การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น พีชคณิตเชิงเส้น
เพื่อตรวจสอบความเข้ากันได้ของระบบสมการเชิงเส้นตรง (SLAE) หมายถึงการค้นหาว่าระบบนี้มีคำตอบหรือไม่ ถ้ามีวิธีแก้ปัญหาให้ระบุว่ามีกี่วิธี
เราต้องการข้อมูลจากหัวข้อ "ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น คำศัพท์พื้นฐาน สัญกรณ์เมทริกซ์" โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำเป็นต้องมีแนวคิดเช่นเมทริกซ์ของระบบและเมทริกซ์ขยายของระบบ เนื่องจากสูตรของทฤษฎีบทโครเนคเกอร์-คาเปลลีมีพื้นฐานมาจากแนวคิดเหล่านี้ ตามปกติ เมทริกซ์ของระบบจะแสดงด้วยตัวอักษร $A$ และเมทริกซ์ขยายของระบบด้วยตัวอักษร $\widetilde(A)$
ทฤษฎีบทโครเนคเกอร์-คาเปลลี
ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นจะสอดคล้องกันก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์ของระบบเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยายของระบบ นั่นคือ $\rank A=\rang\widetilde(A)$.
ฉันขอเตือนคุณว่าระบบเรียกว่าข้อต่อหากมีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งข้อ ทฤษฎีบทโครเนคเกอร์-คาเปลลีกล่าวไว้ว่า ถ้า $\rang A=\rang\widetilde(A)$ แสดงว่ามีคำตอบ ถ้า $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ แสดงว่า SLAE นี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหา (ไม่สอดคล้องกัน) คำตอบสำหรับคำถามเกี่ยวกับจำนวนคำตอบเหล่านี้ได้รับจากทฤษฎีบทโครเนคเกอร์-คาเปลลี คำสั่งของข้อพิสูจน์ใช้ตัวอักษร $n$ ซึ่งเท่ากับจำนวนของตัวแปรใน SLAE ที่กำหนด
ข้อสรุปจากทฤษฎีบท Kronecker-Capelli
- ถ้า $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ แสดงว่า SLAE ไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีทางแก้ไข)
- ถ้า $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
- ถ้า $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$ ดังนั้น SLAE จะแน่นอน (มีวิธีแก้ปัญหาเดียว)
โปรดทราบว่าทฤษฎีบทที่กำหนดขึ้นและข้อพิสูจน์ไม่ได้ระบุว่าจะหาทางออกของ SLAE ได้อย่างไร ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา คุณจะพบเพียงว่าโซลูชันเหล่านี้มีอยู่จริงหรือไม่ และถ้ามี ก็จะมีกี่วิธี
ตัวอย่าง #1
ตรวจสอบ SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned)\right.$ เพื่อความสอดคล้องกัน หาก SLAE สอดคล้องกัน ให้ระบุจำนวนวิธีแก้ปัญหา
เพื่อค้นหาการมีอยู่ของคำตอบสำหรับ SLAE ที่กำหนด เราใช้ทฤษฎีบทโครเนคเกอร์-คาเปลลี เราต้องการเมทริกซ์ของระบบ $A$ และเมทริกซ์ขยายของระบบ $\widetilde(A)$ เราจดไว้:
$$ A=\left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(อาร์เรย์) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(อาร์เรย์) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(อาร์เรย์) \right). $$
เราต้องหา $\rang A$ และ $\rang\widetilde(A)$ มีหลายวิธีในการทำเช่นนี้ ซึ่งบางวิธีแสดงอยู่ในส่วนอันดับเมทริกซ์ โดยปกติจะใช้สองวิธีในการศึกษาระบบดังกล่าว: "การคำนวณอันดับของเมทริกซ์ตามคำจำกัดความ" หรือ "การคำนวณอันดับของเมทริกซ์โดยวิธีการแปลงเบื้องต้น"
วิธีที่ 1 การคำนวณอันดับตามคำจำกัดความ
ตามคำจำกัดความ อันดับคือลำดับสูงสุดของผู้เยาว์ของเมทริกซ์ ซึ่งมีอย่างน้อยหนึ่งรายการนอกเหนือจากศูนย์ โดยปกติแล้ว การศึกษาจะเริ่มต้นด้วยผู้เยาว์ลำดับที่หนึ่ง แต่ที่นี่จะสะดวกกว่าที่จะดำเนินการคำนวณผู้เยาว์ลำดับที่สามของเมทริกซ์ $A$ ในทันที องค์ประกอบของผู้เยาว์อันดับสามอยู่ที่จุดตัดของสามแถวและสามคอลัมน์ของเมทริกซ์ภายใต้การพิจารณา เนื่องจากเมทริกซ์ $A$ มีเพียง 3 แถวและ 3 คอลัมน์ ดังนั้นลำดับรองที่สามของเมทริกซ์ $A$ จึงเป็นดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ $A$ นั่นคือ $\DeltaA$. ในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ เราใช้สูตรหมายเลข 2 จากหัวข้อ "สูตรสำหรับการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์อันดับสองและสาม":
$$ \เดลต้า A=\left| \begin(อาร์เรย์) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(อาร์เรย์) \right|=-21. $$
ดังนั้นจึงมีรองอันดับสามของเมทริกซ์ $A$ ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์ ไม่สามารถประกอบลำดับย่อยลำดับที่ 4 ได้ เนื่องจากต้องมี 4 แถวและ 4 คอลัมน์ และเมทริกซ์ $A$ มีเพียง 3 แถวและ 3 คอลัมน์ ดังนั้น ลำดับสูงสุดของรองของเมทริกซ์ $A$ ซึ่งมีอย่างน้อยหนึ่งตัวที่ไม่ใช่ศูนย์ มีค่าเท่ากับ 3 ดังนั้น $\rang A=3$
เราต้องหา $\rang\widetilde(A)$ ด้วย มาดูโครงสร้างของเมทริกซ์ $\widetilde(A)$ กัน จนถึงบรรทัดในเมทริกซ์ $\widetilde(A)$ มีองค์ประกอบของเมทริกซ์ $A$ และเราพบว่า $\Delta A\neq 0$ ดังนั้น เมทริกซ์ $\widetilde(A)$ จึงมีลำดับรองที่สามที่ไม่เท่ากับศูนย์ เราไม่สามารถสร้างผู้เยาว์ลำดับที่สี่ของเมทริกซ์ $\widetilde(A)$ ได้ ดังนั้น เราจึงสรุปได้ว่า $\rang\widetilde(A)=3$
เนื่องจาก $\rang A=\rang\widetilde(A)$ ตามทฤษฎีบท Kronecker-Capelli ระบบจึงสอดคล้องกัน นั่นคือ มีวิธีแก้ปัญหา (อย่างน้อยหนึ่งข้อ) ในการระบุจำนวนโซลูชัน เราพิจารณาว่า SLAE ของเรามี 3 รายการที่ไม่รู้จัก: $x_1$, $x_2$ และ $x_3$ เนื่องจากจำนวนที่ไม่รู้จักคือ $n=3$ เราจึงสรุปได้ว่า $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$ ดังนั้น ตามผลสรุปของทฤษฎีบทโครเนคเกอร์-คาเปลลี ระบบจึงแน่นอน กล่าวคือ มีทางออกที่ไม่เหมือนใคร
แก้ไขปัญหา. ข้อเสียและข้อดีของวิธีนี้คืออะไร? ก่อนอื่นมาพูดถึงข้อดีกันก่อน ก่อนอื่น เราต้องหาดีเทอร์มิแนนต์เพียงตัวเดียว หลังจากนั้นเราได้ข้อสรุปเกี่ยวกับจำนวนวิธีแก้ปัญหาทันที โดยปกติแล้ว ในการคำนวณทั่วไปแบบมาตรฐาน ระบบสมการจะกำหนดให้ประกอบด้วยค่าที่ไม่รู้สามค่าและมีคำตอบเดียว สำหรับระบบดังกล่าว วิธีนี้สะดวกมาก เพราะเรารู้ล่วงหน้าว่ามีวิธีแก้ปัญหา (มิฉะนั้นจะไม่มีตัวอย่างในการคำนวณทั่วไป) เหล่านั้น. เราเพียงแค่ต้องแสดงการมีอยู่ของโซลูชันด้วยวิธีที่เร็วที่สุดเท่านั้น ประการที่สอง ค่าที่คำนวณได้ของดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ระบบ (เช่น $\Delta A$) จะมีประโยชน์ในภายหลัง: เมื่อเราเริ่มแก้ปัญหาระบบที่กำหนดโดยใช้วิธีแครมเมอร์หรือใช้เมทริกซ์ผกผัน
อย่างไรก็ตาม ตามคำนิยาม วิธีการคำนวณอันดับนั้นไม่เป็นที่ต้องการหากเมทริกซ์ระบบ $A$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ในกรณีนี้จะเป็นการดีกว่าถ้าใช้วิธีที่สองซึ่งจะกล่าวถึงด้านล่าง นอกจากนี้ ถ้า $\Delta A=0$ เราจะไม่สามารถพูดอะไรเกี่ยวกับจำนวนวิธีแก้ปัญหาสำหรับ SLAE ที่ไม่เอกพันธ์ที่กำหนดได้ บางที SLAE อาจมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนไม่สิ้นสุด หรืออาจไม่มีเลย ถ้า $\Delta A=0$ จำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติม ซึ่งมักจะยุ่งยาก
สรุปสิ่งที่พูด ฉันทราบว่าวิธีแรกนั้นดีสำหรับ SLAE ที่มีเมทริกซ์ระบบเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ในเวลาเดียวกัน SLAE เองก็ประกอบด้วยสิ่งแปลกปลอมสามหรือสี่สิ่ง และนำมาจากการคำนวณมาตรฐานหรืองานควบคุมมาตรฐาน
วิธีที่ 2 การคำนวณอันดับด้วยวิธีการแปลงเบื้องต้น
วิธีนี้จะอธิบายโดยละเอียดในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง เราจะคำนวณอันดับของเมทริกซ์ $\widetilde(A)$ ทำไมเมทริกซ์ $\widetilde(A)$ ไม่ใช่ $A$ ประเด็นคือเมทริกซ์ $A$ เป็นส่วนหนึ่งของเมทริกซ์ $\widetilde(A)$ ดังนั้นเมื่อคำนวณอันดับของเมทริกซ์ $\widetilde(A)$ เราจะพบอันดับของเมทริกซ์ $A$ พร้อมกัน
