สัจพจน์ของความสมบูรณ์ของจำนวนจริง สัจพจน์ของจำนวนจริง
ตามกฎแล้วทฤษฎีทางคณิตศาสตร์จะหาทางออกโดยปล่อยให้ตัวเลขชุดหนึ่ง (ข้อมูลเริ่มต้น) ถูกประมวลผลเป็นตัวเลขอีกชุดหนึ่งที่ถือเป็นเป้าหมายขั้นกลางหรือเป้าหมายสุดท้ายของการคำนวณ ด้วยเหตุนี้ ฟังก์ชันตัวเลขจึงครอบครองสถานที่พิเศษในวิชาคณิตศาสตร์และการประยุกต์ (หรือเรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันเชิงตัวเลขเชิงอนุพันธ์) ถือเป็นวัตถุหลักของการศึกษาการวิเคราะห์แบบดั้งเดิม แต่คำอธิบายที่สมบูรณ์เกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชันเหล่านี้จากมุมมองของคณิตศาสตร์ยุคใหม่ ดังที่คุณอาจเคยสัมผัสมาแล้วที่โรงเรียนและอย่างที่คุณเห็นในไม่ช้า เป็นไปไม่ได้เลยหากไม่มี คำจำกัดความที่แม่นยำเซตของจำนวนจริงที่ฟังก์ชันเหล่านี้ทำหน้าที่
ตัวเลขในคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับเวลาในฟิสิกส์ เป็นที่รู้จักสำหรับทุกคน แต่เฉพาะผู้เชี่ยวชาญเท่านั้นที่เข้าใจไม่ได้ นี่เป็นหนึ่งในนามธรรมทางคณิตศาสตร์หลักซึ่งเห็นได้ชัดว่ายังคงมีวิวัฒนาการที่สำคัญรออยู่ข้างหน้าและเรื่องราวนี้สามารถอุทิศให้กับหลักสูตรเร่งรัดอิสระได้ ในที่นี้เราหมายถึงเพียงรวบรวมสิ่งที่ผู้อ่านรู้โดยทั่วไปเกี่ยวกับจำนวนจริงจากโรงเรียนมัธยมปลาย โดยเน้นที่คุณสมบัติพื้นฐานและเป็นอิสระของตัวเลขในรูปแบบของสัจพจน์ ในการทำเช่นนั้น เป้าหมายของเราคือการให้คำจำกัดความที่ถูกต้องของจำนวนจริงซึ่งเหมาะสำหรับการใช้ทางคณิตศาสตร์ในภายหลังและเพื่อย้อนกลับ เอาใจใส่เป็นพิเศษเกี่ยวกับคุณสมบัติของความสมบูรณ์หรือความต่อเนื่องซึ่งเป็นเชื้อโรคของการผ่านไปยังขีด จำกัด - การดำเนินการวิเคราะห์ที่ไม่ใช่เลขคณิตหลัก
§ 1. สัจพจน์และคุณสมบัติทั่วไปบางประการของเซตของจำนวนจริง
1. นิยามเซตของจำนวนจริง
คำจำกัดความ 1. เซต E เรียกว่าเซตของจำนวนจริง (จำนวนจริง) และองค์ประกอบของเซตนั้นเรียกว่าจำนวนจริง (จำนวนจริง)
ตัวเลขหากเป็นไปตามชุดเงื่อนไขต่อไปนี้ เรียกว่าสัจพจน์ของจำนวนจริง:
(I) สัจพจน์ของการบวก
การแมปที่กำหนด (การดำเนินการเพิ่มเติม)
การกำหนดให้กับองค์ประกอบแต่ละคู่ที่ได้รับคำสั่งจาก E องค์ประกอบบางอย่างเรียกว่าผลรวมของ x และ y ในกรณีนี้เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:
มีองค์ประกอบที่เป็นกลาง 0 (เรียกว่าศูนย์ในกรณีของการบวก) เช่นนั้นสำหรับค่าใดๆ
สำหรับองค์ประกอบใด ๆ มีองค์ประกอบที่เรียกว่าตรงกันข้ามกับสิ่งนั้น
การดำเนินการ 4 มีความเชื่อมโยง เช่น สำหรับองค์ประกอบใดๆ จาก
การดำเนินการ 4 เป็นการสับเปลี่ยน กล่าวคือ สำหรับองค์ประกอบใดๆ จาก E
หากมีการกำหนดการดำเนินการในชุดบางชุดที่สอดคล้องกับสัจพจน์ พวกเขากล่าวว่ามีการกำหนดโครงสร้างของกลุ่มหรือมีกลุ่ม หากการดำเนินการเรียกว่าการบวก กลุ่มนั้นจะเรียกว่าการบวก นอกจากนี้ หากทราบว่าการดำเนินการเป็นแบบสับเปลี่ยน กล่าวคือ เป็นไปตามเงื่อนไขแล้ว กลุ่มจะเรียกว่าสับเปลี่ยนหรือแบบ Abelian ดังนั้น สัจพจน์กล่าวว่า E เป็นกลุ่มบวกของชาวอาบีเลียน
(II) สัจพจน์ของการคูณ
การแมปที่กำหนด (การดำเนินการคูณ)
กำหนดให้กับองค์ประกอบแต่ละคู่ที่เรียงลำดับจาก E องค์ประกอบบางตัว เรียกว่าผลคูณของ x และ y และในลักษณะที่ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:
1. มีองค์ประกอบที่เป็นกลางในกรณีคูณด้วยหนึ่ง) เช่นนั้น
2. สำหรับองค์ประกอบใดๆ จะมีองค์ประกอบที่เรียกว่าอินเวอร์สเช่นนั้น
3. การดำเนินการมีความเชื่อมโยง เช่น ใด ๆ ของ E
4. การดำเนินการเป็นแบบสับเปลี่ยน เช่น เพื่อใดๆ
โปรดทราบว่าในส่วนของการดำเนินการคูณนั้น เซตสามารถตรวจสอบได้ว่าเป็นกลุ่ม (การคูณ)
(I, II) ความสัมพันธ์ระหว่างการบวกและการคูณ
การคูณเป็นการแจกแจงด้วยความเคารพต่อการบวก เช่น
โปรดทราบว่า เนื่องจากธรรมชาติของการคูณมีการสับเปลี่ยน ความเสมอภาคสุดท้ายจะยังคงอยู่หากลำดับของตัวประกอบในทั้งสองส่วนมีการเปลี่ยนแปลง
หากในบางชุดมีการดำเนินการสองอย่างที่เป็นไปตามสัจพจน์ที่แสดงไว้ทั้งหมด จะเรียกว่าสนามพีชคณิตหรือเรียกง่ายๆ ว่าสนาม
(III) สัจพจน์ของการสั่งซื้อ
องค์ประกอบของ E มีความสัมพันธ์กัน กล่าวคือ สำหรับองค์ประกอบจาก E จะถูกพิจารณาว่าบรรลุผลสำเร็จหรือไม่ ในกรณีนี้ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:
ความสัมพันธ์นี้เรียกว่าความสัมพันธ์ที่ไม่เท่าเทียมกัน
เซตซึ่งอยู่ระหว่างองค์ประกอบบางอย่างซึ่งมีความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกับสัจพจน์ 0, 1, 2 ดังที่ทราบกันดีเรียกว่าเรียงลำดับบางส่วน และหากนอกจากนี้ สัจพจน์ที่ 3 เป็นที่พอใจ นั่นคือ องค์ประกอบสองรายการใด ๆ ของเซตนั้นเทียบเคียงได้ จากนั้นเซตนี้เรียกว่าลำดับเชิงเส้น
ดังนั้นเซตของจำนวนจริงจึงเรียงลำดับเชิงเส้นตามความสัมพันธ์อสมการระหว่างองค์ประกอบต่างๆ
(I, III) ความสัมพันธ์ระหว่างการบวกและลำดับใน R
ถ้า x เป็นองค์ประกอบของ R แล้ว
(II, III) ความสัมพันธ์ระหว่างการคูณและลำดับใน R
ถ้าเป็นองค์ประกอบของ R แล้ว
(IV) สัจพจน์ของความสมบูรณ์ (ความต่อเนื่อง)
ถ้า X และ Y เป็นสับเซตที่ไม่ว่างของ E ที่มีคุณสมบัติเช่นนั้นสำหรับองค์ประกอบใดๆ ก็จะมีสมบัติเช่นนั้นสำหรับองค์ประกอบใดๆ
นี่เป็นการเติมเต็มรายการสัจพจน์ ซึ่งการปฏิบัติตามเซต E ใดๆ จะทำให้เราสามารถพิจารณาเซตนี้เป็นการดำเนินการเฉพาะหรือแบบจำลองของจำนวนจริงอย่างที่พวกเขาพูดกัน
คำจำกัดความนี้อย่างเป็นทางการไม่ได้คาดเดาข้อมูลเบื้องต้นใดๆ เกี่ยวกับตัวเลข และจากนั้น "รวมถึงความคิดทางคณิตศาสตร์" อย่างเป็นทางการอีกครั้ง เราจะต้องได้รับคุณสมบัติที่เหลืออยู่ของจำนวนจริงเป็นทฤษฎีบท ฉันอยากจะแสดงความคิดเห็นอย่างไม่เป็นทางการบางประการเกี่ยวกับพิธีการตามหลักสัจพจน์นี้
ลองนึกภาพว่าคุณยังไม่ก้าวหน้าจากการบวกแอปเปิ้ล ลูกบาศก์ หรือปริมาณที่ระบุชื่ออื่นๆ ไปเป็นการบวกจำนวนธรรมชาติที่เป็นนามธรรม คุณไม่ได้วัดส่วนและไม่ได้มาถึงจำนวนตรรกยะ ว่าคุณไม่ทราบการค้นพบครั้งยิ่งใหญ่ในสมัยก่อนว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่สมส่วนกับด้านข้าง ดังนั้นความยาวของมันจึงไม่สามารถเป็นจำนวนตรรกยะได้ นั่นคือ ต้องใช้จำนวนอตรรกยะ ว่าคุณไม่มีแนวคิดเรื่อง "มากกว่า" ที่เกิดขึ้นในกระบวนการวัด คุณไม่แสดงลำดับให้กับตัวเอง เช่น ด้วยภาพของเส้นจำนวน หากไม่มีทั้งหมดนี้มาก่อนชุดสัจพจน์ที่ระบุไว้จะไม่เพียงแต่ไม่ถูกมองว่าเป็นผลแน่นอนของการพัฒนาทางจิตวิญญาณเท่านั้น แต่อย่างน้อยก็จะดูแปลกและไม่ว่าในกรณีใดจะเป็นผลไม้แห่งจินตนาการตามอำเภอใจ
เกี่ยวกับระบบสัจพจน์เชิงนามธรรมใดๆ มีคำถามอย่างน้อยสองข้อเกิดขึ้นทันที
ประการแรก สัจพจน์เหล่านี้เข้ากันได้หรือไม่ กล่าวคือ มีชุดที่ตรงตามเงื่อนไขที่ระบุไว้ทั้งหมดหรือไม่ นี่เป็นคำถามเกี่ยวกับความสอดคล้องของสัจพจน์
ประการที่สอง ไม่ว่าระบบสัจพจน์ที่กำหนดจะกำหนดวัตถุทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะหรือไม่ กล่าวคือ ดังที่นักตรรกศาสตร์จะกล่าวว่า ระบบสัจพจน์เป็นแบบเด็ดขาดหรือไม่
ความคลุมเครือที่นี่จะต้องเข้าใจดังนี้ ถ้าบุคคล A และ B สร้างแบบจำลองของตนเอง เช่น ระบบตัวเลขที่เป็นไปตามสัจพจน์อย่างอิสระ เช่น ความสัมพันธ์เชิงตรรกะสามารถเกิดขึ้นได้ระหว่างเซตต่างๆ แม้ว่าจะรักษาการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และความสัมพันธ์เชิงลำดับไว้ก็ตาม เช่น
จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ในกรณีนี้ พวกมันเป็นเพียงการใช้งาน (แบบจำลอง) ที่แตกต่างกัน (เท่ากันโดยสิ้นเชิง) ของจำนวนจริง (เช่น - เศษส่วนทศนิยมอนันต์ และ - จุดบนเส้นจำนวน) การใช้งานดังกล่าวเรียกว่า isomorphic และการทำแผนที่เรียกว่า isomorphism ผลลัพธ์ของกิจกรรมทางคณิตศาสตร์จึงไม่เกี่ยวข้องกับการใช้งานส่วนบุคคล แต่เกี่ยวข้องกับแต่ละแบบจำลองจากคลาสของแบบจำลองไอโซมอร์ฟิกของสัจพจน์ที่กำหนด
เราจะไม่อภิปรายคำถามที่กล่าวข้างต้นที่นี่ และจะจำกัดตัวเองอยู่เพียงคำตอบที่ให้ข้อมูลเท่านั้น
คำตอบเชิงบวกสำหรับคำถามเกี่ยวกับความสอดคล้องของสัจพจน์นั้นเป็นเงื่อนไขเสมอ ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับตัวเลข ดูเหมือนว่านี้: ตามสัจพจน์ของทฤษฎีเซตที่เรายอมรับ (ดูบทที่ 1, § 4, ย่อหน้าที่ 2) เราสามารถสร้างชุดของจำนวนธรรมชาติ จากนั้นจึงสร้างชุดของจำนวนตรรกยะ และ สุดท้ายคือเซต E ของจำนวนจริงทั้งหมด ซึ่งเป็นไปตามคุณสมบัติข้างต้นทั้งหมด
