נורמות מטריקס. עקביות וכפיפות של נורמות
יוטיוב אנציקלופדית
1 / 1
✪ נורמה וקטורית. חלק 4
כתוביות
הַגדָרָה
תן K להיות השדה הראשי (בדרך כלל ק = ר אוֹ ק = ג ) והוא המרחב הליניארי של כל המטריצות עם m שורות ו-n עמודות, המורכבות מאלמנטים של K . נורמה ניתנת על מרחב המטריצות אם כל מטריצה משויכת למספר ממשי לא שלילי ‖ A ‖ (\displaystyle \|A\|), שנקרא הנורמה שלו, כך ש
במקרה של מטריצות מרובעות (כלומר. M = נ), ניתן להכפיל מטריצות מבלי לצאת מהמרחב, ולכן הנורמות במרחבים אלו בדרך כלל גם מספקות את התכונה תת-כפל :
ניתן לבצע תת-הכפלה גם לנורמות של מטריצות שאינן מרובעות, אך מוגדרות עבור מספר גדלים נדרשים בו-זמנית. כלומר, אם A היא מטריצה ℓ × M, ו-B היא המטריצה M × נ, לאחר מכן א ב- מטריצה ℓ × נ .
נורמות מפעיל
מחלקה חשובה של נורמות מטריצות הן נורמות מפעיל, המכונה גם הכפופים אוֹ מושרה . נורמת האופרטור בנויה באופן ייחודי על פי שתי הנורמות המוגדרות ב- ו, בהתבסס על העובדה שכל מטריצה M × נמיוצג על ידי אופרטור ליניארי מ K n (\displaystyle K^(n))ב K m (\displaystyle K^(m)). באופן ספציפי,
‖ A ‖ = sup ( ‖ A x ‖ : x ∈ K n , ‖ x ‖ = 1 ) = sup ( ‖ A x ‖ ‖ x ‖ : x ∈ K n , x ≠ 0 ). (\displaystyle (\begin(aligned)\|A\|&=\sup\(\|Ax\|:x\in K^(n),\ \|x\|=1\)\\&=\ sup \left\((\frac (\|Ax\|)(\|x\|)):x\in K^(n),\ x\neq 0\right\).\end(aligned)))בתנאי שהנורמות על מרחבים וקטוריים יצוינו באופן עקבי, נורמה כזו היא תת-מכפלת (ראה ).
דוגמאות לנורמות מפעיל
מאפייני הנורמה הספקטרלית:
- הנורמה הספקטרלית של אופרטור שווה לערך הסינגולרי המרבי של אופרטור זה.
- הנורמה הספקטרלית של אופרטור נורמלי שווה לערך המוחלט של הערך העצמי המודולו המרבי של אופרטור זה.
- הנורמה הספקטרלית אינה משתנה כאשר מטריצה מוכפלת במטריצה אורתוגונלית (יחידה).
נורמות לא מפעיל של מטריצות
יש נורמות מטריצות שאינן נורמות אופרטור. המושג של נורמות לא-מפעיל של מטריצות הוצג על ידי Yu. I. Lyubich ונלמד על ידי G. R. Belitsky.
דוגמה לנורמה שאינה מפעילה
לדוגמה, שקול שתי נורמות מפעיל שונות ‖ A ‖ 1 (\displaystyle \|A\|_(1))ו ‖ A ‖ 2 (\displaystyle \|A\|_(2)), כגון נורמות שורות ועמודות. יצירת נורמה חדשה ‖ A ‖ = m a x (‖ A ‖ 1 , ‖ A ‖ 2) (\displaystyle \|A\|=max(\|A\|_(1),\|A\|_(2)))). לנורמה החדשה יש תכונה טבעתית ‖ A B ‖ ≤ ‖ A ‖ ‖ B ‖ (\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|), משמר את היחידה ‖ I ‖ = 1 (\displaystyle \|I\|=1)ואינו מפעיל.
