Изчисляване на площите на равнинни фигури с помощта на интеграла. Определен интеграл
Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура
Сега се обръщаме към разглеждането на приложенията на интегралното смятане. В този урок ще анализираме типична и най-често срещана задача. Как да използваме определен интеграл за изчисляване на площта на равнинна фигура. И накрая, тези, които търсят смисъл във висшата математика - дано го намерят. Никога не знаеш. В реалния живот ще трябва да приближите лятна вила с елементарни функции и да намерите нейната площ, като използвате определен интеграл.
За да усвоите успешно материала, трябва:
1) Разберете неопределения интеграл поне на средно ниво. Следователно манекените трябва първо да прочетат урока Не.
2) Да може да приложи формулата на Нютон-Лайбниц и да изчисли определения интеграл. Ковайте топло приятелски отношенияс определени интеграли можете да намерите на страницата Определен интеграл. Примери за решения.
Всъщност, за да намерите площта на фигура, не се нуждаете от толкова много познания за неопределения и определен интеграл. Задачата "изчислете площта с помощта на определен интеграл" винаги включва изграждането на чертеж, така че вашите знания и умения за рисуване ще бъдат много по-подходящ въпрос. В тази връзка е полезно да опресните паметта на графиките на основните елементарни функции и като минимум да можете да изграждате права линия, парабола и хипербола. Това може да стане (мнозина се нуждаят от това) с помощта на методически материали и статия за геометрични трансформации на графики.
Всъщност всеки е запознат с проблема за намиране на площта с помощта на определен интеграл още от училище и ние ще отидем малко по-напред от училищната програма. Тази статия може изобщо да не съществува, но факт е, че проблемът възниква в 99 случая от 100, когато студент е измъчван от омразна кула с ентусиазъм, овладявайки курс по висша математика.
Материалите на този семинар са представени просто, подробно и с минимум теория.
Нека започнем с криволинеен трапец.
Криволинеен трапецнаречена плоска фигура, ограничена от оста, прави линии и графиката на функция, непрекъсната върху сегмент, който не променя знака на този интервал. Нека тази фигура се намира не по-малкоабсциса:
Тогава площта на криволинейния трапец е числено равна на определен интеграл. Всеки определен интеграл (който съществува) има много добро геометрично значение. На урока Определен интеграл. Примери за решенияКазах, че определен интеграл е число. И сега е време да заявя друго полезен факт. От гледна точка на геометрията, определеният интеграл е ПЛОЩТА.
Това е, определеният интеграл (ако съществува) геометрично съответства на площта на някаква фигура. Например, разгледайте определения интеграл. Интеграндът определя крива в равнината, която се намира над оста (желаещите могат да допълнят чертежа), а самият определен интеграл е числено равен на площта на съответния криволинеен трапец.
Пример 1
Това е типична постановка на задача. Първият и най-важен момент от решението е изграждането на чертеж. Освен това чертежът трябва да бъде изграден ДЯСНО.
Когато изграждате план, препоръчвам следния ред: първипо-добре е да конструирате всички линии (ако има такива) и само след- параболи, хиперболи, графики на други функции. Функционалните графики са по-изгодни за изграждане точка по точка, с техниката на точковата конструкция можете да намерите в референтния материал Графики и свойства на елементарни функции. Там можете да намерите и материал, който е много полезен във връзка с нашия урок - как бързо да построим парабола.
В този проблем решението може да изглежда така.
Нека направим чертеж (обърнете внимание, че уравнението дефинира оста):
Няма да щриховам криволинеен трапец, ясно е за каква площ говорим тук. Решението продължава така:
На сегмента е разположена графиката на функцията над ос, Ето защо:
Отговор:
Който има затруднения при изчисляването на определения интеграл и прилагането на формулата на Нютон-Лайбниц , вижте лекцията Определен интеграл. Примери за решения.
След като задачата е изпълнена, винаги е полезно да погледнете рисунката и да разберете дали отговорът е реален. В този случай „на око“ преброяваме броя на клетките в чертежа - добре, около 9 ще бъдат въведени, изглежда вярно. Съвсем ясно е, че ако имахме, да речем, отговора: 20 квадратни единици, тогава, очевидно, някъде е допусната грешка - 20 клетки очевидно не се вписват във въпросната цифра, най-много дузина. Ако отговорът се окаже отрицателен, значи задачата също е решена неправилно.