\begin(ชิด) &\widetilde(A) =\left(\begin(อาร์เรย์) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(อาร์เรย์) \right) \rightarrow \left|\text(สลับบรรทัดแรกและบรรทัดที่สอง)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(อาร์เรย์) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(อาร์เรย์) \right) \begin(อาร์เรย์) (l) \phantom(0) \\ r_2-3r_1\\ r_3+4r_1 \end(อาร์เรย์) \ลูกศรขวา \le ft(\begin(อาร์เรย์) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(อาร์เรย์) \right) \begin(อาร์เรย์) (l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ r_3-2r_2 \end(อาร์เรย์)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin (อาร์เรย์) (ccc| c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(อาร์เรย์) \right) \end(ชิด)
เราได้ลดขนาดเมทริกซ์ $\widetilde(A)$ ให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันได เมทริกซ์ขั้นตอนผลลัพธ์มีสามแถวที่ไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้นอันดับของมันคือ 3 ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์ $\widetilde(A)$ คือ 3 เช่น $\rank\widetilde(A)=3$. การแปลงด้วยองค์ประกอบของเมทริกซ์ $\widetilde(A)$ เราได้แปลงองค์ประกอบของเมทริกซ์ $A$ ที่อยู่หน้าบรรทัดพร้อมกัน เมทริกซ์ $A$ เป็นแบบขั้นบันไดเช่นกัน: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \right)$ สรุป: อันดับของเมทริกซ์ $A$ ก็เท่ากับ 3 เช่น $\อันดับ A=3$
เนื่องจาก $\rang A=\rang\widetilde(A)$ ตามทฤษฎีบท Kronecker-Capelli ระบบจึงสอดคล้องกัน นั่นคือ มีทางออก ในการระบุจำนวนโซลูชัน เราพิจารณาว่า SLAE ของเรามี 3 รายการที่ไม่รู้จัก: $x_1$, $x_2$ และ $x_3$ เนื่องจากจำนวนที่ไม่รู้จักคือ $n=3$ เราจึงสรุป: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$ ดังนั้น ตามผลสรุปของทฤษฎีบทโครเนคเกอร์-คาเปลลี ระบบจึงถูกกำหนด เช่น มีทางออกที่ไม่เหมือนใคร
ข้อดีของวิธีที่สองคืออะไร? ข้อได้เปรียบหลักคือความเก่งกาจ ไม่สำคัญสำหรับเราว่าเมทริกซ์ของระบบจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือไม่ นอกจากนี้ เรายังได้ทำการแปลงวิธี Gauss ไปข้างหน้าด้วย เหลืออีกเพียงไม่กี่ขั้นตอน เราก็จะได้คำตอบของ SLAE นี้แล้ว พูดตามตรงฉันชอบวิธีที่สองมากกว่าวิธีแรก แต่ทางเลือกเป็นเรื่องของรสนิยม
คำตอบ: SLAE ที่กำหนดนั้นสอดคล้องและกำหนดไว้
ตัวอย่าง #2
สำรวจ SLAE $ \left\( \begin(จัดแนว) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1-2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4 \end(จัดแนว ed) \right .$ เพื่อความสม่ำเสมอ
เราจะพบอันดับของเมทริกซ์ระบบและเมทริกซ์ขยายของระบบโดยวิธีการแปลงเบื้องต้น เมทริกซ์ระบบเพิ่มเติม: $\widetilde(A)=\left(\begin(อาร์เรย์) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(อาร์เรย์) \right)$ มาหาอันดับที่ต้องการโดยการแปลงเมทริกซ์เสริมของระบบ:
$$ \left(\begin(อาร์เรย์) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \end(อาร์เรย์) \right) \begin(อาร์เรย์) (l) \phantom(0)\\r_2+r_1\\r_3 -2r_ 1\\ r_4-3r_1\\r_5-2r_1\end(อาร์เรย์)\rightarrow \left(\begin(อาร์เรย์) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end(อาร์เรย์) \right ) \begin(ar เรย์) (l) \phantom(0)\\\phantom(0)\\r_3-r_2\\ r_4-r_2\\r_5+r_2\end(อาร์เรย์)\rightarrow\\ $$ $$ \rightarrow\left(\begin(อาร์เรย์) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(อาร์เรย์) \right) \begin(อาร์เรย์) (l) \phantom(0)\\\phantom(0)\\\phantom(0)\\ r_4-r_3\\\phantom(0)\end(อาร์เรย์)\rightarrow \left(\begin(อาร์เรย์) (ccc|c) 1 & - 1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(อาร์เรย์) \right) $$
เมทริกซ์ขยายของระบบจะลดลงเป็นแบบขั้นบันได อันดับของเมทริกซ์ขั้นจะเท่ากับจำนวนแถวที่ไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้น $\rang\widetilde(A)=3$ เมทริกซ์ $A$ (จนถึงบรรทัด) ยังถูกลดขนาดเป็นรูปแบบขั้นบันได และอันดับของมันเท่ากับ 2, $\rang(A)=2$
เนื่องจาก $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ ดังนั้น ตามทฤษฎีบท Kronecker-Capelli ระบบนี้ไม่สอดคล้องกัน (เช่น ไม่มีวิธีแก้ปัญหา)
คำตอบ: ระบบไม่สอดคล้องกัน
ตัวอย่าง #3
สำรวจ SLAE $ \left\( \begin(ชิด) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_ 4-4 x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132 \end(ชิด) \right.$ สำหรับความเข้ากันได้
เรานำเมทริกซ์เสริมของระบบไปสู่รูปแบบขั้นบันได:
$$ \left(\begin(อาร์เรย์)(ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(อาร์เรย์) \right) \overset(r_1\leftrightarrow(r_3))(\rightarrow) $$ $$ \rightarrow\left(\begin(อาร์เรย์)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64\\ - 5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(อาร์เรย์) \right) \begin(อาร์เรย์) (l) \phantom(0)\\ r_2-2r_1 \\r_3+3r_1 \\ r_4+5r_1 \\ r_5-7r_1 \end(อาร์เรย์) \rightarrow \le ft(\ เริ่มต้น(อาร์เรย์)(cccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 3 & -2 & 0 & -1 & -13\\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 \end(อาร์เรย์) \right) \be gin(อาร์เรย์) ( l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\4r_3+3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5+3r_2 \end(อาร์เรย์) \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin(อาร์เรย์)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & - 5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 \end(อาร์เรย์) \right) \begin(อาร์เรย์) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\\phantom(0) \\ r_4-r_3 \\ r_5+r_2 \end(อาร์เรย์) \rightarrow \left(\begin(อาร์เรย์)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ สิ้นสุด (อาร์เรย์) \right) $$
เราได้ลดเมทริกซ์ขยายของระบบและเมทริกซ์ของระบบเองให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันได อันดับของเมทริกซ์ขยายของระบบเท่ากับสาม อันดับของเมทริกซ์ของระบบก็เท่ากับสามเช่นกัน เนื่องจากระบบมี $n=5$ ที่ไม่รู้จัก เช่น $\rang\widetilde(A)=\rang(A)\lt(n)$ ดังนั้น ตามผลสรุปของทฤษฎีบทโครเนคเกอร์-คาเปลลี ระบบนี้ไม่แน่นอน กล่าวคือ มีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน
คำตอบ: ระบบไม่แน่นอน
ในส่วนที่สอง เราจะวิเคราะห์ตัวอย่างที่มักรวมอยู่ในการคำนวณทั่วไปหรือ เอกสารการทดสอบในวิชาคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น: การศึกษาความเข้ากันได้และวิธีแก้ปัญหาของ SLAE ขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์ที่รวมอยู่ในนั้น
สารละลาย. เอ= . ค้นหา r(A) เพราะ เมทริกซ์ A มีลำดับ 3x4 ดังนั้นลำดับสูงสุดของผู้เยาว์คือ 3 ในกรณีนี้ ผู้เยาว์ทั้งหมดของลำดับที่สามจะเท่ากับศูนย์ (ตรวจสอบด้วยตัวเอง) วิธี, r(อา)< 3. Возьмем главный พื้นฐานเล็กน้อย = -5-4 = -9 ≠
0. ดังนั้น r(A) =2.