דוגמאות לנורמות
וֶקטוֹר p (\displaystyle p)-נוֹרמָה
יכול להיחשב m × n (\displaystyle m\times n)מטריצה כווקטור גודל m n (\displaystyle mn)והשתמש בנורמות וקטוריות סטנדרטיות:
‖ A ‖ p = ‖ v e c (A) ‖ p = (∑ i = 1 m ∑ j = 1 n | a i j | p) 1 / p (\displaystyle \|A\|_(p)=\|\mathrm ( vec) (A)\|_(p)=\left(\sum _(i=1)^(m)\sum _(j=1)^(n)|a_(ij)|^(p)\ מימין)^(1/p))נורמה פרובניוס
נורמה פרובניוס, או נורמה אוקלידיתהוא מקרה מיוחד של ה-p-norm עבור ע = 2 : ‖ A ‖ F = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j 2 (\displaystyle \|A\|_(F)=(\sqrt (\sum _(i=1)^(m)\sum _(j =1)^(n)a_(ij)^(2)))).
קל לחישוב נורמת פרובניוס (לעומת, למשל, הנורמה הספקטרלית). יש לו את המאפיינים הבאים:
‖ A x ‖ 2 2 = ∑ i = 1 מ' | ∑ j = 1 n a i j x j | 2 ≤ ∑ i = 1 מ' (∑ j = 1 n | a i j | 2 ∑ j = 1 n | x j | 2) = ∑ j = 1 n | x j | 2 ‖ A ‖ F 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ x ‖ 2 2 . (\displaystyle \|Ax\|_(2)^(2)=\sum _(i=1)^(m)\left|\sum _(j=1)^(n)a_(ij)x_( j)\right|^(2)\leq \sum _(i=1)^(m)\left(\sum _(j=1)^(n)|a_(ij)|^(2)\sum _(j=1)^(n)|x_(j)|^(2)\right)=\sum _(j=1)^(n)|x_(j)|^(2)\|A\ |_(F)^(2)=\|A\|_(F)^(2)\|x\|_(2)^(2).)- תת-כפל: ‖ A B ‖ F ≤ ‖ A ‖ F ‖ B ‖ F (\displaystyle \|AB\|_(F)\leq \|A\|_(F)\|B\|_(F)), כי ‖ A B ‖ F 2 = ∑ i , j | ∑ k a i k b k j | 2 ≤ ∑ i , j (∑ k | a i k | | b k j |) 2 ≤ ∑ i , j (∑ k | a i k | 2 ∑ k | b k j | 2) = ∑ i , k | a i k | 2 ∑ k , j | b k j | 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ B ‖ F 2 (\displaystyle \|AB\|_(F)^(2)=\sum _(i,j)\left|\sum _(k)a_(ik) b_(kj)\right|^(2)\leq \sum _(i,j)\left(\sum _(k)|a_(ik)||b_(kj)|\right)^(2)\ leq \sum _(i,j)\left(\sum _(k)|a_(ik)|^(2)\sum _(k)|b_(kj)|^(2)\right)=\sum _(i,k)|a_(ik)|^(2)\sum _(k,j)|b_(kj)|^(2)=\|A\|_(F)^(2)\| B\|_(F)^(2)).
- ‖ A ‖ F 2 = t r A ∗ A = t r A A ∗ (\displaystyle \|A\|_(F)^(2)=\mathop (\rm (tr)) A^(*)A=\ mathop (\rm (tr)) AA^(*)), איפה t r A (\displaystyle \mathop (\rm (tr)) A)- עקבות מטריצה A (\displaystyle A), A ∗ (\displaystyle A^(*))הוא מטריצה מצומדת הרמיטית.
- ‖ A ‖ F 2 = ρ 1 2 + ρ 2 2 + ⋯ + ρ n 2 (\displaystyle \|A\|_(F)^(2)=\rho _(1)^(2)+\rho _ (2)^(2)+\נקודות +\rho _(n)^(2)), איפה ρ 1 , ρ 2 , … , ρ n (\displaystyle \rho _(1),\rho _(2),\dots ,\rho _(n))- ערכים יחידים של המטריצה A (\displaystyle A).
- ‖ A ‖ F (\displaystyle \|A\|_(F))אינו משתנה בעת הכפלה של מטריצה A (\displaystyle A)שמאלה או ימינה על מטריצות אורתוגונליות (יחידות).
מקסימום מודול
נורמת המודול המקסימלית היא מקרה מיוחד נוסף של נורמת p עבור ע = ∞ .