Пример 2
Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите , , и оста
Това е пример за „направи си сам“. Пълно решение и отговор в края на урока.
Какво да направите, ако се намира криволинейният трапец под ос?
Пример 3
Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии и координатни оси.
Решение: Да направим рисунка:
Ако се намира криволинейният трапец под ос(или поне не по-високададена ос), тогава неговата площ може да се намери по формулата:
В такъв случай:
внимание! Не бъркайте двата типа задачи:
1) Ако бъдете помолени да решите само определен интеграл без никакво геометрично значение, тогава той може да бъде отрицателен.
2) Ако бъдете помолени да намерите площта на фигура, като използвате определен интеграл, тогава площта винаги е положителна! Ето защо минусът се появява в току-що разгледаната формула.
На практика най-често фигурата се намира както в горната, така и в долната полуравнина и затова от най-простите училищни задачи преминаваме към по-смислени примери.
Пример 4
Намерете площта на плоска фигура, ограничена от линии, .
Решение: Първо трябва да завършите чертежа. Най-общо казано, когато конструираме чертеж в задачи с площи, най-много се интересуваме от пресечните точки на линиите. Нека намерим пресечните точки на параболата и правата. Това може да стане по два начина. Първият начин е аналитичен. Решаваме уравнението:
Следователно, долната граница на интеграция, горната граница на интеграция.
Най-добре е да не използвате този метод, ако е възможно..
Много по-изгодно и по-бързо е да се изграждат линиите точка по точка, докато границите на интеграция се откриват сякаш „от само себе си“. Техниката за конструиране точка по точка за различни диаграми е разгледана подробно в помощта Графики и свойства на елементарни функции. Независимо от това, аналитичният метод за намиране на границите все още понякога трябва да се използва, ако например графиката е достатъчно голяма или нишковата конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални). И ние също ще разгледаме такъв пример.
Връщаме се към нашата задача: по-рационално е първо да изградим права линия и едва след това парабола. Да направим чертеж:
Повтарям, че при точковата конструкция най-често границите на интеграция се откриват „автоматично“.
А сега и работещата формула: Ако има някаква непрекъсната функция на интервала по-голямо или равнонякаква непрекъсната функция, тогава площта на фигурата, ограничена от графиките на тези функции и прави линии, може да се намери по формулата:
Тук вече не е необходимо да мислите къде се намира фигурата - над оста или под оста, и, грубо казано, има значение коя графика е ГОРЕ(спрямо друга графика), и кое е ПО-ДОЛУ.
В разглеждания пример е очевидно, че на сегмента параболата е разположена над правата линия и следователно е необходимо да се извади от
Завършването на решението може да изглежда така:
Желаната фигура е ограничена от парабола отгоре и права линия отдолу.
На сегмента, съгласно съответната формула:
Отговор:
Всъщност училищната формула за площта на криволинейния трапец в долната полуравнина (вижте прост пример № 3) е специален случай на формулата . Тъй като оста е дадена от уравнението и се намира графиката на функцията не по-високаоси, тогава
А сега няколко примера за самостоятелно решение
Пример 5
Пример 6
Намерете площта на фигурата, оградена от линиите , .
В процеса на решаване на задачи за изчисляване на площта с определен интеграл понякога се случва забавна случка. Чертежът е направен правилно, изчисленията са правилни, но поради невнимание ... намери областта на грешната фигура, така покорният ти слуга се прецака няколко пъти. Ето един случай от реалния живот:
Пример 7
Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите , , , .
Решение: Нека първо направим чертеж:
…Ех, рисунката излезе скапана, но май всичко се чете.
Фигурата, чиято площ трябва да намерим, е оцветена в синьо.(внимателно погледнете състоянието - колко е ограничена фигурата!). Но на практика, поради невнимание, често се случва „бъг“, че трябва да намерите областта на фигурата, която е засенчена в зелено!
Този пример е полезен и с това, че в него площта на фигурата се изчислява с помощта на два определени интеграла. Наистина ли:
1) На сегмента над оста има графика с права линия;
2) На сегмента над оста има графика на хипербола.
Съвсем очевидно е, че областите могат (и трябва) да бъдат добавени, следователно:
Отговор:
Да преминем към една по-смислена задача.