พิจารณา เมทริกซ์ กับ = .
รองลงมาที่สาม คำสั่ง ≠ 0. ดังนั้น r(C) = 3
ตั้งแต่ r(A) ≠ r(C) แสดงว่าระบบไม่สอดคล้องกัน
ตัวอย่างที่ 2กำหนดความเข้ากันได้ของระบบสมการ
แก้ปัญหาระบบนี้หากสอดคล้องกัน
สารละลาย.
ก = , ค = . เห็นได้ชัดว่า r(А) ≤ 3, r(C) ≤ 4 เนื่องจาก detC = 0 ดังนั้น r(C)< 4. พิจารณา ส่วนน้อย ที่สาม คำสั่งซึ่งอยู่ที่มุมซ้ายบนของเมทริกซ์ A และ C: = -23 ≠
0. ดังนั้น r(A) = r(C) = 3
ตัวเลข ไม่ทราบ ในระบบ n=3. ดังนั้นระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ในกรณีนี้ สมการที่สี่เป็นผลรวมของสามสมการแรกและสามารถละเว้นได้
ตามสูตรของแครมเมอร์เราได้ x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23
2.4. วิธีเมทริกซ์ วิธีเกาส์
ระบบ นสมการเชิงเส้นกับ นสิ่งที่ไม่รู้จักสามารถแก้ไขได้ วิธีเมทริกซ์ตามสูตร X \u003d A -1 B (สำหรับ Δ ≠ 0) ซึ่งได้จาก (2) โดยการคูณทั้งสองส่วนด้วย A -1
ตัวอย่างที่ 1 แก้ระบบสมการ
โดยวิธีเมทริกซ์ (ในหัวข้อ 2.2 ระบบนี้ได้รับการแก้ไขโดยใช้สูตรแครมเมอร์)
สารละลาย. Δ=10 ≠ 0 A = - เมทริกซ์ไม่เอกฐาน
= (ตรวจสอบด้วยตัวคุณเองโดยทำการคำนวณที่จำเป็น)
ก -1 \u003d (1 / Δ) x \u003d .
X \u003d A -1 B \u003d x= .
คำตอบ: .
จากมุมมองของการปฏิบัติวิธีเมทริกซ์และสูตร เครเมอร์มีความเกี่ยวข้องกับการคำนวณจำนวนมาก ดังนั้นการตั้งค่าจึงถูกกำหนดให้เป็น วิธีเกาส์ซึ่งประกอบด้วยการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จักอย่างต่อเนื่อง ในการทำเช่นนี้ ระบบสมการจะลดลงเป็นระบบสมมูลที่มีเมทริกซ์เสริมรูปสามเหลี่ยม (องค์ประกอบทั้งหมดใต้เส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์) การกระทำเหล่านี้เรียกว่าการย้ายโดยตรง จากผลลัพธ์ของระบบสามเหลี่ยม ตัวแปรจะถูกพบโดยใช้การแทนที่แบบต่อเนื่อง (ย้อนหลัง)
ตัวอย่างที่ 2. แก้ระบบด้วยวิธีเกาส์
(ระบบนี้ได้รับการแก้ไขข้างต้นโดยใช้สูตรแครมเมอร์และเมทริกซ์)
สารละลาย.
ย้ายโดยตรง เราเขียนเมทริกซ์ส่วนเติมและใช้การแปลงเบื้องต้น ทำให้มันอยู่ในรูปสามเหลี่ยม:
~
~
~
~
.
รับ ระบบ
ย้ายย้อนกลับจากสมการสุดท้ายที่เราพบ เอ็กซ์ 3 = -6 แล้วแทนค่านี้ลงในสมการที่สอง:
เอ็กซ์ 2 = - 11/2 - 1/4เอ็กซ์ 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.
เอ็กซ์ 1 = 2 -เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ 3 = 2+4-6 = 0.
คำตอบ: .
2.5. คำตอบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้น
ให้กำหนดระบบสมการเชิงเส้น = ข ฉัน(ฉัน=). ให้ r(A) = r(C) = r เช่น ระบบมีการทำงานร่วมกัน ลำดับเล็กน้อยที่ไม่ใช่ศูนย์ของคำสั่ง r คือ พื้นฐานเล็กน้อยเราจะถือว่าพื้นฐานรองอยู่ในแถวและคอลัมน์แรก r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) ของเมทริกซ์ A ม.ปลายสมการของระบบ เราเขียนระบบให้สั้นลง:
ซึ่งเทียบเท่ากับของเดิม ขอชื่อที่ไม่รู้จัก x 1 ,….x รขั้นพื้นฐาน และ x r +1 ,…, x rว่างและย้ายเงื่อนไขที่มีไม่ทราบที่ว่างไปทางด้านขวาของสมการของระบบที่ถูกตัดออก เราได้รับระบบที่เกี่ยวข้องกับสิ่งที่ไม่รู้จักพื้นฐาน:
ซึ่งสำหรับแต่ละชุดของค่าที่ไม่รู้จักฟรี x r +1 \u003d C 1, ..., x n \u003d C n-rมีทางออกเดียว x 1 (C 1, ..., C n-r), ..., x r (C 1, ..., C n-r),พบโดยกฎของแครมเมอร์
ทางออกที่เหมาะสมสั้นลงและด้วยเหตุนี้ระบบดั้งเดิมจึงมีรูปแบบ:
Х(С 1 ,…, С n-r) = -
วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบ
หากในวิธีแก้ปัญหาทั่วไป ค่าที่ไม่รู้จักฟรีจะได้รับค่าตัวเลขบางอย่าง เราจะได้คำตอบของระบบเชิงเส้น เรียกว่าไพรเวต
ตัวอย่าง. สร้างความเข้ากันได้และหาทางออกโดยรวมของระบบ
สารละลาย. เอ = , С =
.
ดังนั้น ยังไง อาร์(เอ)= r(C) = 2 (ดูเอง) แสดงว่าระบบเดิมเข้ากันได้และมีวิธีแก้ไขจำนวนไม่สิ้นสุด (ตั้งแต่ r< 4).
ระบบสมการเชิงเส้น m ที่มี n ไม่ทราบค่าเรียกว่าระบบรูปแบบ
ที่ไหน ไอจและ ข ฉัน (ฉัน=1,…,ม; ข=1,…,น) เป็นจำนวนที่รู้จักและ x 1 ,…,x n- ไม่ทราบ ในสัญกรณ์ของสัมประสิทธิ์ ไอจดัชนีแรก ฉันหมายถึงจำนวนของสมการ และตัวที่สอง เจคือจำนวนของค่าสัมประสิทธิ์นี้ที่ไม่ทราบค่า
ค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักจะถูกเขียนในรูปของเมทริกซ์ ซึ่งเราจะเรียกว่า เมทริกซ์ระบบ.