สัจพจน์ของความต่อเนื่อง (ความสมบูรณ์) และ และ ความไม่เท่าเทียมกันถือ มีจำนวนจริงเช่นนี้ นั่นสำหรับทุกคน และ มีความสัมพันธ์
ในเชิงเรขาคณิต หากเราถือว่าจำนวนจริงเป็นจุดบนเส้นตรง ข้อความนี้ดูเหมือนจะชัดเจน ถ้ามีสองชุด และ คือว่าบนเส้นจำนวน องค์ประกอบทั้งหมดของหนึ่งในนั้นอยู่ทางซ้ายขององค์ประกอบที่สองทั้งหมด แล้วจะมีตัวเลขอยู่ , การแบ่งสองชุดนี้ก็คือนอนอยู่ทางด้านขวาของธาตุทั้งหมด (ยกเว้นบางทีอาจจะมาก ) และทางด้านซ้ายขององค์ประกอบทั้งหมด (ข้อจำกัดความรับผิดชอบเดียวกัน)
ควรสังเกตไว้ที่นี่ว่าแม้จะมี "ความชัดเจน" ของคุณสมบัตินี้ แต่ก็ไม่เป็นความจริงเสมอไปสำหรับจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น พิจารณาสองชุด:
A = \(x \in \mathbb(Q): x > 0, \; x^2< 2\}, \quad B = \{x \in \mathbb{Q}: x >0,\; x^2 > 2\)
จะเห็นได้ง่ายสำหรับองค์ประกอบใดๆ และ ความไม่เท่าเทียมกันถือ . อย่างไรก็ตาม มีเหตุผลตัวเลข ไม่มีการแยกสองชุดนี้ออก ที่จริงแล้วหมายเลขนี้สามารถเป็นได้เท่านั้น แต่มันไม่สมเหตุสมผล
บทบาทของสัจพจน์ของความต่อเนื่องในการสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
ความหมายของสัจพจน์ของความต่อเนื่องก็คือหากไม่มีมัน การสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดก็เป็นไปไม่ได้ เพื่อแสดงให้เห็น เราได้นำเสนอการวิเคราะห์พื้นฐานหลายประการ ซึ่งการพิสูจน์จะขึ้นอยู่กับความต่อเนื่องของจำนวนจริง:
- (ทฤษฎีบทของไวเออร์ชตราส)ทุกลำดับที่เพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากจำเจมาบรรจบกัน
- (ทฤษฎีบทโบลซาโน-คอชี)ฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซ็กเมนต์ โดยรับค่าของเครื่องหมายต่าง ๆ ที่ส่วนท้าย หายไปที่จุดภายในบางส่วนของเซ็กเมนต์
- (การมีอยู่ของกำลัง เลขชี้กำลัง ลอการิทึม และฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดตลอดขอบเขตคำจำกัดความ "ธรรมชาติ")ยกตัวอย่างการพิสูจน์แล้วสำหรับทุก ๆ และทั้งหมด มีอยู่จริง นั่นคือคำตอบของสมการ . ซึ่งจะทำให้คุณสามารถกำหนดค่าของนิพจน์ได้ เพื่อเหตุผลทั้งหมด :
สุดท้ายนี้ ต้องขอบคุณอีกครั้งที่ความต่อเนื่องของเส้นจำนวนทำให้เราสามารถกำหนดค่าของนิพจน์ได้ แล้วโดยพลการ . ในทำนองเดียวกัน การใช้สมบัติของความต่อเนื่อง จะพิสูจน์การมีอยู่ของจำนวนได้ เพื่อสิ่งใดๆ .
ในช่วงเวลาประวัติศาสตร์อันยาวนาน นักคณิตศาสตร์ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทจากการวิเคราะห์ใน "จุดละเอียดอ่อน" ซึ่งหมายถึงการให้เหตุผลทางเรขาคณิต และบ่อยกว่านั้นคือการข้ามมันไปโดยสิ้นเชิง เนื่องจากเห็นได้ชัดเจน มีการใช้แนวคิดเรื่องความต่อเนื่องที่สำคัญทั้งหมดโดยไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจน เฉพาะในช่วงสามสุดท้ายของศตวรรษที่ 19 เท่านั้นที่นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน คาร์ล ไวเออร์สตราส ทำการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ โดยสร้างทฤษฎีที่เข้มงวดข้อแรกเกี่ยวกับจำนวนจริงที่เป็นเศษส่วนทศนิยมอนันต์ เขาเสนอคำจำกัดความคลาสสิกของขีดจำกัดในภาษา พิสูจน์ข้อความจำนวนหนึ่งที่ถือว่า "ชัดเจน" ต่อหน้าเขาและด้วยเหตุนี้การสร้างรากฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์จึงเสร็จสิ้น
ต่อมามีการเสนอแนวทางอื่นในการกำหนดจำนวนจริง ในแนวทางสัจพจน์ ความต่อเนื่องของจำนวนจริงถูกเน้นไว้อย่างชัดเจนว่าเป็นสัจพจน์ที่แยกจากกัน ในแนวทางเชิงสร้างสรรค์ของทฤษฎีจำนวนจริง เช่น เมื่อสร้างจำนวนจริงโดยใช้ส่วนของ Dedekind คุณสมบัติของความต่อเนื่อง (ในสูตรหนึ่งหรืออีกสูตรหนึ่ง) ได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นทฤษฎีบท
สูตรอื่นของคุณสมบัติความต่อเนื่องและประโยคที่เทียบเท่า
มีข้อความหลายข้อความที่แสดงคุณสมบัติของความต่อเนื่องของจำนวนจริง หลักการแต่ละข้อเหล่านี้สามารถใช้เป็นพื้นฐานในการสร้างทฤษฎีจำนวนจริงให้เป็นสัจพจน์ของความต่อเนื่องได้ และหลักการอื่นๆ ทั้งหมดก็สามารถหาได้จากทฤษฎีดังกล่าว ปัญหานี้จะมีการกล่าวถึงโดยละเอียดเพิ่มเติมในส่วนถัดไป
ความต่อเนื่องตาม Dedekind
Dedekind พิจารณาคำถามเกี่ยวกับความต่อเนื่องของจำนวนจริงในงานของเขาเรื่อง "Continuity and Irrational Numbers" ในนั้นเขาเปรียบเทียบจำนวนตรรกยะกับจุดบนเส้นตรง ดังที่ทราบกันดีว่าสามารถสร้างการติดต่อระหว่างจำนวนตรรกยะและจุดบนเส้นได้เมื่อเลือกจุดเริ่มต้นและหน่วยการวัดของเซ็กเมนต์บนเส้น การใช้หลังกับจำนวนตรรกยะแต่ละตัว สร้างส่วนที่เกี่ยวข้องและวางไว้ทางขวาหรือซ้าย ขึ้นอยู่กับว่ามีหรือไม่ จำนวนบวกหรือลบจะได้แต้ม ตรงกับจำนวน . ดังนั้น สำหรับจำนวนตรรกยะทุกจำนวน หนึ่งเดียวเท่านั้นที่ตรงกัน บนเส้นตรง
ปรากฎว่ามีจุดบนเส้นตรงจำนวนอนันต์ที่ไม่ตรงกับจำนวนตรรกยะใดๆ ตัวอย่างเช่น จุดที่ได้จากการวางแผนความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนส่วนของหน่วย ดังนั้นขอบเขตของจำนวนตรรกยะจึงไม่มีค่านั้น ความสมบูรณ์, หรือ ความต่อเนื่องซึ่งมีอยู่ในเส้นตรง
เพื่อค้นหาว่าความต่อเนื่องนี้ประกอบด้วยอะไรบ้าง Dedekind กล่าวข้อสังเกตต่อไปนี้ ถ้า มีจุดใดจุดหนึ่งบนเส้น จากนั้นทุกจุดบนเส้นจะแบ่งออกเป็นสองชั้น: จุดที่ตั้งอยู่ทางด้านซ้าย และจุดที่อยู่ทางด้านขวา . จุดเดียวกันเลย สามารถกำหนดให้กับชั้นล่างหรือชั้นบนได้ตามอำเภอใจ Dedekind มองเห็นสาระสำคัญของความต่อเนื่องในหลักการย้อนกลับ:
ในเชิงเรขาคณิต หลักการนี้ดูเหมือนชัดเจน แต่เราไม่สามารถพิสูจน์ได้ Dedekind เน้นย้ำว่าโดยพื้นฐานแล้ว หลักการนี้เป็นสมมุติฐาน ซึ่งแสดงถึงแก่นแท้ของทรัพย์สินทางตรงซึ่งเราเรียกว่าความต่อเนื่อง
ข้อเสนอนี้ยังเทียบเท่ากับหลักการความต่อเนื่องของ Dedekind อีกด้วย นอกจากนี้ ยังสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าข้อความของทฤษฎีบทระดับบนเป็นไปตามโดยตรงจากข้อความของทฤษฎีบทระดับล่าง และในทางกลับกัน (ดูด้านล่าง)
บทแทรกจำกัด (หลักการไฮน์-บอเรล)
บทปกจำกัด Lemma (ไฮน์ - โบเรล). ในระบบของช่วงเวลาใดๆ ที่ครอบคลุมเซกเมนต์ จะมีระบบย่อยที่มีขอบเขตจำกัดครอบคลุมเซ็กเมนต์นี้
บทแทรกจุดจำกัด (หลักการโบลซาโน-ไวเออร์สตราส)
บทแทรกจุดจำกัด (โบลซาโน่ - ไวเออร์สตราส) ชุดจำนวนจำกัดอนันต์ทุกชุดมีจุดจำกัดอย่างน้อยหนึ่งจุด
ความเท่าเทียมกันของประโยคแสดงความต่อเนื่องของเซตของจำนวนจริง
เรามาตั้งข้อสังเกตเบื้องต้นกัน ตามคำจำกัดความเชิงสัจพจน์ของจำนวนจริง เซตของจำนวนจริงเป็นไปตามสัจพจน์สามกลุ่ม กลุ่มแรกคือสัจพจน์ภาคสนาม กลุ่มที่สองแสดงข้อเท็จจริงที่ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นเซตที่มีลำดับเชิงเส้น และความสัมพันธ์ของลำดับสอดคล้องกับการดำเนินการพื้นฐานของสนาม ดังนั้น กลุ่มสัจพจน์กลุ่มแรกและกลุ่มที่สองจึงหมายความว่าเซตของจำนวนจริงแสดงถึงเขตข้อมูลที่เรียงลำดับ สัจพจน์กลุ่มที่สามประกอบด้วยสัจพจน์เดียว - สัจพจน์แห่งความต่อเนื่อง (หรือความสมบูรณ์)
เพื่อแสดงความเท่าเทียมกันของสูตรต่างๆ ของความต่อเนื่องของจำนวนจริง จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าหากข้อความใดข้อความหนึ่งเหล่านี้มีไว้สำหรับเขตข้อมูลที่เรียงลำดับ ความถูกต้องของข้อความอื่นๆ ทั้งหมดจะตามมาจากนี้
ทฤษฎีบท. อนุญาต - ชุดเรียงลำดับเชิงเส้นตามอำเภอใจ ข้อความต่อไปนี้เทียบเท่ากัน:
- เซตที่ไม่ว่างใดๆ ก็ตามที่มี และ เช่นนั้นสำหรับสององค์ประกอบใดๆ และ ความไม่เท่าเทียมกันถือ มีองค์ประกอบดังกล่าว นั่นสำหรับทุกคน และ มีความสัมพันธ์
- สำหรับส่วนใดส่วนหนึ่งใน มีองค์ประกอบที่สร้างส่วนนี้
- ชุดที่ไม่ว่างใดๆ ที่ผูกไว้ด้านบน มีอำนาจสูงสุด
- ชุดที่ไม่ว่างใดๆ ที่ล้อมรอบจากด้านล่าง มีจำนวนจำกัด
ดังที่เห็นได้จากทฤษฎีบทนี้ ประโยคทั้งสี่นี้ใช้เฉพาะสิ่งที่เป็นเท่านั้น มีการแนะนำความสัมพันธ์ลำดับเชิงเส้นและไม่ได้ใช้โครงสร้างฟิลด์ ดังนั้นแต่ละคนจึงแสดงออกถึงคุณสมบัติ เป็นชุดที่เรียงลำดับเชิงเส้น คุณสมบัตินี้ (ของเซตที่เรียงลำดับเชิงเส้นตามใจชอบ ไม่จำเป็นต้องเป็นเซตของจำนวนจริง) จะถูกเรียก ความต่อเนื่องหรือความสมบูรณ์ตาม Dedekind.
การพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของประโยคอื่นๆ จำเป็นต้องมีโครงสร้างสนามอยู่แล้ว
ทฤษฎีบท. อนุญาต - ฟิลด์สั่งโดยพลการ ประโยคต่อไปนี้เทียบเท่า:
- (เป็นชุดที่เรียงลำดับเชิงเส้น) Dedekind เสร็จสมบูรณ์
- สำหรับ บรรลุหลักการของอาร์คิมีดีสและ หลักการของส่วนที่ซ้อนกัน
- สำหรับ หลักการของไฮเนอ-บอเรลสำเร็จแล้ว
- สำหรับ หลักการโบลซาโน-ไวเออร์สตราสบรรลุผลสำเร็จ
ความคิดเห็น ดังที่เห็นได้จากทฤษฎีบท หลักการของส่วนที่ซ้อนกันนั่นเอง ไม่เทียบเท่าหลักการของความต่อเนื่องของ Dedekind จากหลักการความต่อเนื่องของ Dedekind หลักการของส่วนที่ซ้อนกันจะตามมา แต่สำหรับการสนทนากลับจำเป็นต้องกำหนดเพิ่มเติมว่าฟิลด์ที่เรียงลำดับ พอใจสัจพจน์ของอาร์คิมีดีส
การพิสูจน์ทฤษฎีบทข้างต้นสามารถพบได้ในหนังสือจากรายการอ้างอิงด้านล่าง
เขียนบทวิจารณ์เกี่ยวกับบทความ "ความต่อเนื่องของเซตของจำนวนจริง"
หมายเหตุ
วรรณกรรม
- Kudryavtsev, L.D.หลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ฉบับที่ 5 - อ.: “โดรฟา”, 2546. - ต. 1. - 704 หน้า - ไอ 5-7107-4119-1.
- ฟิคเทนโกลท์ส, จี. เอ็ม.พื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ฉบับที่ 7 - อ.: “FIZMATLIT”, 2545. - ต. 1. - 416 หน้า - ไอ 5-9221-0196-X.
- เดเดไคนด์, อาร์.= Stetigkeit และ Zahlen ไร้เหตุผล - ฉบับแก้ไขครั้งที่ 4 - โอเดสซา: คณิตศาสตร์ 2466 - 44 น.
- โซริช, วี.เอ.การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ส่วนที่ 1 - เอ็ด แก้ไขครั้งที่ 4 - อ.: "MCNMO", 2545. - 657 น. - ไอ 5-94057-056-9.
- ความต่อเนื่องของฟังก์ชันและโดเมนตัวเลข: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Cantor - ฉบับที่ 3 - โนโวซีบีสค์: ANT, 2548 - 64 น.
ข้อความที่ตัดตอนมาจากความต่อเนื่องของเซตของจำนวนจริง
- นี่คือคนที่ฉันรู้สึกเสียใจ - ศักดิ์ศรีความเป็นมนุษย์ ความสงบในจิตสำนึก ความบริสุทธิ์ ไม่ใช่หลังและหน้าผาก ซึ่งไม่ว่าคุณจะโกนมากแค่ไหน โกนมากแค่ไหน ก็ยังคงเป็นหลังและหน้าผากเหมือนเดิม .“ไม่ ไม่ และไม่ใช่เป็นพันครั้ง ฉันจะไม่เห็นด้วยกับคุณ” ปิแอร์กล่าว
ในตอนเย็นเจ้าชาย Andrei และ Pierre ขึ้นรถม้าและขับรถไปที่ Bald Mountains เจ้าชายอังเดรมองไปที่ปิแอร์ทำลายความเงียบเป็นครั้งคราวด้วยสุนทรพจน์ที่พิสูจน์ว่าเขาอารมณ์ดี
เขาบอกเขาโดยชี้ไปที่ทุ่งนาเกี่ยวกับการปรับปรุงเศรษฐกิจของเขา
ปิแอร์เงียบอย่างเศร้าหมอง ตอบเป็นพยางค์เดียว และดูท่าจะจมอยู่กับความคิดของเขา
ปิแอร์คิดว่าเจ้าชายอังเดรไม่มีความสุข เข้าใจผิด ไม่รู้จักแสงสว่างที่แท้จริง และปิแอร์ควรเข้ามาช่วยเหลือ ให้ความกระจ่างแก่เขาและพยุงเขาขึ้น แต่ทันทีที่ปิแอร์รู้ว่าเขาจะพูดอะไรและอย่างไร เขาก็มีความคิดว่าเจ้าชายอังเดรเพียงคำเดียวการโต้แย้งเพียงครั้งเดียวจะทำลายทุกสิ่งในการสอนของเขาและเขากลัวที่จะเริ่มกลัวที่จะเปิดเผยศาลเจ้าอันเป็นที่รักของเขาไปสู่ความเป็นไปได้ ของการเยาะเย้ย
“ ไม่ ทำไมคุณถึงคิดแบบนั้น” จู่ๆ ปิแอร์ก็เริ่มก้มหน้าลงและทำท่าเหมือนวัวกระทิง ทำไมคุณถึงคิดอย่างนั้น? คุณไม่ควรคิดแบบนั้น
- ฉันกำลังคิดอะไรอยู่? – เจ้าชายอังเดรถามด้วยความประหลาดใจ
– เกี่ยวกับชีวิตเกี่ยวกับจุดประสงค์ของบุคคล มันไม่สามารถเป็นได้ ฉันก็คิดแบบเดียวกันและมันช่วยฉันได้ คุณรู้อะไรไหม? ความสามัคคี ไม่ อย่ายิ้มนะ ฟรีเมสันไม่ใช่ศาสนา ไม่ใช่นิกายพิธีกรรมอย่างที่ฉันคิด แต่ฟรีเมสันเป็นสิ่งที่ดีที่สุด เป็นเพียงการแสดงออกถึงด้านที่ดีที่สุดและเป็นนิรันดร์ของมนุษยชาติ - และเขาเริ่มอธิบายเรื่องฟรีเมสันให้เจ้าชายอันเดรย์ฟังตามที่เขาเข้าใจ
เขากล่าวว่าความสามัคคีเป็นคำสอนของศาสนาคริสต์ เป็นอิสระจากพันธนาการของรัฐและศาสนา คำสอนเรื่องความเสมอภาค ภราดรภาพ และความรัก
– ภราดรภาพอันศักดิ์สิทธิ์ของเราเท่านั้นที่มีความหมายที่แท้จริงในชีวิต “ทุกสิ่งทุกอย่างคือความฝัน” ปิแอร์กล่าว “เพื่อนของฉัน คุณเข้าใจไหมว่านอกเหนือจากสหภาพนี้ ทุกอย่างเต็มไปด้วยคำโกหกและความเท็จ และฉันเห็นด้วยกับคุณว่าคนที่ฉลาดและใจดีไม่มีทางเลือกอื่นนอกจากใช้ชีวิตของเขาเหมือนคุณ พยายามเพียงแต่ไม่เข้าไปยุ่งเกี่ยวกับ คนอื่น." แต่หลอมรวมความเชื่อพื้นฐานของเรา เข้าร่วมเป็นพี่น้องของเรา มอบตัวให้กับเรา ให้เรานำทางคุณ และตอนนี้คุณจะรู้สึกเหมือนกับฉันที่เป็นส่วนหนึ่งของห่วงโซ่อันใหญ่โตและมองไม่เห็นนี้ ซึ่งจุดเริ่มต้นถูกซ่อนอยู่ในสวรรค์” กล่าว ปิแอร์.