‖ A ‖ max = max ( | a i j | ) . (\displaystyle \|A\|_(\text(max))=\max\(|a_(ij)|\).)נורם שאטן
עקביות של נורמות מטריצה ווקטוריות
נורמת מטריקס ‖ ⋅ ‖ a b (\displaystyle \|\cdot \|_(ab))על K m × n (\displaystyle K^(m\times n))שקוראים לו מוסכםעם הנורמות ‖ ⋅ ‖ a (\displaystyle \|\cdot \|_(a))על K n (\displaystyle K^(n))ו ‖ ⋅ ‖ b (\displaystyle \|\cdot \|_(b))על K m (\displaystyle K^(m)), אם:
‖ A x ‖ b ≤ ‖ A ‖ a b ‖ x ‖ a (\displaystyle \|Ax\|_(b)\leq \|A\|_(ab)\|x\|_(a))לכל A ∈ K m × n , x ∈ K n (\displaystyle A\in K^(m\times n),x\in K^(n)). לפי הבנייה, נורמת האופרטור עולה בקנה אחד עם הנורמה הווקטורית המקורית.
דוגמאות לנורמות מטריצות עקביות אך לא כפופות:
שוויון של נורמות
כל הנורמות בחלל K m × n (\displaystyle K^(m\times n))שוות ערך, כלומר לכל שתי נורמות ". α (\displaystyle \|.\|_(\alpha ))ו ". ‖ β (\displaystyle \|.\|_(\beta ))ולכל מטריצה A ∈ K m × n (\displaystyle A\in K^(m\times n))אי שוויון כפול הוא נכון.
» שיעור 12. דירוג מטריקס. חישוב דירוג מטריקס. נורמה מטריקס
שיעור מספר 12. דירוג מטריקס. חישוב דירוג מטריקס. נורמה מטריקס.
אם כל קטינים מטריקסאלהזמיןקשווים לאפס, אז כל הקטינים בסדר k + 1, אם קיימים כאלה, שווים גם הם לאפס.
דירוג מטריקס א
הוא הסדר הגדול ביותר של הקטינים של המטריצה א
, מלבד אפס.
הדרגה המקסימלית יכולה להיות שווה למספר המינימלי של מספר השורות או העמודות של המטריצה, כלומר. אם למטריצה יש גודל של 4x5, הדירוג המקסימלי יהיה 4.
הדרגה המינימלית של מטריצה היא 1, אלא אם יש לך עסק עם מטריצה אפס, כאשר הדרגה היא תמיד אפס.
הדרגה של מטריצה מרובעת לא מנוונת בסדר n שווה ל-n, מכיוון שהקביעה שלה היא מינור מסדר n והמטריצה הלא מנוונת היא לא אפס.
טרנספוזיציה של מטריצה לא משנה את הדרגה שלה.
תן לדרגת המטריצה להיות . אז כל מינור בסדר , מלבד אפס, נקרא קטין בסיסי.
דוגמא.נתון מטריצה A.
הקובע המטריצה הוא אפס.
קטין מהסדר השני . לכן, r(A)=2 והקטין הוא בסיסי.
קטין בסיסי הוא גם קטין .
קַטִין , כי =0, אז זה לא יהיה בסיסי.
תרגיל: בדוק באופן עצמאי אילו קטינים אחרים מסדר שני יהיו בסיסיים ואיזה לא.
מציאת הדרגה של מטריצה על ידי חישוב כל הקטינים שלה דורשת עבודה חישובית רבה מדי. (הקורא יכול לאמת שיש 36 קטינים מסדר שני במטריצה מרובעת מסדר רביעי.) לכן, נעשה שימוש באלגוריתם אחר כדי למצוא את הדרגה. כדי לתאר אותו, נדרש מידע נוסף.
אנו קוראים לפעולות הבאות עליהן טרנספורמציות יסודיות של מטריצות:
1) שינוי של שורות או עמודות;
2) הכפלת שורה או עמודה במספר שאינו אפס;
3) הוספה לאחת השורות שורה נוספת, כפולה במספר, או הוספה לאחת מהעמודות של עמודה אחרת, כפולה במספר.
תחת טרנספורמציות יסודיות, דרגת המטריצה אינה משתנה.