ตัวเลขทางด้านขวาของสมการ ข 1 ,…,ข มเรียกว่า สมาชิกฟรี
รวม นตัวเลข ค 1 ,…,ค นเรียกว่า การตัดสินใจของระบบนี้ ถ้าแต่ละสมการของระบบมีความเท่าเทียมกันหลังจากแทนตัวเลขลงไป ค 1 ,…,ค นแทนสิ่งแปลกปลอมที่สอดคล้องกัน x 1 ,…,x n.
งานของเราคือการหาวิธีแก้ไขระบบ ในกรณีนี้ อาจมีสามสถานการณ์:
ระบบสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบเรียกว่า ข้อต่อ. มิฉะนั้นเช่น หากระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหาก็จะเรียกว่า เข้ากันไม่ได้.
พิจารณาหาแนวทางแก้ไขระบบ
วิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น
เมทริกซ์ทำให้สามารถเขียนระบบสมการเชิงเส้นโดยสังเขปได้ ให้ระบบ 3 สมการที่มีสามค่าที่ไม่รู้จัก:
พิจารณาเมทริกซ์ของระบบ และคอลัมน์เมทริกซ์ของสมาชิกที่ไม่รู้จักและฟรี
มาพบกับสินค้า
เหล่านั้น. จากผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์ เราได้รับด้านซ้ายมือของสมการของระบบนี้ จากนั้นใช้นิยามของความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์ ระบบนี้สามารถเขียนเป็น
หรือสั้นกว่านั้น ก∙X=B.
นี่คือเมทริกซ์ กและ ขเป็นที่รู้จักและเมทริกซ์ เอ็กซ์ไม่ทราบ เธอต้องการที่จะพบเพราะ องค์ประกอบของมันเป็นทางออกของระบบนี้ สมการนี้เรียกว่า สมการเมทริกซ์.
ให้ตัวกำหนดเมทริกซ์แตกต่างจากศูนย์ | ก| ≠ 0 จากนั้นแก้สมการเมทริกซ์ได้ดังนี้ คูณทั้งสองข้างของสมการทางซ้ายด้วยเมทริกซ์ เอ-1, ส่วนผกผันของเมทริกซ์ ก: . เพราะว่า ก -1 ก = อีและ อี∙X=เอ็กซ์จากนั้นเราจะได้คำตอบของสมการเมทริกซ์ในรูปแบบ X = A -1 B .
โปรดทราบว่าเนื่องจากเมทริกซ์ผกผันสามารถพบได้สำหรับเมทริกซ์กำลังสองเท่านั้น เมธอดเมทริกซ์จึงสามารถแก้ปัญหาเฉพาะระบบที่ จำนวนสมการจะเหมือนกับจำนวนที่ไม่รู้จัก. อย่างไรก็ตาม สัญกรณ์เมทริกซ์ของระบบยังเป็นไปได้ในกรณีที่จำนวนสมการไม่เท่ากับจำนวนที่ไม่ทราบ ดังนั้นเมทริกซ์ กไม่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้น จึงไม่สามารถหาทางออกให้กับระบบในรูปได้ X = A -1 B.
ตัวอย่าง.แก้ระบบสมการ
![](https://i2.wp.com/toehelp.ru/theory/math_new/lecture14/l14image024.gif)
กฎของแครมเมอร์
พิจารณาระบบสมการเชิงเส้น 3 สมการที่มีตัวแปรสามตัว:
ดีเทอร์มิแนนต์อันดับสามที่สอดคล้องกับเมทริกซ์ของระบบ เช่น ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบค่า
เรียกว่า ตัวกำหนดระบบ.
เราสร้างดีเทอร์มิแนนต์อีกสามตัวดังนี้: เราแทนที่คอลัมน์ 1, 2 และ 3 อย่างต่อเนื่องในดีเทอร์มีแนนต์ D ด้วยคอลัมน์เงื่อนไขอิสระ
จากนั้นเราจะสามารถพิสูจน์ผลลัพธ์ต่อไปนี้
ทฤษฎีบท (กฎของแครมเมอร์)ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของระบบคือ Δ ≠ 0 แสดงว่าระบบที่กำลังพิจารณามีคำตอบเดียวเท่านั้น และ
การพิสูจน์. ดังนั้น พิจารณาระบบ 3 สมการที่มีสามสิ่งที่ไม่รู้จัก คูณสมการที่ 1 ของระบบด้วยพีชคณิตคอมพลีเมนต์ 11องค์ประกอบ 11, สมการที่ 2 - เปิด A21และที่ 3 - บน 31:
ลองเพิ่มสมการเหล่านี้:
พิจารณาแต่ละวงเล็บและด้านขวาของสมการนี้ โดยทฤษฎีบทการขยายตัวของดีเทอร์มีแนนต์ในแง่ขององค์ประกอบของคอลัมน์ที่ 1
ในทำนองเดียวกันสามารถแสดงได้ว่า และ
ในที่สุดมันก็ง่ายที่จะเห็นว่า
ดังนั้นเราจึงได้รับความเท่าเทียมกัน: .
เพราะฉะนั้น, .
ความเท่าเทียมกันและได้มาในทำนองเดียวกัน ดังนั้นการยืนยันทฤษฎีบทจึงเป็นไปตามนี้
ดังนั้นเราจึงทราบว่าหากดีเทอร์มิแนนต์ของระบบคือ Δ ≠ 0 แสดงว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะและในทางกลับกัน ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของระบบเท่ากับศูนย์ แสดงว่าระบบมีชุดของคำตอบที่ไม่สิ้นสุดหรือไม่มีคำตอบ เช่น เข้ากันไม่ได้
ตัวอย่าง.แก้ระบบสมการ
![](https://i1.wp.com/toehelp.ru/theory/math_new/lecture14/l14image074.gif)
วิธีการของเกาส์
วิธีการที่พิจารณาก่อนหน้านี้สามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาเฉพาะระบบที่จำนวนสมการเกิดขึ้นพร้อมกับจำนวนที่ไม่รู้จัก และดีเทอร์มีแนนต์ของระบบจะต้องแตกต่างจากศูนย์ วิธีเกาส์เซียนเป็นสากลมากกว่าและเหมาะสำหรับระบบที่มีสมการจำนวนเท่าใดก็ได้ ประกอบด้วยการกำจัดสิ่งแปลกปลอมออกจากสมการของระบบอย่างต่อเนื่อง
พิจารณาอีกครั้งเกี่ยวกับระบบสามสมการที่มีสามค่าที่ไม่รู้จัก:
.
เราปล่อยให้สมการแรกไม่เปลี่ยนแปลง และจากสมการที่ 2 และ 3 เราไม่รวมเงื่อนไขที่มี x 1. ในการทำเช่นนี้ เราหารสมการที่สองด้วย ก 21 และคูณด้วย - ก 11 แล้วบวกกับสมการที่ 1 ในทำนองเดียวกัน เราแบ่งสมการที่สามออกเป็น ก 31 และคูณด้วย - ก 11 แล้วบวกเข้ากับตัวแรก เป็นผลให้ระบบเดิมจะอยู่ในรูปแบบ:
จากสมการสุดท้าย เราตัดพจน์ที่มี x2. ในการทำเช่นนี้ ให้หารสมการที่สามด้วย คูณด้วย และเพิ่มเข้าไปในสมการที่สอง จากนั้นเราจะได้ระบบสมการ:
จากสมการสุดท้ายจึงง่ายต่อการค้นหา x 3แล้วจากสมการที่ 2 x2และในที่สุดตั้งแต่วันที่ 1 - x 1.
เมื่อใช้วิธี Gaussian สมการสามารถแลกเปลี่ยนได้หากจำเป็น
บ่อยครั้งที่แทนที่จะเขียนระบบสมการใหม่ พวกเขาจำกัดตัวเองให้เขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ:
แล้วนำไปเป็นรูปสามเหลี่ยมหรือทแยงโดยใช้การแปลงเบื้องต้น
ถึง การแปลงเบื้องต้นเมทริกซ์รวมถึงการแปลงต่อไปนี้:
- การเปลี่ยนแถวหรือคอลัมน์
- การคูณสตริงด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์
- เพิ่มบรรทัดอื่น ๆ ในหนึ่งบรรทัด
ตัวอย่าง:แก้ระบบสมการด้วยวิธีเกาส์
![](https://i0.wp.com/toehelp.ru/theory/math_new/lecture14/l14image106.gif)
ดังนั้น ระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน
อย่างไรก็ตาม มีอีกสองกรณีที่แพร่หลายในทางปฏิบัติ:
– ระบบไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีทางแก้ไข);
ระบบมีความสอดคล้องกันและมีวิธีแก้ปัญหามากมาย
บันทึก : คำว่า "ความสอดคล้อง" หมายถึงระบบมีวิธีแก้ปัญหาบางอย่างเป็นอย่างน้อย ในงานจำนวนหนึ่งจำเป็นต้องตรวจสอบความเข้ากันได้เบื้องต้นของระบบ วิธีการทำ - ดูบทความเกี่ยวกับ อันดับเมทริกซ์.