เจ้าชายอันเดรย์มองไปข้างหน้าอย่างเงียบ ๆ ฟังคำพูดของปิแอร์ หลายครั้งเขาไม่ได้ยินเสียงของผู้เดินทอดน่องเขาจึงพูดซ้ำคำพูดที่ไม่เคยได้ยินจากปิแอร์ ด้วยประกายพิเศษที่ส่องสว่างในดวงตาของเจ้าชาย Andrei และด้วยความเงียบของเขาปิแอร์เห็นว่าคำพูดของเขาไม่ได้ไร้ประโยชน์เจ้าชาย Andrei จะไม่ขัดจังหวะเขาและจะไม่หัวเราะกับคำพูดของเขา
พวกเขามาถึงแม่น้ำที่มีน้ำท่วมซึ่งต้องข้ามโดยเรือเฟอร์รี่ ขณะที่กำลังติดตั้งรถม้าและม้า พวกเขาก็ไปที่เรือข้ามฟาก
เจ้าชาย Andrei พิงราวบันไดมองดูน้ำท่วมที่ส่องประกายจากพระอาทิตย์ตกอย่างเงียบ ๆ
- แล้วคุณคิดอย่างไรเกี่ยวกับเรื่องนี้? - ถามปิแอร์ - ทำไมคุณถึงเงียบ?
- ฉันคิดอะไร? ฉันฟังคุณ “มันเป็นเรื่องจริง” เจ้าชายอังเดรกล่าว “แต่คุณพูดว่า: เข้าร่วมภราดรภาพของเราแล้วเราจะแสดงให้คุณเห็นจุดประสงค์ของชีวิตและจุดประสงค์ของมนุษย์และกฎหมายที่ควบคุมโลก” พวกเราเป็นใคร? ทำไมคุณถึงรู้ทุกอย่าง? ทำไมฉันถึงเป็นคนเดียวที่ไม่เห็นสิ่งที่คุณเห็น? คุณเห็นอาณาจักรแห่งความดีและความจริงบนโลก แต่ฉันไม่เห็น
ปิแอร์ขัดจังหวะเขา – คุณเชื่อเรื่องชีวิตในอนาคตหรือไม่? - เขาถาม.
- สู่ชีวิตในอนาคต? – เจ้าชาย Andrei พูดซ้ำ แต่ปิแอร์ไม่ได้ให้เวลาเขาตอบและถือว่าการกล่าวซ้ำนี้เป็นการปฏิเสธ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเขารู้ความเชื่อที่ไม่เชื่อว่าไม่มีพระเจ้าก่อนหน้านี้ของเจ้าชาย Andrei
– คุณบอกว่าคุณไม่สามารถมองเห็นอาณาจักรแห่งความดีและความจริงบนโลกได้ และฉันไม่เห็นเขาและเขาก็ไม่สามารถมองเห็นได้ถ้าเรามองว่าชีวิตของเราเป็นจุดสิ้นสุดของทุกสิ่ง บนโลกนี้บนโลกนี้อย่างแม่นยำ (ปิแอร์ชี้ไปในสนาม) ไม่มีความจริง - ทุกสิ่งเป็นเรื่องโกหกและความชั่วร้าย แต่ในโลก ทั่วทั้งโลก มีอาณาจักรแห่งความจริง และบัดนี้เราเป็นลูกหลานของแผ่นดินโลก และเป็นลูกหลานของทั้งโลกตลอดไป ฉันไม่รู้สึกในจิตวิญญาณของฉันว่าฉันเป็นส่วนหนึ่งของสิ่งที่ยิ่งใหญ่และกลมกลืนนี้ ฉันไม่รู้สึกหรือว่าฉันอยู่ในสิ่งมีชีวิตจำนวนนับไม่ถ้วนที่ซึ่งความเป็นพระเจ้าได้ปรากฏ - พลังสูงสุดตามที่คุณต้องการ - ที่ฉันประกอบขึ้นเป็นลิงค์เดียวหนึ่งก้าวจากสิ่งมีชีวิตที่ต่ำกว่าไปสู่สิ่งมีชีวิตที่สูงกว่า ถ้าฉันมองเห็น ย่อมเห็นบันไดที่ทอดจากต้นไม้ไปสู่คนอย่างชัดเจน แล้วเหตุใดฉันจึงคิดว่าบันไดนี้หักกับฉัน และไม่นำไปสู่ต่อไปอีก ฉันรู้สึกว่าไม่เพียงแต่ฉันไม่สามารถหายไปได้ เช่นเดียวกับไม่มีอะไรหายไปในโลก แต่ว่าฉันจะเป็นและตลอดไป ฉันรู้สึกว่านอกจากฉันแล้วยังมีวิญญาณอาศัยอยู่เหนือฉันและมีความจริงในโลกนี้
“ใช่ นี่คือคำสอนของ Herder” เจ้าชาย Andrei กล่าว “แต่จิตวิญญาณของฉัน ไม่ใช่สิ่งที่ทำให้ฉันมั่นใจ แต่เป็นชีวิตและความตาย นั่นคือสิ่งที่ทำให้ฉันเชื่อมั่น” สิ่งที่น่าเชื่อคือคุณเห็นสิ่งมีชีวิตที่เป็นที่รักซึ่งเชื่อมโยงกับคุณซึ่งคุณมีความผิดและหวังว่าจะพิสูจน์ตัวเองก่อน (เสียงของเจ้าชาย Andrei สั่นเทาและหันเหไป) และทันใดนั้นสิ่งมีชีวิตนี้ก็ทนทุกข์ทรมานถูกทรมานและหมดสิ้นไป ... ทำไม? ไม่อาจเป็นไปได้ว่าไม่มีคำตอบ! และฉันเชื่อว่าเขาคือ... นั่นคือสิ่งที่โน้มน้าวใจ นั่นคือสิ่งที่ทำให้ฉันเชื่อ” เจ้าชายอังเดรกล่าว
“ ใช่แล้ว” ปิแอร์พูด“ นั่นไม่ใช่สิ่งที่ฉันพูด!”
- เลขที่. ฉันแค่บอกว่าไม่ใช่ข้อโต้แย้งที่ทำให้คุณมั่นใจถึงความจำเป็นสำหรับชีวิตในอนาคต แต่เมื่อคุณเดินเข้ามาในชีวิตจับมือกับคนๆ หนึ่ง และทันใดนั้น คนๆ นี้ก็หายตัวไปที่นั่นอย่างไม่มีที่ไหนเลย และคุณก็หยุดอยู่ตรงหน้า เหวนี้และมองเข้าไปในนั้น และฉันก็มอง...
- ดีละถ้าอย่างนั้น! คุณรู้ไหมว่ามีอะไรอยู่และมีคนอยู่? มีชีวิตในอนาคตที่นั่น บางคนคือพระเจ้า
เจ้าชายอังเดรไม่ตอบ รถม้าและม้าถูกพาไปอีกฟากหนึ่งมานานแล้วและได้วางลงแล้ว และดวงอาทิตย์ก็หายไปครึ่งทางแล้ว และตอนเย็นน้ำค้างแข็งก็ปกคลุมแอ่งน้ำใกล้เรือข้ามฟากพร้อมดวงดาวและปิแอร์และอันเดรย์ก็ทำให้ประหลาดใจ ทหารราบ โค้ช และเรือบรรทุกเครื่องบิน ยังคงยืนอยู่บนเรือเฟอร์รีและพูดคุยกัน
– หากมีพระเจ้าและมีชีวิตในอนาคต ก็มีความจริง ก็มีคุณธรรม และความสุขสูงสุดของมนุษย์ประกอบด้วยความพยายามที่จะบรรลุเป้าหมายนั้น เราต้องมีชีวิตอยู่ เราต้องรัก เราต้องเชื่อ ปิแอร์กล่าว ว่าเราไม่ได้มีชีวิตอยู่เพียงบนผืนดินนี้เท่านั้น แต่มีชีวิตอยู่และจะมีชีวิตอยู่ตลอดไปในทุกสิ่งที่นั่น (เขาชี้ขึ้นไปบนฟ้า) เจ้าชายอันเดรย์ยืนด้วยข้อศอกบนราวบันไดเรือเฟอร์รี่และฟังปิแอร์โดยไม่ละสายตามองดูเงาสะท้อนสีแดงของดวงอาทิตย์บนน้ำท่วมสีน้ำเงิน ปิแอร์เงียบไป มันเงียบสนิท เรือเฟอร์รี่ลงจอดเมื่อนานมาแล้ว และมีเพียงคลื่นกระแสน้ำเท่านั้นที่กระทบก้นเรือเฟอร์รี่ด้วยเสียงแผ่วเบา สำหรับเจ้าชาย Andrei ดูเหมือนว่าคลื่นที่ซัดสาดนี้พูดกับคำพูดของปิแอร์: "จริงเชื่อเถอะ"
เจ้าชายอังเดรถอนหายใจและจ้องมองอย่างอ่อนโยนเหมือนเด็กและสดใสมองดูใบหน้าที่แดงก่ำกระตือรือร้น แต่ขี้อายของปิแอร์ต่อหน้าเพื่อนที่เหนือกว่าของเขา
- ใช่ ถ้าเป็นเช่นนั้น! - เขาพูดว่า. “ อย่างไรก็ตาม ไปนั่งกันดีกว่า” เจ้าชาย Andrei กล่าวเสริม และเมื่อเขาลงจากเรือเฟอร์รี่ เขามองดูท้องฟ้าที่ปิแอร์ชี้ให้เขาเห็น และเป็นครั้งแรกหลังจาก Austerlitz เขาเห็นท้องฟ้าอันสูงส่งนิรันดร์นั้น เขาได้เห็นนอนอยู่บนทุ่งแห่ง Austerlitz และบางสิ่งที่หลับใหลไปนาน ซึ่งเป็นสิ่งที่ดีที่สุดในตัวเขา จู่ๆ ก็ตื่นขึ้นมาอย่างสนุกสนานและอ่อนเยาว์ในจิตวิญญาณของเขา ความรู้สึกนี้หายไปทันทีที่เจ้าชายอังเดรกลับสู่สภาพปกติของชีวิต แต่เขารู้ว่าความรู้สึกนี้ซึ่งเขาไม่รู้ว่าจะพัฒนาอย่างไรนั้นอาศัยอยู่ในตัวเขา การพบกับปิแอร์มีไว้สำหรับเจ้าชาย Andrei ในยุคที่แม้ว่ารูปร่างหน้าตาจะเหมือนกัน แต่ในโลกภายในชีวิตใหม่ของเขาก็เริ่มต้นขึ้น
มันมืดแล้วเมื่อเจ้าชาย Andrei และปิแอร์มาถึงทางเข้าหลักของบ้าน Lysogorsk ขณะที่พวกเขากำลังเข้าใกล้เจ้าชาย Andrey ด้วยรอยยิ้มดึงความสนใจของปิแอร์ไปที่ความวุ่นวายที่เกิดขึ้นที่ระเบียงด้านหลัง หญิงชราก้มตัวสะพายเป้กับชายร่างเตี้ยในชุดคลุมสีดำผมยาวเห็นรถม้าแล่นเข้ามาจึงรีบวิ่งกลับออกไปทางประตู ผู้หญิงสองคนวิ่งตามพวกเขาไป และทั้งสี่หันกลับมามองรถเข็นเด็กแล้ววิ่งไปที่ระเบียงด้านหลังด้วยความกลัว
“นี่คือเครื่องจักรของพระเจ้า” เจ้าชายอังเดรกล่าว “พวกเขารับเราเป็นพ่อของพวกเขา” และนี่เป็นสิ่งเดียวที่เธอไม่เชื่อฟังเขา: เขาสั่งให้ขับไล่คนพเนจรเหล่านี้ออกไปและเธอก็ยอมรับพวกเขา
- ประชากรของพระเจ้าคืออะไร? ถามปิแอร์
เจ้าชายอังเดรไม่มีเวลาตอบเขา คนรับใช้ออกมาพบเขา และเขาถามว่าเจ้าชายชราอยู่ที่ไหน และพวกเขาจะรอเขาเร็วๆ นี้หรือไม่
เจ้าชายชรายังอยู่ในเมืองและพวกเขาก็รอเขาอยู่ทุกนาที
เจ้าชายอังเดรพาปิแอร์ไปที่ครึ่งหนึ่งซึ่งรอเขาอยู่ในบ้านพ่อของเขาตามลำดับอย่างสมบูรณ์แบบและตัวเขาเองก็ไปที่เรือนเพาะชำ
“ ไปหาน้องสาวของฉันกันเถอะ” เจ้าชายอังเดรพูดแล้วกลับไปหาปิแอร์ - ฉันยังไม่ได้เห็นเธอ ตอนนี้เธอกำลังซ่อนตัวและนั่งอยู่กับประชากรของพระเจ้าของเธอ รับใช้เธออย่างถูกต้อง เธอจะอับอาย และคุณจะเห็นคนของพระเจ้า C "est curieux, ma parole. [นี่น่าสนใจจริงๆ]
– Qu"est ce que c"est que [อะไร] คนของพระเจ้า? - ถามปิแอร์
- แต่คุณจะเห็น.
