوفة في التقديرات.
30. شرطية أنظمة المعادلات. عامل التكييف .
درجة الشرطية- تأثير القرار على البيانات الأولية. الفأس = ب: المتجه بيتوافق مع القرار x. يترك بسوف تتغير بواسطة. ثم المتجه ب +سيطابق الحل الجديد x + : ا (x + ) = ب +. بما أن النظام خطي ، إذن الفأس + أ = ب +، ومن بعد أ = ; = ; = ; ب = الفأس؛ = إذن ؛ * ، أين - خطأ نسبياضطرابات الحل ، عامل التكييفكوند (أ) (كم مرة يمكن أن يزداد خطأ المحلول) ، هو الاضطراب النسبي للمتجه ب. كوند (أ) = ; كوند (أ) *خصائص المعامل: يعتمد على اختيار قاعدة المصفوفة ؛ كوند ( = الشرط (أ)؛ ضرب المصفوفة في رقم لا يؤثر على عامل الشرط. كلما زاد المعامل ، كلما كان الخطأ في البيانات الأولية أقوى مما يؤثر على حل SLAE. لا يمكن أن يكون رقم الحالة أقل من 1.
31. طريقة الكنس لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية.
غالبًا ما تكون هناك حاجة لحل الأنظمة التي تملأ المصفوفات بشكل ضعيف ، أي تحتوي على العديد من العناصر غير الصفرية. عادةً ما يكون لمصفوفات هذه الأنظمة بنية معينة ، من بينها أنظمة ذات مصفوفات بنية النطاق ، أي في نفوسهم ، توجد عناصر غير صفرية على القطر الرئيسي وعلى عدة أقطار ثانوية. لحل الأنظمة باستخدام مصفوفات النطاق ، يمكن تحويل طريقة Gaussian إلى طرق أكثر كفاءة. دعونا ننظر في أبسط حالة لأنظمة الأشرطة ، والتي ، كما سنرى لاحقًا ، يتم تقليل حل مشاكل التمييز لمشكلات القيمة الحدية للمعادلات التفاضلية من خلال طرق الفروق المحدودة ، والعناصر المحدودة ، وما إلى ذلك. مصفوفة ثلاثية الأقطار هي مثل هذه المصفوفة التي تحتوي على عناصر غير صفرية فقط على القطر الرئيسي والمجاور لها:
إجمالي المصفوفة الثلاثة للعناصر غير الصفرية (3n-2).
أعد تسمية معاملات المصفوفة:
بعد ذلك ، في تدوين مكون على حدة ، يمكن تمثيل النظام على النحو التالي:
A i * x i-1 + b i * x i + c i * x i + 1 = d i , أنا = 1 ، 2 ، ... ، ن ؛ (7)
أ 1 = 0 ، ج ن = 0. (ثمانية)
يفترض هيكل النظام العلاقة فقط بين المجهولين المتجاورين:
x i \ u003d x i * x i +1 + h i (9)
x i -1 = x i -1 * x i + h i -1 واستبدل بـ (7):
أ i (x i-1 * x i + h i-1) + b i * x i + c i * x i + 1 = d i
(a i * x i-1 + b i) x i = –c i * x i + 1 + d i –a i * h i-1
بمقارنة التعبير الناتج بالتمثيل (7) ، نحصل على:
تمثل الصيغ (10) العلاقات العودية لحساب معاملات المسح. تتطلب تحديد القيم الأولية. وفقًا للشرط الأول (8) لـ i = 1 ، لدينا 1 = 0 ، مما يعني
علاوة على ذلك ، يتم حساب معاملات المسح المتبقية وتخزينها وفقًا للصيغ (10) لـ i = 2،3 ، ... ، n ، وبالنسبة لـ i = n ، مع مراعاة الشرط الثاني (8) ، نحصل على x n = 0 . لذلك ، وفقًا للصيغة (9) x n = h n.
بعد ذلك ، وفقًا للصيغة (9) ، تم العثور على المجهول x n -1 ، x n -2 ، ... ، x 1 بالتتابع. تسمى هذه المرحلة من الحساب بالتشغيل العكسي ، بينما يسمى حساب معاملات المسح بالمسح الأمامي.
من أجل التطبيق الناجح لطريقة المسح ، من الضروري في عملية الحسابات عدم وجود حالات قسمة على الصفر ، ومع وجود أبعاد كبيرة للأنظمة لا ينبغي أن تكون هناك زيادة سريعة في أخطاء التقريب. سوف ندعو الجري صحيح، إذا كان مقام معاملات المسح (10) لا يتلاشى ، و مستدام، إذا x أنا ½<1 при всех i=1,2,…, n. Достаточные условия корректности и устойчивости прогонки, которые во многих приложениях выполняются, определяются теоремой.
نظرية. دع المعاملين a i و c i للمعادلة (7) لـ i = 2،3 ، ... ، n-1 تكون مختلفة عن الصفر ودعها
½b i ½> ½a i ½ + ½c i ½ لـ i = 1، 2، ...، n. (أحد عشر)
ثم يكون المسح المحدد بواسطة الصيغ (10) ، (9) صحيحًا ومستقرًا.