אלגוריתם לחישוב הדרגה של מטריצהדומה לאלגוריתם החישוב הקובע וטמון בעובדה שבעזרת טרנספורמציות יסודיות המטריצה מצטמצמת לצורה פשוטה שלא קשה למצוא לה את הדרגה. מכיוון שהדירוג לא השתנה עם כל טרנספורמציה, על ידי חישוב הדרגה של המטריצה שעברה טרנספורמציה, אנו מוצאים בכך את הדרגה של המטריצה המקורית.
תן לזה להידרש לחשב את הדרגה של מטריצת הממדים Mאיקסנ.
כתוצאה מחישובים, למטריצה A1 יש את הצורה
אם כל השורות, החל מהשלישית, הן אפס, אז , מאז קטין . אחרת, על ידי שינוי שורות ועמודות עם מספרים גדולים משניים, אנו משיגים שהאלמנט השלישי בשורה השלישית שונה מאפס. יתרה מכך, על ידי הוספת השורה השלישית, כפול המספרים המתאימים, לשורות עם מספרים גדולים, נקבל אפסים בעמודה השלישית, החל מהאלמנט הרביעי, וכן הלאה.
בשלב מסוים, נגיע למטריצה שבה כל השורות, החל מ-(r + 1) th, שוות לאפס (או נעדרות ב- ), והמינורי בשורות הראשונות ובעמודות הראשונות הוא הקובע של משולש מטריצה עם אלמנטים שאינם אפס באלכסון. הדרגה של מטריצה כזו היא. לכן, Rang(A)=r.
באלגוריתם המוצע למציאת הדרגה של מטריצה, יש לבצע את כל החישובים ללא עיגול. שינוי קטן באופן שרירותי לפחות באחד המרכיבים של מטריצות הביניים יכול להוביל לכך שהתשובה שתתקבל תהיה שונה מדרגת המטריצה המקורית בכמה יחידות.
אם האלמנטים במטריצה המקורית היו מספרים שלמים, אז זה נוח לבצע חישובים ללא שימוש בשברים. לכן, בכל שלב, רצוי להכפיל את המחרוזות במספרים כאלה שלא יופיעו שברים בחישובים.
בעבודה מעבדתית ומעשית נשקול דוגמה למציאת דרגת מטריצה.
מציאת אלגוריתם תקנות מטריקס
.
יש רק שלוש נורמות של המטריצה.
נורמת מטריקס ראשונה= המקסימום של המספרים המתקבלים על ידי הוספת כל האלמנטים של כל עמודה, במודולו.
דוגמה: ניתן לתת מטריצה 3x2 A (איור 10). העמודה הראשונה מכילה אלמנטים: 8, 3, 8. כל האלמנטים חיוביים. בוא נמצא את הסכום שלהם: 8+3+8=19. העמודה השנייה מכילה את האלמנטים: 8, -2, -8. שני אלמנטים הם שליליים, לכן, כאשר מוסיפים את המספרים הללו, יש צורך להחליף את המודולוס של המספרים הללו (כלומר, ללא סימני המינוס). בוא נמצא את הסכום שלהם: 8+2+8=18. המקסימום של שני המספרים האלה הוא 19. אז הנורמה הראשונה של המטריצה היא \u200b\u200b19.
איור 10.
נורמת מטריקס שנייהמייצג את א שורש ריבועימסכום הריבועים של כל מרכיבי המטריצה. וזה אומר שאנחנו בריבוע את כל האלמנטים של המטריצה, ואז נוסיף את הערכים המתקבלים לחלץ את השורש הריבועי מהתוצאה.
במקרה שלנו, נורמה 2 של המטריצה התבררה כשווה לשורש הריבועי של 269. בתרשים, לקחתי בערך את השורש הריבועי של 269 והתוצאה הייתה בערך 16.401. למרות שיותר נכון לא לחלץ את השורש.
מטריקס של נורמה שלישיתהוא המקסימום של המספרים המתקבלים על ידי הוספת כל האלמנטים של כל שורה, במודולו.
בדוגמה שלנו: השורה הראשונה מכילה אלמנטים: 8, 8. כל האלמנטים חיוביים. בוא נמצא את הסכום שלהם: 8+8=16. השורה השנייה מכילה אלמנטים: 3, -2. אחד המרכיבים הוא שלילי, לכן כאשר מוסיפים את המספרים הללו, עליך להחליף את המודולוס של מספר זה. בוא נמצא את הסכום שלהם: 3+2=5. השורה השלישית מכילה את האלמנטים 8, ו-8. אחד המרכיבים הוא שלילי, לכן כאשר מוסיפים את המספרים הללו, עליך להחליף את המודולוס של מספר זה. בוא נמצא את הסכום שלהם: 8+8=16. המקסימום של שלושת המספרים הללו הוא 16. אז הנורמה השלישית של המטריצה היא \u200b\u200b16.