สำหรับระบบเหล่านี้จะใช้วิธีการแก้ปัญหาที่เป็นสากลมากที่สุด - วิธีเกาส์. ในความเป็นจริงวิธี "โรงเรียน" จะนำไปสู่คำตอบด้วย แต่ในคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นเป็นเรื่องปกติที่จะใช้วิธี Gaussian ในการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จักอย่างต่อเนื่อง ผู้ที่ไม่คุ้นเคยกับอัลกอริทึมวิธีเกาส์ โปรดศึกษาบทเรียนนี้ก่อน วิธีเกาส์สำหรับหุ่น.
การแปลงเมทริกซ์เบื้องต้นนั้นเหมือนกันทุกประการความแตกต่างจะอยู่ในตอนท้ายของการแก้ปัญหา ขั้นแรก ให้พิจารณาสองสามตัวอย่างที่ระบบไม่มีวิธีแก้ไข (ไม่สอดคล้องกัน)
ตัวอย่างที่ 1
สิ่งที่ดึงดูดสายตาของคุณในระบบนี้ในทันที? จำนวนสมการน้อยกว่าจำนวนตัวแปร ถ้าจำนวนสมการน้อยกว่าจำนวนตัวแปรเราสามารถพูดได้ทันทีว่าระบบไม่สอดคล้องกันหรือมีวิธีแก้ปัญหามากมาย และยังคงเป็นเพียงการค้นหา
จุดเริ่มต้นของการแก้ปัญหานั้นค่อนข้างธรรมดา - เราเขียนเมทริกซ์แบบขยายของระบบและใช้การแปลงเบื้องต้นเพื่อนำมาสู่รูปแบบขั้นตอน:
(1) ในขั้นตอนซ้ายบน เราต้องได้รับ +1 หรือ -1 ไม่มีตัวเลขดังกล่าวในคอลัมน์แรก ดังนั้นการจัดเรียงแถวใหม่จะไม่ทำงาน หน่วยจะต้องได้รับการจัดระเบียบอย่างอิสระและสามารถทำได้หลายวิธี ฉันทำสิ่งนี้: ในบรรทัดแรก ให้เพิ่มบรรทัดที่สาม คูณด้วย -1
(2) ตอนนี้เราได้ศูนย์สองตัวในคอลัมน์แรก ในบรรทัดที่สอง เราเพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย 3 ในบรรทัดที่สาม เราเพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย 5
(3) หลังจากการแปลงเสร็จสิ้น ขอแนะนำให้ดูว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะลดความซับซ้อนของสตริงผลลัพธ์ สามารถ. เราแบ่งบรรทัดที่สองด้วย 2 ในขณะเดียวกันก็รับ -1 ที่ต้องการในขั้นตอนที่สอง แบ่งบรรทัดที่สามด้วย -3
(4) เพิ่มบรรทัดที่สองในบรรทัดที่สาม
อาจเป็นไปได้ว่าทุกคนให้ความสนใจกับบรรทัดที่ไม่ดีซึ่งเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น: . เป็นที่ชัดเจนว่าไม่สามารถเป็นเช่นนั้นได้ เราเขียนเมทริกซ์ผลลัพธ์ใหม่
กลับไปที่ระบบสมการเชิงเส้น:
หากได้รับสตริงของแบบฟอร์มซึ่งเป็นผลมาจากการแปลงเบื้องต้นโดยที่ตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์แสดงว่าระบบไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีคำตอบ) .
จะบันทึกการสิ้นสุดของงานได้อย่างไร? วาดด้วยชอล์คสีขาวกันเถอะ: "จากการแปลงเบื้องต้นได้รับบรรทัดของแบบฟอร์มโดยที่" และให้คำตอบ: ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา (ไม่สอดคล้องกัน)
หากตามเงื่อนไขแล้วจำเป็นต้องสำรวจระบบเพื่อความเข้ากันได้ ก็จำเป็นต้องออกโซลูชันในลักษณะที่มั่นคงยิ่งขึ้นซึ่งเกี่ยวข้องกับแนวคิด อันดับเมทริกซ์และทฤษฎีบทโครเนคเกอร์-คาเปลลี.
โปรดทราบว่าไม่มีการเคลื่อนไหวย้อนกลับของอัลกอริทึมเกาส์เซียนที่นี่ - ไม่มีวิธีแก้ไขและไม่มีอะไรให้ค้นหา
ตัวอย่างที่ 2
แก้ระบบสมการเชิงเส้น
นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง เฉลยและคำตอบฉบับเต็มท้ายบทเรียน ฉันเตือนคุณอีกครั้งว่าเส้นทางโซลูชันของคุณอาจแตกต่างจากเส้นทางโซลูชันของฉัน อัลกอริทึมเกาส์เซียนไม่มี "ความแข็งแกร่ง" ที่แข็งแกร่ง
อีกหนึ่งคุณสมบัติทางเทคนิคของโซลูชัน: สามารถหยุดการแปลงเบื้องต้นได้ ในครั้งเดียวทันทีที่มีบรรทัด เช่น ที่ไหน พิจารณาตัวอย่างที่มีเงื่อนไข: สมมติว่าหลังจากการแปลงครั้งแรกเราได้เมทริกซ์ . เมทริกซ์ยังไม่ถูกลดขนาดลงเป็นรูปแบบขั้นบันได แต่ไม่จำเป็นต้องทำการแปลงเบื้องต้นอีกต่อไป เนื่องจากมีเส้นของรูปแบบปรากฏขึ้นโดยที่ . ควรตอบทันทีว่าระบบเข้ากันไม่ได้
เมื่อระบบสมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบ นี่เกือบจะเป็นของกำนัล เพราะได้คำตอบสั้น ๆ ซึ่งบางครั้งก็ใช้เวลา 2-3 ขั้นตอนอย่างแท้จริง
แต่ทุกสิ่งในโลกนี้มีความสมดุล และปัญหาที่ระบบมีวิธีแก้ไขมากมายอย่างไม่มีที่สิ้นสุดนั้นยาวนานกว่า
ตัวอย่างที่ 3
แก้ระบบสมการเชิงเส้น
มี 4 สมการและ 4 ไม่ทราบ ดังนั้นระบบสามารถมีคำตอบเดียวหรือไม่มีคำตอบหรือมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน ไม่ว่าจะเป็นอะไรก็ตาม แต่วิธี Gauss จะนำเราไปสู่คำตอบในทุกกรณี ความเก่งกาจของมันอยู่ในนั้น
จุดเริ่มต้นเป็นมาตรฐานอีกครั้ง เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ และใช้การแปลงเบื้องต้น นำมาเป็นรูปแบบขั้นตอน:
แค่นั้นแหละ และคุณก็กลัว
(1) โปรดทราบว่าตัวเลขทั้งหมดในคอลัมน์แรกหารด้วย 2 ลงตัว ดังนั้น 2 จึงอยู่ในลำดับบนซ้าย ในบรรทัดที่สอง เราเพิ่มบรรทัดแรก คูณด้วย -4 ในบรรทัดที่สาม เราเพิ่มบรรทัดแรก คูณด้วย -2 ในบรรทัดที่สี่ เราเพิ่มบรรทัดแรก คูณด้วย -1
ความสนใจ!หลายคนอาจถูกล่อลวงจากบรรทัดที่สี่ ลบเส้นแรก. สามารถทำได้ แต่ไม่จำเป็น ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดในการคำนวณเพิ่มขึ้นหลายครั้ง แค่บวกกัน: ในบรรทัดที่สี่ ให้เพิ่มบรรทัดแรก คูณด้วย -1 - อย่างแน่นอน!