เจ้าหญิงแมรียารู้สึกเขินอายมากและหน้าแดงเมื่อมาถึงเธอ ในห้องอันอบอุ่นสบายของเธอซึ่งมีโคมไฟอยู่หน้ากล่องไอคอน บนโซฟา ที่กาโลหะ นั่งอยู่ข้างๆ เธอ เด็กหนุ่มที่มีจมูกยาวและผมยาว และในชุดคลุมสงฆ์
บนเก้าอี้ใกล้ ๆ มีหญิงชราร่างผอมมีรอยย่นนั่งด้วยสีหน้าอ่อนโยนบนใบหน้าแบบเด็ก ๆ
“ Andre, pourquoi ne pas m"avoir prevenu? [Andrei ทำไมคุณไม่เตือนฉัน?]” เธอพูดด้วยความตำหนิอย่างอ่อนโยนยืนอยู่ต่อหน้าผู้พเนจรของเธอเหมือนไก่อยู่หน้าไก่ของเธอ
– ชาร์มี เดอ วูร์ วัวร์ Je suis tres contente de vous voir, [ดีใจมากที่ได้พบคุณ] “ฉันดีใจมากที่ได้พบคุณ” เธอพูดกับปิแอร์ขณะที่เขาจูบมือเธอ เธอรู้จักเขาตั้งแต่ยังเป็นเด็ก และตอนนี้มิตรภาพของเขากับอังเดร ความโชคร้ายของเขากับภรรยาของเขา และที่สำคัญที่สุด ใบหน้าที่ใจดีและเรียบง่ายของเขาทำให้เขาเป็นที่รักของเขา เธอมองเขาด้วยดวงตาที่สวยงามและเปล่งประกายของเธอและดูเหมือนจะพูดว่า:“ ฉันรักคุณมาก แต่โปรดอย่าหัวเราะเยาะฉันเลย” หลังจากทักทายประโยคแรกกันแล้วพวกเขาก็นั่งลง
“ โอ้และ Ivanushka อยู่ที่นี่” เจ้าชาย Andrei กล่าวพร้อมชี้ไปที่ผู้พเนจรหนุ่มด้วยรอยยิ้ม
– อังเดร! - เจ้าหญิงมารีอากล่าวอย่างอ้อนวอน
“Il faut que vous sachiez que c"est une femme [รู้ว่านี่คือผู้หญิง" Andrei พูดกับปิแอร์
– อังเดร โอ นอม เดอ ดีเยอ! [อันเดรย์ เพื่อเห็นแก่พระเจ้า!] – เจ้าหญิงมารียาพูดซ้ำ
เห็นได้ชัดว่าทัศนคติที่เยาะเย้ยของเจ้าชาย Andrei ที่มีต่อผู้พเนจรและการวิงวอนที่ไร้ประโยชน์ของ Princess Mary ในนามของพวกเขานั้นคุ้นเคยและสร้างขึ้นในความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขา
“Mais, ma bonne amie” เจ้าชาย Andrei กล่าว “vous devriez au contraire m"etre reconaissante de ce que j" อธิบายผู้ลงคะแนนเสียงของ Pierre อย่างใกล้ชิด avec ce jeune homme... [แต่เพื่อนของฉัน คุณควรจะขอบคุณฉัน ที่ฉันอธิบายให้ปิแอร์ฟังว่าคุณสนิทกับชายหนุ่มคนนี้มากแค่ไหน]
- ไวราเมนท์? [จริงเหรอ?] - ปิแอร์พูดอย่างอยากรู้อยากเห็นและจริงจัง (ซึ่งเจ้าหญิงมารียารู้สึกขอบคุณเขาเป็นพิเศษ) โดยมองผ่านแว่นตาของเขาไปที่ใบหน้าของอิวานัชกาซึ่งเมื่อรู้ว่าพวกเขากำลังพูดถึงเขาจึงมองทุกคนด้วยสายตาเจ้าเล่ห์
เจ้าหญิงแมรียาไร้ประโยชน์อย่างยิ่งที่ต้องอับอายเพื่อคนของเธอเอง พวกเขาไม่ได้ขี้อายเลย หญิงชราก้มหน้าก้มตาแต่มองไปทางผู้ที่เข้ามา พลิกถ้วยคว่ำลงบนจานรอง วางน้ำตาลที่กัดไว้ข้าง ๆ นั่งนิ่งเงียบบนเก้าอี้ รอรับน้ำชาเพิ่ม . Ivanushka ดื่มจากจานรองมองดูคนหนุ่มสาวจากใต้คิ้วของเขาด้วยดวงตาเจ้าเล่ห์และเป็นผู้หญิง
– คุณอยู่ที่ไหนในเคียฟ? – เจ้าชายอันเดรย์ถามหญิงชรา
“เป็นเช่นนั้น ท่านพ่อ” หญิงชราตอบอย่างสุภาพ “ในวันคริสต์มาส ฉันได้รับเกียรติจากนักบุญให้บอกความลับอันศักดิ์สิทธิ์จากสวรรค์” และตอนนี้จาก Kolyazin พ่อพระคุณอันยิ่งใหญ่ได้เปิดออกแล้ว...
- แล้ว Ivanushka อยู่กับคุณไหม?
“ ฉันจะไปเองคนหาเลี้ยงครอบครัว” Ivanushka กล่าวพยายามพูดด้วยน้ำเสียงทุ้ม - เฉพาะใน Yukhnov เท่านั้นที่ Pelageyushka และฉันเข้ากันได้...
Pelagia ขัดจังหวะเพื่อนของเธอ เห็นได้ชัดว่าเธอต้องการบอกสิ่งที่เธอเห็น
- ใน Kolyazin พ่อมีการเปิดเผยพระคุณอันยิ่งใหญ่
- พระธาตุเป็นของใหม่หรือเปล่า? - ถามเจ้าชายอังเดร
“พอแล้ว Andrey” เจ้าหญิง Marya กล่าว - อย่าบอกฉัน Pelageyushka
“ไม่...คุณแม่พูดอะไร ทำไมไม่บอกฉันล่ะ” ฉันรักเขา. เขาใจดีได้รับการสนับสนุนจากพระเจ้าเขาผู้มีพระคุณให้รูเบิลแก่ฉันฉันจำได้ ฉันอยู่ในเคียฟได้อย่างไรและ Kiryusha คนโง่ผู้ศักดิ์สิทธิ์บอกฉัน - เป็นคนของพระเจ้าอย่างแท้จริงเขาเดินเท้าเปล่าในฤดูหนาวและฤดูร้อน เขาพูดทำไมคุณถึงเดินไม่ใช่ในสถานที่ของคุณไปที่ Kolyazin มีไอคอนมหัศจรรย์แม่ของ Theotokos ที่ศักดิ์สิทธิ์ที่สุดได้รับการเปิดเผยแล้ว จากถ้อยคำเหล่านั้น ข้าพเจ้าได้กล่าวคำอำลาวิสุทธิชนแล้วไป...
ทุกคนเงียบ ผู้พเนจรคนหนึ่งพูดด้วยเสียงที่วัดได้และลอยไปในอากาศ
- พ่อของฉันมาผู้คนมาหาฉันแล้วพูดว่า: พระคุณอันยิ่งใหญ่ได้ถูกเปิดเผยแก่แม่แล้ว พระมารดาศักดิ์สิทธิ์ของพระเจ้ามดยอบหยดลงมาจากแก้ม...
“เอาล่ะ โอเค คุณจะบอกฉันทีหลัง” เจ้าหญิงมารีอาพูดด้วยหน้าแดง
“ให้ฉันถามเธอ” ปิแอร์กล่าว - คุณเคยเห็นมันด้วยตัวเองบ้างไหม? - เขาถาม.
- ทำไมพ่อคุณเองก็ได้รับเกียรติ ใบหน้ามีความกระจ่างใสราวกับแสงสวรรค์ และจากแก้มแม่ก็หยดหยดลงมาเรื่อยๆ...
“ แต่นี่เป็นการหลอกลวง” ปิแอร์กล่าวอย่างไร้เดียงสาซึ่งฟังคนพเนจรอย่างตั้งใจ
- โอ้พ่อคุณกำลังพูดอะไร! - Pelageyushka พูดด้วยความสยดสยองหันไปหาเจ้าหญิง Marya เพื่อขอความคุ้มครอง
“พวกเขากำลังหลอกลวงประชาชน” เขากล่าวซ้ำ
- พระเจ้าพระเยซูคริสต์! - คนพเนจรพูดแล้วก้าวข้ามตัวเอง - โอ้อย่าบอกนะพ่อ ภิกษุผู้หนึ่งไม่เชื่อจึงกล่าวว่า “ภิกษุหลอกลวง” แล้วกล่าวก็ตาบอด และเขาฝันว่าแม่ Pechersk มาหาเขาแล้วพูดว่า: "เชื่อฉันเถอะฉันจะรักษาคุณ" เขาจึงเริ่มถามว่า: พาฉันไปและพาฉันไปหาเธอ ฉันกำลังบอกความจริงกับคุณฉันเห็นมันเอง พวกเขาพาเขาตาบอดมาหาเธอทันที เขาก็ขึ้นมาล้มลงแล้วพูดว่า: "รักษา! “เราจะให้คุณ” เขากล่าว “สิ่งที่กษัตริย์มอบให้กับคุณ” ฉันเห็นมันเองพ่อดวงดาวฝังอยู่ในนั้น ฉันได้รับสายตาของฉันแล้ว! เป็นบาปที่จะพูดอย่างนั้น “พระเจ้าจะลงโทษ” เธอพูดกับปิแอร์อย่างมีคำสั่ง
- ดาวจบลงในภาพได้อย่างไร? ถามปิแอร์
- คุณทำให้แม่ของคุณเป็นนายพลหรือไม่? - เจ้าชาย Andrei กล่าวพร้อมยิ้ม
ทันใดนั้น Pelagia ก็หน้าซีดและประสานมือของเธอไว้
- พ่อ พ่อ มันเป็นบาปสำหรับคุณ คุณมีลูกชาย! - เธอพูดแล้วเปลี่ยนจากสีซีดเป็นสีสดใส
- พ่อคุณพูดอะไร พระเจ้ายกโทษให้คุณ - เธอข้ามตัวเอง - พระเจ้ายกโทษให้เขา ท่านแม่ นี่มันอะไรคะ?...” เธอหันไปหาเจ้าหญิงมารีอา เธอลุกขึ้นยืนและเกือบจะร้องไห้และเริ่มเก็บกระเป๋าเงิน เห็นได้ชัดว่าเธอทั้งกลัวและละอายใจที่เธอได้รับผลประโยชน์ในบ้านที่พวกเขาสามารถพูดแบบนี้ได้ และมันก็น่าเสียดายที่ตอนนี้เธอต้องสูญเสียผลประโยชน์ของบ้านหลังนี้
- คุณต้องการการล่าสัตว์แบบไหน? - เจ้าหญิงมารีอากล่าว -คุณมาหาฉันทำไม...