הידור: Saliy N.A.
נורמה מטריקסאנו קוראים למספר האמיתי שהוקצה למטריצה הזו ||A|| כך שכמספר ממשי, הוא מוקצה לכל מטריצה מהמרחב ה-n-ממדי ומקיים 4 אקסיומות:
1. ||A||³0 ו-||A||=0 רק אם A היא מטריצה אפס;
2. ||αA||=|α|·||A||, כאשר R;
3. ||A+B||£||A||+||B||;
4. ||A·B||£||A||·||B||. (מאפיין של ריבוי)
ניתן להציג את נורמת המטריצה דרכים שונות. ניתן לראות את המטריצה A בתור n 2 -וקטור ממדי.
נורמה זו נקראת הנורמה האוקלידית של מטריצה.
אם עבור כל מטריצה מרובעת A וכל וקטור x שהממד שלו שווה לסדר המטריצה, אי השוויון ||Ax||£||A||·||x||
אז אנחנו אומרים שהנורמה של המטריצה A תואמת את הנורמה של הווקטור. שימו לב שהנורמה של הווקטור נמצאת בצד שמאל במצב האחרון (Axe הוא וקטור).
נורמות מטריצות שונות עולות בקנה אחד עם נורמה וקטורית נתונה. בואו נבחר את הקטן מביניהם. כזה יהיה
נורמת מטריצה זו כפופה לנורמה הוקטורית הנתונה. קיומו של מקסימום בביטוי זה נובע מהמשכיות הנורמה, שכן תמיד קיים וקטור x -> ||x||=1 ו-||Ax||=||A||.
הבה נראה כי x אז הנורמה N(A) אינה כפופה לשום נורמה וקטורית. נורמות מטריצה הכפופות לנורמות הווקטור שהוצגו קודם לכן מתבטאות באופן הבא:
1. ||A|| ¥ = |a ij | (נורמה-מקסימום)
2. ||A|| 1 = |a ij | (סכום נורמה)
3. ||א|| 2 = , (נורמה ספקטרלית)
כאשר s 1 הוא הערך העצמי הגדול ביותר של המטריצה הסימטרית A¢A, שהיא המכפלה של המטריצות המוטרפות והמקוריות. אם המטריצה A¢A סימטרית, אז כל הערכים העצמיים שלה הם אמיתיים וחיוביים. המספר l הוא ערך עצמי, וקטור x שאינו מאפס הוא וקטור עצמי של המטריצה A (אם הם קשורים בקשר Ax=lx). אם המטריצה A היא עצמה סימטרית, A¢ = A, אז A¢A = A 2 ואז s 1 = , היכן הוא הערך העצמי של המטריצה A בעלת הערך המוחלט הגדול ביותר. לכן, במקרה זה יש לנו = .
הערכים העצמיים של המטריצה אינם עולים על אף אחת מהנורמות המוסכמות שלה. מנרמל את היחס המגדיר את הערכים העצמיים, נקבל ||λx||=||Ax||, |λ|·||x||=||Ax||£||A||·||x||, | λ| £||A||
מאז ||A|| 2 £||A|| ה, כאשר ניתן לחשב את הנורמה האוקלידית בפשטות, במקום הנורמה הספקטרלית, ניתן להשתמש בנורמה האוקלידית של המטריצה בהערכות.
30. התניה של מערכות משוואות. גורם התניה .
מידת התניות- השפעת ההחלטה על הנתונים הראשוניים. גרזן = ב: וקטור בתואמת החלטה איקס. תן בישתנה על ידי . ואז הווקטור b+יתאים לפתרון החדש x+ : A(x+ ) = b+. מכיוון שהמערכת היא ליניארית, אז Axe+A = b+, לאחר מכן א = ; = ; = ; b = Axe; = אז ; * , איפה - טעות יחסיתהפרעות של הפתרון, גורם התניהcond(A) (כמה פעמים השגיאה של הפתרון יכולה לגדול), היא ההפרעה היחסית של הווקטור ב. cond(A) = ; cond(A)*מאפייני מקדם: תלוי בבחירת הנורמה המטריצה; תנאי ( = cond(A); הכפלת מטריצה במספר אינה משפיעה על גורם התנאי. ככל שהמקדם גדול יותר, כך השגיאה בנתונים הראשוניים משפיעה על פתרון ה-SLAE חזק יותר. מספר התנאי לא יכול להיות פחות מ-1.