(2) สามบรรทัดสุดท้ายเป็นสัดส่วน สามารถลบสองบรรทัดได้
ที่นี่อีกครั้งจำเป็นต้องแสดง เพิ่มความสนใจแต่เส้นเป็นสัดส่วนจริงหรือ? สำหรับการประกันภัยต่อ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับกาน้ำชา) การคูณแถวที่สองด้วย -1 นั้นไม่ใช่เรื่องฟุ่มเฟือย และหารแถวที่สี่ด้วย 2 ซึ่งส่งผลให้มีแถวที่เหมือนกันสามแถว และหลังจากนั้นให้ลบออกสองคน
อันเป็นผลมาจากการแปลงเบื้องต้น เมทริกซ์แบบขยายของระบบจะลดลงเป็นรูปแบบขั้นบันได:
เมื่อทำงานให้เสร็จในสมุดบันทึก ขอแนะนำให้จดบันทึกเดียวกันด้วยดินสอเพื่อความชัดเจน
เราเขียนระบบสมการที่เกี่ยวข้องใหม่:
วิธีแก้ปัญหาเฉพาะ "ปกติ" ของระบบไม่มีกลิ่นที่นี่ ไม่มีสายที่ไม่ดีเช่นกัน ซึ่งหมายความว่านี่เป็นกรณีที่สามที่เหลืออยู่ - ระบบมีวิธีแก้ไขมากมายไม่สิ้นสุด บางครั้งตามเงื่อนไข จำเป็นต้องตรวจสอบความเข้ากันได้ของระบบ (เช่น เพื่อพิสูจน์ว่ามีวิธีแก้ไขอยู่จริง) คุณสามารถอ่านเกี่ยวกับสิ่งนี้ได้ในย่อหน้าสุดท้ายของบทความ จะหาอันดับของเมทริกซ์ได้อย่างไร?แต่สำหรับตอนนี้ เรามาดูรายละเอียดพื้นฐานกัน:
ชุดโซลูชันที่ไม่สิ้นสุดของระบบเขียนสั้น ๆ ในรูปแบบของสิ่งที่เรียกว่า โซลูชันระบบทั่วไป .
เราจะพบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบโดยใช้การเคลื่อนที่ย้อนกลับของวิธีเกาส์
ก่อนอื่นเราต้องกำหนดว่าเรามีตัวแปรอะไรบ้าง ขั้นพื้นฐานและตัวแปรใด ฟรี. ไม่จำเป็นต้องกังวลกับเงื่อนไขของพีชคณิตเชิงเส้น แต่ก็เพียงพอที่จะจำไว้ว่ามีอยู่ ตัวแปรพื้นฐานและ ตัวแปรอิสระ.
ตัวแปรพื้นฐานจะ "นั่ง" อย่างเคร่งครัดในขั้นตอนของเมทริกซ์เสมอ.
ในตัวอย่างนี้ ตัวแปรพื้นฐานคือ และ
ตัวแปรอิสระคือทุกสิ่ง ที่เหลืออยู่ตัวแปรที่ไม่ได้รับขั้นตอน ในกรณีของเรา มีสองตัวแปร: – ตัวแปรอิสระ
ตอนนี้คุณต้องการ ทั้งหมด ตัวแปรพื้นฐานด่วน ผ่านเท่านั้น ตัวแปรอิสระ.
การย้ายย้อนกลับของอัลกอริทึม Gaussian นั้นทำงานจากล่างขึ้นบน
จากสมการที่สองของระบบ เราแสดงตัวแปรพื้นฐาน:
ตอนนี้ดูที่สมการแรก: . ขั้นแรก เราแทนที่นิพจน์ที่พบลงไป:
มันยังคงแสดงตัวแปรพื้นฐานในแง่ของตัวแปรอิสระ:
ผลลัพธ์คือสิ่งที่คุณต้องการ - ทั้งหมดตัวแปรพื้นฐาน ( และ ) จะแสดงออกมา ผ่านเท่านั้นตัวแปรอิสระ :
ที่จริงแล้วโซลูชันทั่วไปพร้อมแล้ว:
จะเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปได้อย่างไร?
ตัวแปรอิสระถูกเขียนลงในโซลูชันทั่วไป "ด้วยตัวมันเอง" และอยู่ในที่ของมันอย่างเคร่งครัด ในกรณีนี้ ควรเขียนตัวแปรอิสระในตำแหน่งที่สองและสี่: .
นิพจน์ผลลัพธ์สำหรับตัวแปรพื้นฐาน และจำเป็นต้องเขียนในตำแหน่งที่หนึ่งและสามอย่างชัดเจน:
ให้ตัวแปรฟรี ค่าโดยพลการมีมากมายเหลือคณานับ การตัดสินใจส่วนตัว. ค่าที่ได้รับความนิยมมากที่สุดคือศูนย์เนื่องจากโซลูชันเฉพาะเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการรับ แทนที่ในโซลูชันทั่วไป:
เป็นการตัดสินใจส่วนตัว
หนึ่งเป็นคู่หวานอีกคู่มาแทนที่คำตอบทั่วไป:
เป็นอีกหนึ่งโซลูชั่นเฉพาะ
จะเห็นได้ง่ายว่าระบบสมการมี วิธีแก้ปัญหามากมาย(เนื่องจากเราสามารถให้ตัวแปรฟรี ใดๆค่า)
แต่ละโซลูชันเฉพาะต้องตอบสนอง ถึงแต่ละคนสมการของระบบ นี่เป็นพื้นฐานสำหรับการตรวจสอบความถูกต้องของโซลูชัน "อย่างรวดเร็ว" ตัวอย่างเช่น ใช้วิธีแก้ปัญหาเฉพาะและแทนที่ทางด้านซ้ายของแต่ละสมการในระบบเดิม:
ทุกอย่างต้องมาพร้อมกัน และด้วยวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่คุณได้รับ ทุกอย่างควรจะมาบรรจบกัน
แต่พูดอย่างเคร่งครัด การตรวจสอบโซลูชันเฉพาะบางครั้งก็หลอกลวง วิธีแก้ปัญหาบางอย่างสามารถตอบสนองแต่ละสมการของระบบได้ และวิธีแก้ปัญหาทั่วไปนั้นพบว่าไม่ถูกต้อง
ดังนั้นการตรวจสอบโซลูชันทั่วไปจึงละเอียดและเชื่อถือได้มากกว่า วิธีตรวจสอบผลการแก้ปัญหาทั่วไป ?
มันง่าย แต่ค่อนข้างน่าเบื่อ เราต้องดำเนินการแสดงออก ขั้นพื้นฐานตัวแปรในกรณีนี้ และ แทนลงในด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ
ทางด้านซ้ายของสมการแรกของระบบ:
ทางด้านซ้ายของสมการที่สองของระบบ:
จะได้ด้านขวาของสมการเดิม
ตัวอย่างที่ 4
แก้ระบบด้วยวิธีเกาส์ ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปและสองวิธีส่วนตัว ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาโดยรวม
นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง อย่างไรก็ตามที่นี่จำนวนสมการน้อยกว่าจำนวนที่ไม่รู้จักซึ่งหมายความว่าเป็นที่ชัดเจนทันทีว่าระบบจะไม่สอดคล้องกันหรือมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนไม่สิ้นสุด อะไรคือสิ่งสำคัญในกระบวนการตัดสินใจ? ความสนใจและความสนใจอีกครั้ง. เฉลยและคำตอบฉบับเต็มท้ายบทเรียน
และอีกสองสามตัวอย่างเพื่อเสริมเนื้อหา
ตัวอย่างที่ 5
แก้ระบบสมการเชิงเส้น หากระบบมีโซลูชันมากมายไม่จำกัด ให้ค้นหาโซลูชันเฉพาะ 2 รายการและตรวจสอบโซลูชันทั่วไป
สารละลาย: มาเขียนเมทริกซ์ส่วนเติมเต็มของระบบและด้วยความช่วยเหลือของการแปลงเบื้องต้น เรานำมันมาไว้ในรูปขั้นตอน:
(1) เพิ่มบรรทัดแรกในบรรทัดที่สอง ในบรรทัดที่สาม เราเพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย 2 ในบรรทัดที่สี่ เราเพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย 3
(2) ในบรรทัดที่สาม ให้เพิ่มบรรทัดที่สอง คูณด้วย -5 ในบรรทัดที่สี่ เราเพิ่มบรรทัดที่สอง คูณด้วย -7
(3) บรรทัดที่สามและสี่เหมือนกัน เราลบหนึ่งบรรทัด
นี่คือความงามดังกล่าว:
ตัวแปรพื้นฐานตั้งอยู่บนขั้นบันได ดังนั้นจึงเป็นตัวแปรพื้นฐาน
มีตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียวที่ไม่ได้รับขั้นตอน:
ย้อนกลับ:
เราแสดงตัวแปรพื้นฐานในรูปของตัวแปรอิสระ:
จากสมการที่สาม:
พิจารณาสมการที่สองและแทนนิพจน์ที่พบลงไป:
พิจารณาสมการแรกและแทนที่นิพจน์ที่พบลงในสมการ:
ใช่ เครื่องคิดเลขที่นับเศษส่วนธรรมดายังคงสะดวก
ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:
อีกครั้งมันเกิดขึ้นได้อย่างไร? ตัวแปรอิสระอยู่ตัวเดียวในตำแหน่งที่สี่ที่ถูกต้อง นิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์สำหรับตัวแปรพื้นฐาน ก็เข้ามาแทนที่เช่นกัน
ให้เราตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปทันที เวิร์คสำหรับคนดำ แต่ทำมาแล้ว เลยจับ =)
เราแทนที่ฮีโร่สามตัว , , ที่ด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ:
จะได้ด้านขวามือของสมการที่สอดคล้องกัน ดังนั้นจึงพบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปได้อย่างถูกต้อง
ตอนนี้จากวิธีแก้ปัญหาทั่วไปที่พบ เราได้รับสองวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ พ่อครัวที่นี่เป็นเพียงตัวแปรฟรี คุณไม่จำเป็นต้องหักหัวของคุณ
ให้แล้ว เป็นการตัดสินใจส่วนตัว
ให้แล้ว เป็นอีกหนึ่งโซลูชั่นเฉพาะ
คำตอบ: การตัดสินใจร่วมกัน: โซลูชันเฉพาะ:
, .