“ ไม่ ฉันล้อเล่น Pelageyushka” ปิแอร์กล่าว - Princesse, ma parole, je n"ai pas voulu l"offenser, [เจ้าหญิง ฉันพูดถูก ฉันไม่อยากทำให้เธอขุ่นเคือง] ฉันแค่ทำอย่างนั้น อย่าคิดว่าฉันล้อเล่นนะ” เขาพูดพร้อมยิ้มอย่างขี้อายและอยากจะแก้ไข - สุดท้ายแล้ว ฉันเอง และเขาแค่ล้อเล่นเท่านั้น
Pelageyushka หยุดอย่างไม่เชื่อสายตา
คนพเนจรสงบลงและกลับมาพูดคุยกันเป็นเวลานานเกี่ยวกับคุณพ่อ Amphilochius ซึ่งเป็นนักบุญแห่งชีวิตที่มือของเขามีกลิ่นเหมือนฝ่ามือและวิธีที่พระสงฆ์ที่เธอรู้ในการเดินทางครั้งสุดท้ายไปเคียฟมอบให้เธอ กุญแจสู่ถ้ำและวิธีที่เธอนำแครกเกอร์ไปด้วยใช้เวลาสองวันในถ้ำกับธรรมิกชน “ฉันจะสวดภาวนาถึงคนหนึ่ง อ่าน และไปที่อีกคน ฉันจะเอาต้นสนไปฉันจะไปจูบอีกครั้ง และความเงียบเช่นนี้แม่ พระคุณที่คุณไม่ต้องการออกไปสู่แสงสว่างของพระเจ้าด้วยซ้ำ”
ปิแอร์ฟังเธออย่างระมัดระวังและจริงจัง เจ้าชายอังเดรออกจากห้อง และหลังจากที่เขาทิ้งประชากรของพระเจ้าเพื่อดื่มชาเสร็จ เจ้าหญิงมารียาก็พาปิแอร์เข้าไปในห้องนั่งเล่น
“คุณใจดีมาก” เธอบอกเขา
- โอ้ ฉันไม่คิดจะทำให้เธอขุ่นเคืองเลยจริงๆ ฉันเข้าใจและเห็นคุณค่าของความรู้สึกเหล่านี้เป็นอย่างมาก!
เจ้าหญิงมารีอามองดูเขาอย่างเงียบ ๆ และยิ้มอย่างอ่อนโยน “ฉันรู้จักคุณมานานแล้วและรักคุณเหมือนพี่ชาย” เธอกล่าว – คุณพบ Andrey ได้อย่างไร? - เธอถามอย่างเร่งรีบไม่ให้เวลาเขาพูดอะไรเพื่อตอบเธอ คำหวาน. - เขาเป็นห่วงฉันมาก สุขภาพของเขาดีขึ้นในฤดูหนาว แต่เมื่อฤดูใบไม้ผลิที่แล้ว แผลเปิด แพทย์บอกว่าควรไปรักษา และในทางศีลธรรมฉันกลัวเขามาก เขาไม่ใช่ตัวละครแบบที่ผู้หญิงอย่างเราต้องทนทุกข์และร้องไห้คร่ำครวญถึงความเศร้าโศกของเรา เขาแบกมันไว้ในตัวเขาเอง วันนี้เขาร่าเริงและมีชีวิตชีวา แต่มันเป็นการมาถึงของคุณที่ส่งผลต่อเขา: เขาไม่ค่อยเป็นแบบนี้ ถ้าเพียงแต่คุณสามารถชักชวนให้เขาไปต่างประเทศได้! เขาต้องการกิจกรรม และชีวิตที่ราบรื่นและเงียบสงบนี้กำลังทำลายเขา คนอื่นไม่สังเกตแต่ฉันเห็น
เมื่อเวลา 10 โมงบริกรก็รีบไปที่ระเบียง ได้ยินเสียงระฆังจากรถม้าของเจ้าชายชราใกล้เข้ามา เจ้าชายอังเดรและปิแอร์ก็ออกไปที่ระเบียงด้วย
- นี่คือใคร? - ถามเจ้าชายชราลงจากรถม้าแล้วเดาปิแอร์
– AI ดีใจมาก! “จูบ” เขาพูดเมื่อรู้ว่าชายหนุ่มที่ไม่คุ้นเคยคือใคร
เจ้าชายเฒ่ามีจิตใจดีและปฏิบัติต่อปิแอร์อย่างกรุณา
ก่อนอาหารค่ำ เจ้าชายอังเดรกลับมาที่ห้องทำงานของบิดา พบว่าเจ้าชายแก่ทะเลาะกับปิแอร์อย่างดุเดือด
ปิแอร์แย้งว่าถึงเวลาที่จะไม่มีสงครามอีกต่อไป เจ้าชายเฒ่าล้อเล่นแต่ไม่โกรธท้าทายเขา
- ปล่อยให้เลือดไหลออกมา เทน้ำลงไป จะไม่มีสงครามเกิดขึ้น “ เรื่องไร้สาระของผู้หญิง เรื่องไร้สาระของผู้หญิง” เขากล่าว แต่ยังคงตบไหล่ปิแอร์อย่างเสน่หาและเดินขึ้นไปที่โต๊ะซึ่งเจ้าชาย Andrei ดูเหมือนจะไม่ต้องการที่จะมีส่วนร่วมในการสนทนากำลังจัดเรียงเอกสารที่เจ้าชายนำมาจาก เมือง. เจ้าชายเฒ่าเข้ามาหาเขาและเริ่มพูดคุยเกี่ยวกับธุรกิจ
- ผู้นำ เคานต์รอสตอฟ ไม่ได้ส่งมอบคนครึ่งหนึ่ง ฉันมาที่เมืองตัดสินใจเชิญเขาไปทานอาหารเย็น - ฉันเลี้ยงอาหารเย็นให้เขา... แต่ดูนี่สิ... พี่ชาย - เจ้าชายนิโคไล Andreich หันไปหาลูกชายของเขาพร้อมตบไหล่ปิแอร์ - ทำได้ดีมากเพื่อนของคุณ ฉันรักเขา! ทำให้ฉันลุกเป็นไฟ อีกคนพูดเก่งแต่ฉันไม่อยากฟัง แต่เขาโกหกและทำให้ฉันรู้สึกโกรธเคืองคนแก่ ไปไป” เขาพูด“ บางทีฉันอาจจะมานั่งทานอาหารเย็นของคุณ” ฉันจะเถียงอีกครั้ง รักเจ้าหญิงมารียาผู้โง่เขลาของฉัน” เขาตะโกนเรียกปิแอร์จากประตู
ปิแอร์เพียงตอนนี้เท่านั้นเมื่อไปเยือนเทือกเขาบอลด์ชื่นชมความแข็งแกร่งและเสน่ห์ของมิตรภาพของเขากับเจ้าชายอังเดร เสน่ห์นี้ไม่ได้แสดงออกมามากนักในความสัมพันธ์ของเขากับตัวเอง แต่ในความสัมพันธ์ของเขากับญาติและเพื่อนทั้งหมดของเขา ปิแอร์กับเจ้าชายผู้เฒ่าผู้เคร่งครัดและเจ้าหญิงมารีอาผู้อ่อนโยนและขี้อายแม้ว่าเขาจะไม่รู้จักพวกเขาเลย แต่ก็รู้สึกเหมือนเป็นเพื่อนเก่าในทันที พวกเขาทุกคนรักเขาแล้ว ไม่เพียงแต่เจ้าหญิงมารียาเท่านั้นที่ติดสินบนด้วยทัศนคติที่อ่อนโยนต่อคนแปลกหน้าเท่านั้นที่มองเขาด้วยสายตาที่เจิดจ้าที่สุด แต่เจ้าชายนิโคไลวัย 1 ขวบตัวน้อยตามที่ปู่ของเขาเรียกเขายิ้มให้ปิแอร์และเดินเข้าไปในอ้อมแขนของเขา มิคาอิล อิวาโนวิช, M lle Bourienne มองเขาด้วยรอยยิ้มที่สนุกสนานขณะที่เขาพูดคุยกับเจ้าชายชรา
§ 7 . รากฐานของการวิเคราะห์ 4
ความสมบูรณ์ของเซตของจำนวนจริง
7.1. การแนะนำ.
คำนิยาม.ตามจำนวนจริง a เราหมายถึงคลาสที่เทียบเท่า a ของลำดับพื้นฐานของจำนวนตรรกยะ
คำนิยาม.พวงของ รคลาสความเท่าเทียมกันของลำดับพื้นฐานของจำนวนตรรกยะจะเรียกว่าเซตของจำนวนจริง
1) ลิม n = a Û " 0< eÎร$ โป เอ็น("ไม่มี เอ็น, n ³ p) Þ |a n - a| ปอนด์อี
2) ลำดับใด ๆ (a n) ที่มาบรรจบกันก็เป็นพื้นฐานเช่นกัน
" 0 < eÎร$ โป เอ็น((" ม. เอ็น, "ไม่มี เอ็น, m ³ p, n ³ p) Þ |a m - a n | ปอนด์อี)
เป็นเรื่องปกติที่จะพยายามนำขั้นตอนการแยกตัวประกอบไปใช้กับเซตของลำดับพื้นฐานของจำนวนจริง โดยการเปรียบเทียบกับ §6 เราจะไม่ได้ชุดของคลาสความเท่าเทียมกันของลำดับพื้นฐานของจำนวนจริงที่มีเซตนั้นอยู่หรือ รเป็นเซตย่อยของมันเองเหรอ?
ปรากฎว่าไม่
ในส่วนนี้ เราจะสร้างคุณสมบัติที่น่าทึ่ง: คุณสมบัติของความสมบูรณ์ของเซตของจำนวนจริง ซึ่งประกอบด้วยความจริงที่ว่าลำดับพื้นฐานใดๆ ของจำนวนจริงมาบรรจบกัน ร.
7.2. การประมาณจำนวนจริงด้วยเศษส่วนทศนิยม
คำนิยาม.ลำดับ (q n) ถูกผูกไว้ถ้า $ 0< MÎถามนั่น (" ไม่ใช่O เอ็น|q n | ปอนด์ล้าน)
ทฤษฎีบท 1. ลำดับพื้นฐานของจำนวนตรรกยะทุกลำดับมีขอบเขต
การพิสูจน์. กำหนดให้ (q n) เป็นลำดับพื้นฐานของจำนวนตรรกยะ ดังนั้น โดยอาศัยพื้นฐาน เพราะ e=1 จะมี pО ดังกล่าว เอ็น, อะไร:
$ โป ยังไม่มีข้อความ:((" m ³ p) Þ |q n -q m | 1 ปอนด์)
m = p -fix จากนั้น " n ³ p |q n | £ |q p | + 1
แท้จริงแล้ว: |q n | = |q n -q p +q p | £ |q n -q p | + |คิวพี | Þ |q n | £ 1 + |q p |.