Пример 8
Изчислете площта на фигура, ограничена от линии,
Нека представим уравненията в "училищна" форма и изпълним чертеж точка по точка:
От чертежа се вижда, че нашата горна граница е „добра“: .
Но каква е долната граница? Ясно е, че това не е цяло число, но какво? Може би ? Но къде е гаранцията, че чертежът е направен с перфектна точност, може и да се окаже, че. Или корен. Ами ако изобщо не сме направили графиката правилно?
В такива случаи трябва да отделите допълнително време и да прецизирате аналитично границите на интеграцията.
Нека намерим пресечните точки на правата и параболата.
За да направим това, решаваме уравнението:
,
Наистина ли, .
По-нататъшното решение е тривиално, основното е да не се бъркате в замествания и знаци, изчисленията тук не са най-лесните.
На сегмента , по съответната формула:
Отговор:
Е, в заключение на урока ще разгледаме две по-трудни задачи.
Пример 9
Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии , ,
Решение: Начертайте тази фигура на чертежа.
По дяволите, забравих да подпиша графика и преправянето на снимката, съжалявам, не е горещо. Не е рисунка, накратко, днес е ден =)
За изграждането точка по точка е необходимо да знаете външния вид на синусоидата (и като цяло е полезно да знаете графики на всички елементарни функции), както и някои синусови стойности, те могат да бъдат намерени в тригонометрична таблица. В някои случаи (както в този случай) е позволено да се изгради схематичен чертеж, на който графиките и границите на интегриране трябва да бъдат показани принципно правилно.
Тук няма проблеми с границите на интегриране, те следват директно от условието: - "x" се променя от нула на "pi". Вземаме допълнително решение:
На сегмента графиката на функцията е разположена над оста, следователно:
В този урок ще научим как да изчисляваме области на плоски фигури, които се наричат криволинейни трапеци .
Примери за такива фигури са на фигурата по-долу.
От една страна, намирането на площта на плоска фигура с помощта на определен интеграл е изключително просто. Говорим за площта на фигурата, която е ограничена отгоре от определена крива, отдолу - от абсцисната ос ( вол), а отляво и отдясно има няколко прави линии. Простотията е такава определеният интеграл на функцията, на която е дадена кривата, и има площта на такава фигура(криволинеен трапец).
За да изчислим площта на фигура, имаме нужда от:
- Определен интеграл на функцията, определяща кривата , която ограничава криволинейния трапец отгоре. И тук идва първият важен нюанс: криволинейният трапец може да бъде ограничен от крива не само отгоре, но и отдолу . Как да действаме в този случай? Просто, но важно да запомните: интегралът в този случай се взема със знак минус .
- Граници на интеграцията аи b, което намираме от уравненията на линиите, които ограничават фигурата отляво и отдясно: х = а , х = b, където аи b- числа.
Отделно, още няколко нюанса.
Кривата, която ограничава криволинейния трапец отгоре (или отдолу), трябва да бъде графика на непрекъсната и неотрицателна функция г = f(х) .
X стойностите трябва да принадлежат към сегмента [а, b] . Тоест, не се вземат предвид такива, например, линии като разрез на гъба, в които кракът идеално се вписва в този сегмент, а шапката е много по-широка.
Страничните сегменти могат да се изродят в точки . Ако сте видели такава фигура на чертежа, това не трябва да ви обърква, тъй като тази точка винаги има своя собствена стойност на оста x. Така че всичко е наред с границите на интеграция.
Сега можете да преминете към формули и изчисления. Така че областта скриволинеен трапец може да се изчисли по формулата
Ако f(х) ≤ 0 (графиката на функцията е разположена под оста вол), тогава площ на извит трапецможе да се изчисли по формулата
Има и случаи, когато и горната, и долната граница на фигурата са съответно функции г = f(х) и г = φ (х) , тогава площта на такава фигура се изчислява по формулата
. (3)
Решаваме проблеми заедно
Нека започнем със случаите, когато площта на фигура може да се изчисли по формула (1).
Пример 1вол) и директно х = 1 , х = 3 .
Решение. защото г = 1/х> 0 на сегмента , тогава площта на криволинейния трапец се намира по формулата (1):
.
Пример 2Намерете площта на фигурата, ограничена от графиката на функцията, права линия х= 1 и оста x ( вол ).