ฉันจำเรื่องคนผิวดำที่นี่โดยเปล่าประโยชน์ ... ... เพราะแรงจูงใจซาดิสต์ทุกประเภทเข้ามาในหัวของฉันและฉันจำภาพที่มีชื่อเสียงซึ่ง Ku Klux Klansmen ในชุดคลุมสีขาววิ่งไปทั่วสนามหลังจากนักฟุตบอลผิวดำ ฉันนั่งยิ้มเงียบๆ รู้ไหมว่ากวนใจแค่ไหน….
คณิตศาสตร์จำนวนมากเป็นอันตราย ดังนั้นตัวอย่างสุดท้ายที่คล้ายกันสำหรับวิธีแก้ปัญหาอิสระ
ตัวอย่างที่ 6
ค้นหาคำตอบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้น
ฉันได้ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปแล้ว คำตอบสามารถเชื่อถือได้ โซลูชันของคุณอาจแตกต่างจากโซลูชันของฉัน สิ่งสำคัญคือโซลูชันทั่วไปตรงกัน
อาจเป็นไปได้ว่าหลายคนสังเกตเห็นช่วงเวลาที่ไม่พึงประสงค์ในการแก้ปัญหา: บ่อยครั้งมากในระหว่างขั้นตอนย้อนกลับของวิธี Gauss เราต้องเล่นเศษส่วนธรรมดา ในทางปฏิบัติ นี่เป็นเรื่องจริง กรณีที่ไม่มีเศษส่วนเกิดขึ้นน้อยมาก เตรียมพร้อมด้านจิตใจและที่สำคัญที่สุดคือด้านเทคนิค
ฉันจะอาศัยคุณสมบัติบางอย่างของโซลูชันที่ไม่พบในตัวอย่างที่แก้ไขแล้ว
วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบบางครั้งอาจรวมถึงค่าคงที่ (หรือค่าคงที่) ตัวอย่างเช่น: นี่คือหนึ่งในตัวแปรพื้นฐานที่เท่ากับจำนวนคงที่: ไม่มีอะไรแปลกใหม่ในเรื่องนี้เกิดขึ้น เห็นได้ชัดว่า ในกรณีนี้ วิธีแก้ปัญหาเฉพาะใดๆ จะมีเลขห้าอยู่ในตำแหน่งแรก
ไม่ค่อยมี แต่มีระบบที่ จำนวนสมการ ปริมาณมากขึ้นตัวแปร. วิธี Gaussian ทำงานในสภาวะที่รุนแรงที่สุด เราควรนำเมทริกซ์ส่วนขยายของระบบอย่างใจเย็นไปสู่รูปแบบขั้นบันไดตามอัลกอริทึมมาตรฐาน ระบบดังกล่าวอาจไม่สอดคล้องกัน อาจมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน และที่น่าแปลกก็คือ อาจมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ
ส่วน: คณิตศาสตร์
หากปัญหามีตัวแปรน้อยกว่าสามตัว แสดงว่าไม่ใช่ปัญหา ถ้ามากกว่าแปดก็ตัดสินใจไม่ได้ อีนอน
พบปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ในตัวแปรทั้งหมดของ USE เนื่องจากเมื่อทำการแก้ไขจะเป็นการเปิดเผยอย่างชัดเจนที่สุดว่าความรู้ของผู้สำเร็จการศึกษานั้นลึกและไม่เป็นทางการเพียงใด ความยากลำบากที่นักเรียนมีในการปฏิบัติงานดังกล่าวไม่เพียงเกิดจากความซับซ้อนที่สัมพันธ์กันเท่านั้น แต่ยังเกิดจากความจริงที่ว่าพวกเขาให้ความสนใจไม่เพียงพอในตำราเรียน ในรูปแบบต่างๆ ของ KIM ในวิชาคณิตศาสตร์ มีการมอบหมายงานด้วยพารามิเตอร์สองประเภท อันดับแรก: "สำหรับแต่ละค่าของพารามิเตอร์ ให้แก้สมการ อสมการ หรือระบบ" ประการที่สอง: "ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ซึ่งแต่ละค่าคำตอบของอสมการสมการหรือระบบเป็นไปตามเงื่อนไขที่กำหนด" ดังนั้น คำตอบในปัญหาทั้งสองประเภทนี้จึงแตกต่างกันในสาระสำคัญ ในกรณีแรก ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของพารามิเตอร์จะแสดงอยู่ในคำตอบ และคำตอบของสมการจะถูกเขียนสำหรับแต่ละค่าเหล่านี้ รายการที่สองแสดงค่าพารามิเตอร์ทั้งหมดตามเงื่อนไขของปัญหา การบันทึกคำตอบเป็นขั้นตอนสำคัญของการแก้ปัญหา เป็นสิ่งสำคัญมากที่จะไม่ลืมสะท้อนขั้นตอนทั้งหมดของการตัดสินใจในคำตอบ สิ่งนี้จะต้องได้รับความสนใจจากนักเรียน
ภาคผนวกของบทเรียนมีเนื้อหาเพิ่มเติมในหัวข้อ "การแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยพารามิเตอร์" ซึ่งจะช่วยในการเตรียมนักเรียนให้พร้อมสำหรับการรับรองขั้นสุดท้าย
วัตถุประสงค์ของบทเรียน:
- การจัดระบบความรู้ของนักเรียน
- พัฒนาทักษะในการนำไปใช้ การแสดงกราฟิกเมื่อแก้ระบบสมการ
- การสร้างความสามารถในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีพารามิเตอร์
- การดำเนินการควบคุมการปฏิบัติงานและการควบคุมตนเองของนักเรียน
- การพัฒนาการวิจัยและกิจกรรมการเรียนรู้ของเด็กนักเรียนความสามารถในการประเมินผลที่ได้รับ
บทเรียนได้รับการออกแบบมาสำหรับการสอนสองชั่วโมง
ระหว่างเรียน
- เวลาจัดงาน
หัวข้อข้อความ เป้าหมาย และวัตถุประสงค์ของบทเรียน
- ปรับปรุงความรู้พื้นฐานของนักเรียน
ตรวจการบ้าน. เช่น การบ้านให้นักเรียนแก้สมการเชิงเส้นทั้งสามระบบ
ก) ข) วี)
แบบกราฟิกและเชิงวิเคราะห์ หาข้อสรุปเกี่ยวกับจำนวนวิธีแก้ปัญหาที่ได้รับสำหรับแต่ละกรณี
ข้อสรุปที่ทำโดยนักเรียนจะได้รับการฟังและวิเคราะห์ ผลงานภายใต้การแนะนำของอาจารย์ใน แบบสั้นถูกวาดขึ้นในสมุดบันทึก
ใน ปริทัศน์ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่มีนิรนามสองตัวสามารถแสดงเป็น:
ในการแก้ระบบสมการที่กำหนดแบบกราฟิกหมายถึงการหาพิกัดของจุดตัดของกราฟของสมการเหล่านี้หรือเพื่อพิสูจน์ว่าไม่มีเลย กราฟของแต่ละสมการของระบบนี้บนระนาบจะเป็นเส้นตรง
เป็นไปได้สามกรณี ตำแหน่งสัมพัทธ์เส้นตรงสองเส้นในระนาบ:
<Рисунок1>;
<Рисунок2>;
<Рисунок3>.