สมมติว่า M = max (|q 1 |, |q 2 |, … , |q p-1 |, …, 1+|q p |) เราได้รับ: " nО เอ็น|q n | £ M.ð
ในข้อ 6.3 ความสัมพันธ์เอกนารี "เป็นบวก" ถูกระบุไว้ในชุด ตกลงที่จะเขียน ">0" จากนั้น ³ 0 Û (a > 0 หรือ a = 0)
ทฤษฎีบท 2 . ให้ลำดับพื้นฐาน (qn) ของจำนวนตรรกยะแทนจำนวนจริง a แล้ว:
ก) ($ p 1 О เอ็น, $MO ถาม("ไม่มี เอ็น, " n ³ p 1) Þ |q n | £ M) Þ a £ M
b) ($ p 2 О เอ็น, $mО ถาม("ไม่มี เอ็น, " n ³ p 2) Þ q n ³ m) Þ m £ a
การพิสูจน์.เนื่องจาก " n³p 1 q n -M £ 0 ดังนั้นลำดับพื้นฐาน q n -M - ความแตกต่างระหว่างลำดับพื้นฐาน (q n) และลำดับคงที่ M ไม่สามารถเป็นลำดับบวกได้เนื่องจากเป็นศูนย์หรือลบ
ดังนั้น จำนวนจริง (a-M) ที่แสดงโดยลำดับนี้จึงไม่สามารถเป็นบวกได้ กล่าวคือ a-M £ 0 เช่น £M.
ในทำนองเดียวกัน b) ถือว่า
ทฤษฎีบท 3
. ลำดับพื้นฐาน (q n) ของจำนวนตรรกยะแสดงถึงจำนวนจริง a ก็ต่อเมื่อหาก " 0
(q n)Îa Û " 0< eÎร$ โป เอ็น("ไม่มี เอ็น, n³p) Þ |q n -a| ปอนด์อี
การพิสูจน์.เราจะพิสูจน์ความจำเป็นเท่านั้น เห็นได้ชัดว่า "eО ร$ อี 1 โอ ถาม(อี 1 ปอนด์อี)
ให้ลำดับพื้นฐาน (qn) ของจำนวนตรรกยะเป็นตัวแทนของจำนวน a
ตามเงื่อนไขมันเป็นพื้นฐานนั่นคือ "0< eÎถาม$ โป เอ็น("ไม่มี ยังไม่มีข้อความ"ฉัน เอ็น, n³p, m³p) Þ |q n -q n | £e/2.
ให้เราแก้ไขn³p จากนั้นเราจะได้ลำดับพื้นฐาน (q m -q n): (q 1 -q n; q 2 -q n; ...; q n-1 -q n; 0; q n+1 -q n; .. .)
เงื่อนไขทั้งหมดของลำดับนี้สำหรับ m³p เป็นไปตามอสมการ: |q m -q n |£ e/2
ตามทฤษฎีบทที่ 2 จำนวนจริงแทนด้วยลำดับนี้ | a-q n | £e/2.
| a-q n | £ อี โอ ร"น³ป.
ทฤษฎีบท 4
. ไม่ว่าจำนวนจริง a จะเป็นจำนวนเต็มใดก็ตาม จะมีจำนวนเต็ม M เสมอ ซึ่งจะทำให้อสมการ M£a เป็นที่น่าพอใจ (" aÎ ร$! ม ซี(ล้านปอนด์< M+1)) การพิสูจน์. ขั้นตอนที่ 1 หลักฐานการดำรงอยู่ ให้ลำดับพื้นฐาน (q n) ของจำนวนตรรกยะแทนจำนวนจริง a: ((q n)Îa) โดยทฤษฎีบท 1, $ LО ซี 0เช่นนั้น "nО เอ็น q n ³-L, q n £L: (-L£ q n £L) โดยทฤษฎีบท 3 (q n)Îa Û " e>0, eО ร$ โป เอ็น: ((" ไม่ใช่ เอ็น, n³p) Þ ½q n -a½ £ e) จากนั้น " n³p ½a½=½a- qn + qn ½£½a- q n½+½ q n½£ e + L ½a½ £ e + L Û -L-e £ a £ L+e เพราะ e เป็นตัวเลขใดๆ >0 แล้ว –L £ a £ L หลังจากนั้นจะเห็นได้ชัดว่า -1-L<
a < L+1. จากนั้น ในกลุ่มจำนวนเต็มจำกัด: -L-1, -L, -L+1, ..., -1, 0, +1, ..., L, L+1 เราจะพบว่า อันดับแรกหมายเลข M+1 ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข a< M+1. จากนั้นหมายเลข M ไม่เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน M £ a< M+1,
т.е. такое число M существует. ขั้นตอนที่ 2 พิสูจน์เอกลักษณ์4 1
/
5 √ สัจพจน์ของจำนวนจริง ú บทนำ จำนวนจริง | มาทัน #001 | บอริส ทรูชิน + útหลักการของเซ็กเมนต์ที่ซ้อนกัน | มาตัน #003 | บอริส ทรูชิน! , , , หลักการต่างๆ ของความต่อเนื่อง | มาตัน #004 | บอริส ทรูชิน! √ สัจพจน์ของความต่อเนื่อง หลักการตัดแบบซ้อนของคันทอร์ ประโยคต่อไปนี้อาจเป็นสูตรที่ง่ายและสะดวกที่สุดสำหรับการประยุกต์คุณสมบัติความต่อเนื่องของจำนวนจริง ในการสร้างสัจพจน์ของทฤษฎีจำนวนจริง ข้อความนี้หรือสิ่งที่เทียบเท่าได้รวมอยู่ในสัจพจน์ของจำนวนจริงอย่างแน่นอน สัจพจน์ของความต่อเนื่อง (ความสมบูรณ์) A ⊂ R (\displaystyle A\subset \mathbb (R) )และ B ⊂ R (\displaystyle B\subset \mathbb (R) )และความไม่เท่าเทียมกันก็มีอยู่จริงจำนวนจริง ξ (\displaystyle \xi )นั่นสำหรับทุกคน a ∈ A (\displaystyle a\in A)และ b ∈ B (\รูปแบบการแสดงผล b\ใน B)มีความสัมพันธ์ ในเชิงเรขาคณิต หากเราถือว่าจำนวนจริงเป็นจุดบนเส้นตรง ข้อความนี้ดูเหมือนจะชัดเจน ถ้ามีสองชุด เอ (\displaystyle A)และ B (\รูปแบบการแสดงผล B)คือว่าบนเส้นจำนวน องค์ประกอบทั้งหมดของหนึ่งในนั้นอยู่ทางซ้ายขององค์ประกอบที่สองทั้งหมด แล้วจะมีตัวเลขอยู่ ξ (\displaystyle \xi ), การแบ่งสองชุดนี้ก็คือนอนอยู่ทางด้านขวาของธาตุทั้งหมด เอ (\displaystyle A)(ยกเว้นบางทีอาจจะมาก ξ (\displaystyle \xi )) และทางด้านซ้ายขององค์ประกอบทั้งหมด B (\รูปแบบการแสดงผล B)(ข้อจำกัดความรับผิดชอบเดียวกัน) ควรสังเกตไว้ที่นี่ว่าแม้จะมี "ความชัดเจน" ของคุณสมบัตินี้ แต่ก็ไม่เป็นความจริงเสมอไปสำหรับจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น พิจารณาสองชุด: จะเห็นได้ง่ายสำหรับองค์ประกอบใดๆ a ∈ A (\displaystyle a\in A)และ b ∈ B (\รูปแบบการแสดงผล b\ใน B)ความไม่เท่าเทียมกันถือ ก<
b
{\displaystyle a. อย่างไรก็ตาม มีเหตุผลตัวเลข ξ (\displaystyle \xi )ไม่มีการแยกสองชุดนี้ออก ที่จริงแล้วหมายเลขนี้สามารถเป็นได้เท่านั้น 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))แต่มันไม่สมเหตุสมผล ความหมายของสัจพจน์ของความต่อเนื่องก็คือหากไม่มีมัน การสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดก็เป็นไปไม่ได้ เพื่อแสดงให้เห็น เราได้นำเสนอการวิเคราะห์พื้นฐานหลายประการ ซึ่งการพิสูจน์จะขึ้นอยู่กับความต่อเนื่องของจำนวนจริง: A m / n = (a n) m (\displaystyle a^(m/n)=\left((\sqrt[(n)](a))\right)^(m)) สุดท้ายนี้ ต้องขอบคุณอีกครั้งที่ความต่อเนื่องของเส้นจำนวนทำให้เราสามารถกำหนดค่าของนิพจน์ได้ ax (\displaystyle a^(x))แล้วโดยพลการ x ∈ R (\displaystyle x\in \mathbb (R) ). ในทำนองเดียวกัน การใช้สมบัติของความต่อเนื่อง จะพิสูจน์การมีอยู่ของจำนวนได้ บันทึก a b (\displaystyle \log _(a)(b))เพื่อสิ่งใดๆ a , b > 0 , a ≠ 1 (\displaystyle a,b>0,a\neq 1).