Решение. Резултатът от прилагането на формула (1):
Ако тогава с= 1/2; ако тогава с= 1/3 и т.н.
Пример 3Намерете площта на фигурата, ограничена от графиката на функцията, оста x ( вол) и директно х = 4 .
Решение. Фигурата, отговаряща на условието на задачата, е криволинеен трапец, в който лявата отсечка се е изродила в точка. Границите на интегриране са 0 и 4. Тъй като съгласно формула (1), намираме площта на криволинейния трапец:
.
Пример 4Намерете площта на фигурата, ограничена от линиите , , и разположена в 1-вата четвърт.
Решение. За да използваме формула (1), представяме площта на фигурата, дадена от условията на примера, като сбор от площите на триъгълник OABи криволинеен трапец ABC. При изчисляване на площта на триъгълник OABграниците на интегриране са абсцисите на точките Ои А, а за фигурата ABC- абсцисите на точките Аи ° С (Ае пресечната точка на линията ОАи параболи, и ° С- точка на пресичане на параболата с оста вол). Решавайки съвместно (като система) уравненията на права линия и парабола, получаваме (абсцисата на точката А) и (абсцисата на друга пресечна точка на правата и параболата, която не е необходима за решението). По същия начин получаваме , (абсцисите на точките ° Си д). Сега имаме всичко, за да намерим площта на фигурата. Намираме:
Пример 5Намерете площта на криволинейния трапец ACDB, ако уравнението на кривата CDи абсцисата Аи бсъответно 1 и 2.
Решение. Изразяваме това уравнение на кривата чрез Y: Площта на криволинейния трапец се намира по формулата (1):
.
Нека да преминем към случаите, когато площта на фигура може да се изчисли по формула (2).
Пример 6Намерете площта на фигурата, ограничена от параболата и оста x ( вол ).
Решение. Тази фигура се намира под оста x. Следователно, за да изчислим неговата площ, използваме формула (2). Границите на интегриране са абсцисите и точките на пресичане на параболата с оста вол. Следователно,
Пример 7Намерете площта между оста x ( вол) и две съседни синусоиди.
Решение. Площта на тази фигура може да се намери по формулата (2):
.
Нека намерим всеки термин поотделно:
.
.
Накрая намираме областта:
.
Пример 8Намерете площта на фигурата, затворена между параболата и кривата.
Решение. Нека изразим уравненията на линиите по отношение на Y:
Площта по формулата (2) ще се получи като
,
където аи b- абсцисите на точките Аи б. Намираме ги, като решаваме заедно уравненията:
Накрая намираме областта:
И накрая, има случаи, когато площта на фигура може да се изчисли по формула (3).
Пример 9Намерете площта на фигурата, затворена между параболите и .
Изчисляване на площта на фигураТова е може би един от най-трудните проблеми в теорията на площите. В училищната геометрия те се учат да намират областите на основните геометрични фигури като например триъгълник, ромб, правоъгълник, трапец, кръг и др. Въпреки това, често трябва да се справяте с изчисляването на площите на по-сложни фигури. Именно при решаването на такива задачи е много удобно да се използва интегрално смятане.
Определение.
Криволинеен трапецнарича се някаква фигура G, ограничена от правите y = f(x), y = 0, x = a и x = b, а функцията f(x) е непрекъсната на отсечката [a; b] и не променя знака си върху него (Фиг. 1).Площта на криволинейния трапец може да се означи с S(G).
Определеният интеграл ʃ a b f(x)dx за функцията f(x), която е непрекъсната и неотрицателна на отсечката [a; b], и е площта на съответния криволинеен трапец.
Тоест, за да се намери площта на фигурата G, ограничена от линиите y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a и x \u003d b, е необходимо да се изчисли определен интеграл ʃ a b f (x) dx.
По този начин, S(G) = ʃ a b f(x)dx.
Ако функцията y = f(x) не е положителна върху [a; b], тогава площта на криволинейния трапец може да се намери по формулата S(G) = -ʃ a b f(x)dx.
Пример 1
Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите y \u003d x 3; y = 1; х = 2.
Решение.
Дадените линии образуват фигурата ABC, която е показана със щриховка ориз. 2.
Желаната площ е равна на разликата между площите на криволинейния трапец DACE и квадрата DABE.