31. שיטת סוויפ לפתרון מערכות של משוואות אלגבריות ליניאריות.
לעתים קרובות יש צורך לפתור מערכות שמטריצות שלהן, כשהן מלאות בצורה חלשה, כלומר. מכיל אלמנטים רבים שאינם אפס. למטריצות של מערכות כאלה יש בדרך כלל מבנה מסוים, ביניהם יש מערכות עם מטריצות מבנה פס, כלומר. בהם, אלמנטים שאינם אפס ממוקמים באלכסון הראשי ובמספר אלכסונים משניים. כדי לפתור מערכות עם מטריצות פס, ניתן להפוך את שיטת גאוס לשיטות יעילות יותר. הבה נבחן את המקרה הפשוט ביותר של מערכות קלטת, אשר, כפי שנראה בהמשך, פתרון בעיות דיסקרטיזציה עבור בעיות ערכי גבול עבור משוואות דיפרנציאליות מופחת על ידי שיטות של הבדלים סופיים, אלמנטים סופיים וכו'. מטריצה תלת אלכסונית היא מטריצה כזו שיש בה אלמנטים שאינם מאפסים רק באלכסון הראשי ובסמוך לו:
לשלושת המטריצה האלכסונית של אלמנטים שאינם אפס יש סך של (3n-2).
שנה את שם המקדמים של המטריצה:
לאחר מכן, בסימון רכיב אחר רכיב, המערכת יכולה להיות מיוצגת כ:
A i * x i-1 + b i * x i + c i * x i+1 = d i , i=1, 2,…, n; (7)
a 1 =0, c n =0. (שמונה)
מבנה המערכת מניח את הקשר רק בין אלמונים שכנים:
x i \u003d x i * x i +1 + h i (9)
x i -1 =x i -1* x i + h i -1 והחלף לתוך (7):
A i (x i-1* x i + h i-1)+ b i * x i + c i * x i+1 = d i
(a i * x i-1 + b i) x i = –c i * x i+1 +d i –a i * h i-1
בהשוואה בין הביטוי המתקבל לייצוג (7), נקבל:
נוסחאות (10) מייצגות יחסים רקורסיביים לחישוב מקדמי סוויפ. הם דורשים לציין ערכים ראשוניים. בהתאם לתנאי הראשון (8) עבור i =1 יש לנו 1 =0, כלומר
יתרה מכך, מקדמי הסוויף הנותרים מחושבים ומאוחסנים לפי נוסחאות (10) עבור i=2,3,..., n, ועבור i=n, תוך התחשבות בתנאי השני (8), נקבל x n =0 . לכן, בהתאם לנוסחה (9) x n = h n .
לאחר מכן, לפי הנוסחה (9), הבלתי ידועים x n -1, x n -2, …, x 1 נמצאים ברצף. שלב זה של החישוב נקרא ריצה הפוכה, בעוד שחישוב מקדמי הסוויפ נקרא סוויפ קדימה.
ליישום מוצלח של שיטת הסוויפ, יש צורך שבתהליך החישובים לא יהיו מצבים עם חלוקה באפס, ועם ממדיות גדולה של המערכות לא אמורה להיות עלייה מהירה בשגיאות עיגול. אנחנו נקרא לריצה נכון, אם המכנה של מקדמי הסוויפ (10) אינו נעלם, ו יציב, אם ½x i ½<1 при всех i=1,2,…, n. Достаточные условия корректности и устойчивости прогонки, которые во многих приложениях выполняются, определяются теоремой.
מִשׁפָּט. תנו למקדמים a i ו- c i של משוואה (7) עבור i=2,3,..., n-1 להיות שונים מאפס ותנו
½b i ½>½a i ½+½c i ½ עבור i=1, 2,..., n. (אחד עשר)
אז הסוויפ המוגדר על ידי נוסחאות (10), (9) נכון ויציב.