สำหรับแต่ละกรณีจะมีประโยชน์ในการวาดภาพ
- เรียนรู้วัสดุใหม่
วันนี้ในบทเรียนเราจะได้เรียนรู้วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีพารามิเตอร์ เราจะเรียกพารามิเตอร์ว่าตัวแปรอิสระ ซึ่งในโจทย์จะถือว่าค่านี้เป็นจำนวนจริงคงที่หรือจำนวนจริงตามอำเภอใจ หรือจำนวนที่เป็นของชุดที่กำหนดไว้ล่วงหน้า การแก้ระบบสมการด้วยพารามิเตอร์หมายถึงการสร้างความสอดคล้องที่อนุญาตให้ค่าพารามิเตอร์ใดๆ ค้นหาชุดของคำตอบที่สอดคล้องกันกับระบบ
การแก้ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ขึ้นอยู่กับคำถามที่อยู่ในนั้น หากคุณต้องการแก้ระบบสมการสำหรับค่าต่างๆ ของพารามิเตอร์หรือตรวจสอบมัน คุณต้องให้คำตอบที่สมเหตุสมผลสำหรับค่าใดๆ ของพารามิเตอร์หรือสำหรับค่าของพารามิเตอร์ที่เป็นของชุดที่ระบุไว้ล่วงหน้าในปัญหา หากจำเป็นต้องค้นหาค่าของพารามิเตอร์ที่ตรงตามเงื่อนไขบางประการ ก็ไม่จำเป็นต้องทำการศึกษาทั้งหมด และการแก้ปัญหาของระบบจะจำกัดอยู่เพียงการค้นหาค่าเฉพาะของพารามิเตอร์เหล่านี้
ตัวอย่างที่ 1สำหรับค่าพารามิเตอร์แต่ละค่า เราจะแก้ระบบสมการ
สารละลาย.
- ระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะหาก
ในกรณีนี้เรามี
- ถ้า a = 0 ระบบจะเข้าฟอร์ม
ระบบไม่สอดคล้องกัน เช่น ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
- ถ้าอย่างนั้นระบบสามารถเขียนในรูปแบบ
เห็นได้ชัดว่าในกรณีนี้ระบบมีคำตอบมากมายในรูปแบบ x = t; โดยที่ t คือจำนวนจริงใดๆ
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 2
- มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ
- มีวิธีแก้ไขมากมาย
- ไม่มีวิธีแก้ปัญหา?
สารละลาย.
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 3ให้เราหาผลรวมของพารามิเตอร์ a และ b ที่ระบบ
มีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน
สารละลาย.ระบบมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนไม่สิ้นสุดหาก
นั่นคือ ถ้า a = 12, b = 36; ก + ข = 12 + 36 = 48.
คำตอบ: 48.
- การรวมสิ่งที่ได้เรียนรู้ในการแก้ปัญหา
- หมายเลข 15.24(ก) . สำหรับค่าพารามิเตอร์แต่ละค่า ให้แก้ระบบสมการ
- #15.25(ก) สำหรับค่าพารามิเตอร์แต่ละค่า ให้แก้ระบบสมการ
- ระบบสมการสำหรับค่าพารามิเตอร์ใด
ก) ไม่มีวิธีแก้ปัญหา b) มีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุด
คำตอบ: สำหรับ a = 2 ไม่มีคำตอบ สำหรับ a = -2 มีคำตอบเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด
- การปฏิบัติงานเป็นกลุ่ม
ชั้นเรียนแบ่งออกเป็นกลุ่มละ 4-5 คน แต่ละกลุ่มประกอบด้วยนักเรียนที่มีการฝึกทางคณิตศาสตร์ในระดับต่างๆ แต่ละกลุ่มจะได้รับการ์ดพร้อมงาน คุณสามารถเชิญทุกกลุ่มให้แก้สมการหนึ่งระบบและร่างคำตอบได้ กลุ่มที่ทำภารกิจสำเร็จอย่างถูกต้องก่อนจะแสดงวิธีแก้ปัญหา ส่วนที่เหลือมอบการตัดสินใจให้ครู
การ์ด.แก้ระบบสมการเชิงเส้น
สำหรับค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์
คำตอบ: เมื่อไหร่ ระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ
; เมื่อไม่มีทางแก้ไข สำหรับ a = -1 มีคำตอบของรูปแบบมากมายนับไม่ถ้วน (t; 1- t) โดยที่ t R
หากชั้นเรียนมีความแข็งแกร่งอาจเสนอแบบกลุ่ม ระบบที่แตกต่างกันสมการซึ่งมีรายชื่ออยู่ในภาคผนวก 1 จากนั้นแต่ละกลุ่มนำเสนอวิธีแก้ปัญหาของตนในชั้นเรียน
รายงานของกลุ่มที่ทำภารกิจสำเร็จก่อน
ผู้เข้าร่วมให้เสียงและอธิบายเวอร์ชันของวิธีแก้ปัญหาและตอบคำถามที่เกิดขึ้นจากตัวแทนของกลุ่มอื่นๆ
- งานอิสระ
ตัวเลือกที่ 1
ตัวเลือก 2
- สรุปบทเรียน
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยพารามิเตอร์สามารถเปรียบเทียบได้กับการศึกษาที่มีเงื่อนไขหลักสามประการ ครูขอให้นักเรียนกำหนดพวกเขา
เมื่อตัดสินใจ โปรดจำไว้ว่า:
- เพื่อให้ระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ จำเป็นต้องมีเส้นที่สอดคล้องกับสมการของระบบตัดกัน เช่น จำเป็นต้องปฏิบัติตามเงื่อนไข
- หากไม่มีคำตอบ เส้นจะต้องขนานกัน เช่น ตรงตามเงื่อนไข
- และสุดท้าย เพื่อให้ระบบมีโซลูชันมากมายไม่จำกัด เส้นต้องตรงกัน เช่น เป็นไปตามเงื่อนไข
ครูประเมินงานในบทเรียนของชั้นเรียนโดยรวมและกำหนดคะแนนสำหรับบทเรียนสำหรับนักเรียนแต่ละคน หลังจากตรวจงานอิสระแล้ว นักเรียนแต่ละคนจะได้รับการประเมินสำหรับบทเรียน
- การบ้าน
สำหรับค่าของพารามิเตอร์ b ระบบสมการ
- มีวิธีแก้ปัญหามากมาย
- ไม่มีวิธีแก้ปัญหา?
กราฟของฟังก์ชัน y = 4x + b และ y = kx + 6 มีความสมมาตรรอบแกน y
- ค้นหา b และ k
- หาพิกัดของจุดตัดของกราฟเหล่านี้
แก้ระบบสมการสำหรับทุกค่าของ m และ n
แก้ระบบสมการเชิงเส้นสำหรับค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ a (ตัวเลือกใดก็ได้)
![](https://i1.wp.com/xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/522505/img49.gif)
วรรณกรรม
- พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์: หนังสือเรียน. สำหรับ 11 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน: พื้นฐานและโปรไฟล์ ระดับ / S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin - M.: การศึกษา, 2551
- คณิตศาสตร์: เกรด 9: การเตรียมการสำหรับการรับรองขั้นสุดท้ายของรัฐ / M. N. Korchagina, V. V. Korchagin - M.: Eksmo, 2008
- เตรียมตัวเข้ามหาวิทยาลัย. คณิตศาสตร์. ส่วนที่ 2 สถานะ เทคโนโลยี ยกเลิก; สถาบันที่ทันสมัย เทคโนโลยี และเศรษฐกิจ เรียบเรียงโดย: S. N. Gorshkova, L. M. Danovich, N. A. เนาโมวา, A.V. Martynenko, ไอ.เอ. พัลชชิคอฟ. – ครัสโนดาร์, 2549.
- การรวบรวมปัญหาทางคณิตศาสตร์สำหรับหลักสูตรเตรียมความพร้อม TUSUR: คู่มือการศึกษา / Z. M. Goldstein, G. A. Kornievskaya, G. A. Korotchenko, S. N. คูดินอฟ. – ทอมสค์: ทอมสค์ สถานะ. มหาวิทยาลัยระบบควบคุมและวิทยุอิเล็กทรอนิกส์ 2541
- คณิตศาสตร์: หลักสูตรเร่งรัดสำหรับการเตรียมสอบ / O. Yu. Cherkasov, A.G. Yakushev - M.: Rolf, Iris-press, 1998