Използвайки формулата S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), намираме границите на интегриране. За целта решаваме система от две уравнения:
(y \u003d x 3,
(y = 1.
Така имаме x 1 \u003d 1 - долната граница и x \u003d 2 - горната граница.
И така, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (квадратни единици).
Отговор: 11/4 кв. единици
Пример 2
Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии y \u003d √x; y = 2; х = 9.
Решение.
Дадените прави образуват фигурата ABC, която е ограничена отгоре от графиката на функцията
y \u003d √x, а отдолу графиката на функцията y \u003d 2. Получената фигура е показана чрез щриховане на ориз. 3.
Желаната площ е равна на S = ʃ a b (√x - 2). Нека намерим границите на интегриране: b = 9, за да намерим a, решаваме системата от две уравнения:
(y = √x,
(y = 2.
Така имаме, че x = 4 = a е долната граница.
И така, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (квадратни единици).
Отговор: S = 2 2/3 кв. единици
Пример 3
Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.
Решение.
Нека начертаем функцията y \u003d x 3 - 4x за x ≥ 0. За да направим това, намираме производната y ':
y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 при х = ±2/√3 ≈ 1.1 са критични точки.
Ако начертаем критичните точки на реалната ос и поставим знаците на производната, получаваме, че функцията намалява от нула до 2/√3 и нараства от 2/√3 до плюс безкрайност. Тогава x = 2/√3 е минималната точка, минималната стойност на функцията y е min = -16/(3√3) ≈ -3.
Нека определим пресечните точки на графиката с координатните оси:
ако x \u003d 0, тогава y \u003d 0, което означава, че A (0; 0) е точката на пресичане с оста Oy;
ако y = 0, тогава x 3 - 4x = 0 или x (x 2 - 4) = 0, или x (x - 2) (x + 2) = 0, откъдето x 1 = 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (не е подходящо, защото x ≥ 0).
Точки A(0; 0) и B(2; 0) са пресечните точки на графиката с оста Ox.
Дадените линии образуват фигурата OAB, която е показана чрез щриховка ориз. четири.
Тъй като функцията y \u003d x 3 - 4x приема (0; 2) отрицателна стойност, тогава
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.
Имаме: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, от където S \u003d 4 квадратни метра. единици
Отговор: S = 4 кв. единици
Пример 4
Намерете площта на фигурата, ограничена от параболата y \u003d 2x 2 - 2x + 1, правите x \u003d 0, y \u003d 0 и допирателната към тази парабола в точката с абсцисата x 0 = 2.
Решение.
Първо съставяме уравнението на допирателната към параболата y \u003d 2x 2 - 2x + 1 в точката с абсцисата x₀ \u003d 2.
Тъй като производната y' = 4x - 2, тогава за x 0 = 2 получаваме k = y'(2) = 6.
Намерете ординатата на допирната точка: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.
Следователно уравнението на допирателната има формата: y - 5 \u003d 6 (x - 2) или y \u003d 6x - 7.
Нека изградим фигура, ограничена от линии:
y = 2x 2 - 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x - 7.
Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - парабола. Пресечни точки с координатните оси: A(0; 1) - с оста Oy; с оста Ох - няма пресечни точки, т.к уравнението 2x 2 - 2x + 1 = 0 няма решения (D< 0). Найдем вершину параболы:
x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;
y b \u003d 1/2, т.е. върхът на точката на параболата B има координати B (1/2; 1/2).
И така, фигурата, чиято площ трябва да се определи, е показана чрез щрихиране ориз. 5.
Имаме: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.
Намерете координатите на точка D от условието:
6x - 7 = 0, т.е. x \u003d 7/6, след това DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.
Намираме площта на триъгълника DBC по формулата S ADBC = 1/2 · DC · BC. По този начин,
S ADBC = 1/2 5/6 5 = 25/12 кв. единици
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (квадратни единици).
Накрая получаваме: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC \u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (кв. единици).
Отговор: S = 1 1/4 кв. единици
Разгледахме примери намиране на площите на фигури, ограничени от дадени прави. За успешно решаване на такива задачи е необходимо да можете да изграждате прави и графики на функции в равнина, да намирате точките на пресичане на прави, да прилагате формула за намиране на областта, което предполага способността и уменията за изчисляване на определени интеграли.
сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.