ในช่วงเวลาประวัติศาสตร์อันยาวนาน นักคณิตศาสตร์ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทจากการวิเคราะห์ใน "จุดละเอียดอ่อน" ซึ่งหมายถึงการให้เหตุผลทางเรขาคณิต และบ่อยกว่านั้นคือการข้ามมันไปโดยสิ้นเชิง เนื่องจากเห็นได้ชัดเจน มีการใช้แนวคิดเรื่องความต่อเนื่องที่สำคัญทั้งหมดโดยไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจน เฉพาะในช่วงสามสุดท้ายของศตวรรษที่ 19 เท่านั้นที่นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน คาร์ล ไวเออร์สตราส ทำการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ โดยสร้างทฤษฎีที่เข้มงวดข้อแรกเกี่ยวกับจำนวนจริงที่เป็นเศษส่วนทศนิยมอนันต์ เขาเสนอคำจำกัดความคลาสสิกของขีดจำกัดในภาษา ε − δ (\displaystyle \varepsilon -\delta )พิสูจน์ข้อความจำนวนหนึ่งที่ถือว่า "ชัดเจน" ต่อหน้าเขาและด้วยเหตุนี้การสร้างรากฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์จึงเสร็จสิ้น ต่อมามีการเสนอแนวทางอื่นในการกำหนดจำนวนจริง ในแนวทางสัจพจน์ ความต่อเนื่องของจำนวนจริงถูกเน้นไว้อย่างชัดเจนว่าเป็นสัจพจน์ที่แยกจากกัน ในแนวทางเชิงสร้างสรรค์สำหรับทฤษฎีจำนวนจริง เช่น เมื่อสร้างจำนวนจริงโดยใช้ส่วนของ Dedekind คุณสมบัติของความต่อเนื่อง (ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง) ได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นทฤษฎีบท มีข้อความหลายข้อความที่แสดงคุณสมบัติของความต่อเนื่องของจำนวนจริง หลักการแต่ละข้อเหล่านี้สามารถใช้เป็นพื้นฐานในการสร้างทฤษฎีจำนวนจริงให้เป็นสัจพจน์ของความต่อเนื่องได้ และหลักการอื่นๆ ทั้งหมดก็สามารถหาได้จากทฤษฎีดังกล่าว ปัญหานี้จะมีการกล่าวถึงโดยละเอียดเพิ่มเติมในส่วนถัดไป Dedekind พิจารณาคำถามเกี่ยวกับความต่อเนื่องของจำนวนจริงในงานของเขาเรื่อง "ความต่อเนื่องและจำนวนอตรรกยะ" ในนั้นเขาเปรียบเทียบจำนวนตรรกยะกับจุดบนเส้นตรง ดังที่ทราบกันดีว่าสามารถสร้างการติดต่อระหว่างจำนวนตรรกยะและจุดบนเส้นได้เมื่อเลือกจุดเริ่มต้นและหน่วยการวัดของเซ็กเมนต์บนเส้น การใช้หลังกับจำนวนตรรกยะแต่ละตัว ก (\displaystyle ก)สร้างส่วนที่เกี่ยวข้องและวางไว้ทางขวาหรือซ้าย ขึ้นอยู่กับว่ามีหรือไม่ ก (\displaystyle ก)จำนวนบวกหรือลบจะได้แต้ม p (\displaystyle p)ตรงกับจำนวน ก (\displaystyle ก). ดังนั้น สำหรับจำนวนตรรกยะทุกจำนวน ก (\displaystyle ก)หนึ่งเดียวเท่านั้นที่ตรงกัน p (\displaystyle p)บนเส้นตรง ปรากฎว่ามีจุดบนเส้นตรงจำนวนอนันต์ที่ไม่ตรงกับจำนวนตรรกยะใดๆ ตัวอย่างเช่น จุดที่ได้จากการวางแผนความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนส่วนของหน่วย ดังนั้นขอบเขตของจำนวนตรรกยะจึงไม่มีค่านั้น ความสมบูรณ์, หรือ ความต่อเนื่องซึ่งมีอยู่ในเส้นตรง เพื่อค้นหาว่าความต่อเนื่องนี้ประกอบด้วยอะไรบ้าง Dedekind กล่าวข้อสังเกตต่อไปนี้ ถ้า p (\displaystyle p)มีจุดใดจุดหนึ่งบนเส้น จากนั้นทุกจุดบนเส้นจะแบ่งออกเป็นสองชั้น: จุดที่ตั้งอยู่ทางด้านซ้าย p (\displaystyle p)และจุดที่อยู่ทางด้านขวา p (\displaystyle p). จุดเดียวกันเลย p (\displaystyle p)สามารถกำหนดให้กับชั้นล่างหรือชั้นบนได้ตามอำเภอใจ Dedekind มองเห็นสาระสำคัญของความต่อเนื่องในหลักการย้อนกลับ: ในเชิงเรขาคณิต หลักการนี้ดูเหมือนชัดเจน แต่เราไม่สามารถพิสูจน์ได้ Dedekind เน้นย้ำว่าโดยพื้นฐานแล้ว หลักการนี้เป็นสมมุติฐาน ซึ่งแสดงถึงแก่นแท้ของทรัพย์สินทางตรงซึ่งเราเรียกว่าความต่อเนื่อง เพื่อให้เข้าใจสาระสำคัญของความต่อเนื่องของเส้นจำนวนในความหมายของ Dedekind ได้ดีขึ้น ให้พิจารณาส่วนใดส่วนหนึ่งของเซตของจำนวนจริง นั่นคือ การหารจำนวนจริงทั้งหมดออกเป็นสองชั้นที่ไม่ว่าง เพื่อให้ตัวเลขทั้งหมด ของชั้นหนึ่งอยู่บนเส้นจำนวนทางด้านซ้ายของจำนวนวินาทีทั้งหมด คลาสเหล่านี้ได้รับการตั้งชื่อตามนั้น ต่ำกว่าและ ชนชั้นสูงส่วนต่างๆ ตามทฤษฎีแล้ว มีความเป็นไปได้ 4 ประการ: ในกรณีแรกและที่สอง องค์ประกอบสูงสุดของด้านล่างหรือองค์ประกอบขั้นต่ำของด้านบนตามลำดับจะสร้างส่วนนี้ ในกรณีที่สามเรามี เผ่นและในช่วงที่สี่ - ช่องว่าง. ดังนั้น ความต่อเนื่องของเส้นจำนวนหมายความว่าในชุดของจำนวนจริงจะไม่มีการข้ามหรือช่องว่าง กล่าวคือ หากพูดเป็นรูปเป็นร่างแล้ว ไม่มีช่องว่าง ข้อเสนอนี้ยังเทียบเท่ากับหลักการความต่อเนื่องของ Dedekind อีกด้วย นอกจากนี้ ยังสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าข้อความของทฤษฎีบทระดับบนเป็นไปตามโดยตรงจากข้อความของทฤษฎีบทระดับล่าง และในทางกลับกัน (ดูด้านล่าง) บทปกจำกัด Lemma (ไฮน์ - โบเรล). ในระบบของช่วงเวลาใดๆ ที่ครอบคลุมเซกเมนต์ จะมีระบบย่อยที่มีขอบเขตจำกัดครอบคลุมเซ็กเมนต์นี้ บทแทรกจุดจำกัด (โบลซาโน่ - ไวเออร์สตราส) ชุดจำนวนจำกัดอนันต์ทุกชุดมีจุดจำกัดอย่างน้อยหนึ่งจุด. กลุ่มที่สองแสดงข้อเท็จจริงที่ว่าเซตของจำนวนจริงคือ และความสัมพันธ์เชิงลำดับสอดคล้องกับการดำเนินการพื้นฐานของสนาม ดังนั้น กลุ่มสัจพจน์กลุ่มแรกและกลุ่มที่สองจึงหมายความว่าเซตของจำนวนจริงแสดงถึงเขตข้อมูลที่เรียงลำดับ สัจพจน์กลุ่มที่สามประกอบด้วยสัจพจน์เดียว - สัจพจน์แห่งความต่อเนื่อง (หรือความสมบูรณ์) เพื่อแสดงความเท่าเทียมกันของสูตรต่างๆ ของความต่อเนื่องของจำนวนจริง จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าหากข้อความใดข้อความหนึ่งเหล่านี้มีไว้สำหรับเขตข้อมูลที่เรียงลำดับ ความถูกต้องของข้อความอื่นๆ ทั้งหมดจะตามมาจากนี้ ทฤษฎีบท. อนุญาต เป็นเซตที่เรียงลำดับเชิงเส้นตามอำเภอใจ ข้อความต่อไปนี้เทียบเท่ากัน: ดังที่เห็นได้จากทฤษฎีบทนี้ ประโยคทั้งสี่นี้ใช้เฉพาะสิ่งที่เป็นเท่านั้น R (\displaystyle (\mathsf (R)))มีการแนะนำความสัมพันธ์ลำดับเชิงเส้นและไม่ได้ใช้โครงสร้างฟิลด์ ดังนั้นแต่ละคนจึงแสดงออกถึงคุณสมบัติ R (\displaystyle (\mathsf (R)))เป็นชุดที่เรียงลำดับเชิงเส้น คุณสมบัตินี้ (ของเซตที่เรียงลำดับเชิงเส้นตามใจชอบ ไม่จำเป็นต้องเป็นเซตของจำนวนจริง) จะถูกเรียก ความต่อเนื่องหรือความสมบูรณ์ตาม Dedekind. การพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของประโยคอื่นๆ จำเป็นต้องมีโครงสร้างสนามอยู่แล้ว ทฤษฎีบท. อนุญาต R (\displaystyle (\mathsf (R)))- ฟิลด์สั่งโดยพลการ ประโยคต่อไปนี้เทียบเท่า: ความคิดเห็น ดังที่เห็นได้จากทฤษฎีบท หลักการของส่วนที่ซ้อนกันนั่นเอง ไม่เทียบเท่าหลักการของความต่อเนื่องของ Dedekind จากหลักการความต่อเนื่องของ Dedekind หลักการของส่วนที่ซ้อนกันจะตามมา แต่สำหรับการสนทนา จำเป็นต้องกำหนดให้ฟิลด์ที่เรียงลำดับเพิ่มเติม ความต่อเนื่องของจำนวนจริง- คุณสมบัติของระบบจำนวนจริงที่เซตของจำนวนตรรกยะไม่มี บางครั้งแทนที่จะพูดถึงความต่อเนื่อง ความสมบูรณ์ของระบบจำนวนจริง. คุณสมบัติความต่อเนื่องมีสูตรที่แตกต่างกันหลายสูตร ซึ่งสูตรที่มีชื่อเสียงที่สุดคือ: หลักการของเดเดคินด์เรื่องความต่อเนื่องของจำนวนจริง, หลักการช่วงซ้อนของ Cauchy-Cantor, ทฤษฎีบทสูงสุด. ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความที่ยอมรับของจำนวนจริง คุณสมบัติของความต่อเนื่องสามารถสันนิษฐานได้ว่าเป็นสัจพจน์ในสูตรหนึ่งหรืออีกสูตรหนึ่ง หรือพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทก็ได้ ประโยคต่อไปนี้อาจเป็นสูตรที่ง่ายและสะดวกที่สุดสำหรับการประยุกต์คุณสมบัติความต่อเนื่องของจำนวนจริง ในการสร้างสัจพจน์ของทฤษฎีจำนวนจริง ข้อความนี้หรือสิ่งที่เทียบเท่าจะรวมอยู่ในจำนวนสัจพจน์ของจำนวนจริงอย่างแน่นอน ภาพประกอบทางเรขาคณิตของสัจพจน์ของความต่อเนื่อง สัจพจน์ของความต่อเนื่อง (ความสมบูรณ์) ไม่ว่าเซตที่ไม่ว่างเปล่าจะเป็นเช่นไรสำหรับสององค์ประกอบใดๆ และอสมการที่มีอยู่ ก็จะมีตัวเลข ξ ในลักษณะที่ว่าสำหรับทั้งหมดและความสัมพันธ์จะคงอยู่ ในเชิงเรขาคณิต หากเราถือว่าจำนวนจริงเป็นจุดบนเส้นตรง ข้อความนี้ดูเหมือนจะชัดเจน ถ้ามีสองชุด กและ บีโดยที่บนเส้นจำนวน องค์ประกอบทั้งหมดของหนึ่งในนั้นอยู่ทางด้านซ้ายขององค์ประกอบทั้งหมดของวินาที จากนั้นจะมีตัวเลข ξ การแบ่งสองชุดนี้ก็คือนอนอยู่ทางด้านขวาของธาตุทั้งหมด ก(ยกเว้นบางที ξ ตัวมันเอง) และทางด้านซ้ายขององค์ประกอบทั้งหมด บี(ข้อจำกัดความรับผิดชอบเดียวกัน) ควรสังเกตไว้ที่นี่ว่าแม้จะมี "ความชัดเจน" ของคุณสมบัตินี้ แต่ก็ไม่เป็นความจริงเสมอไปสำหรับจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น พิจารณาสองชุด: จะเห็นได้ง่ายว่าองค์ประกอบใด ๆ และอสมการนั้น ก < ข. อย่างไรก็ตาม มีเหตุผลไม่มีตัวเลข ξ ที่แยกสองชุดนี้ออกจากกัน ที่จริงแล้ว จำนวนนี้สามารถเป็นได้เท่านั้น แต่มันไม่ใช่จำนวนตรรกยะ ความสำคัญของสัจพจน์ของความต่อเนื่องก็คือหากไม่มีการสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดก็เป็นไปไม่ได้ เพื่อแสดงให้เห็น เราได้นำเสนอการวิเคราะห์พื้นฐานหลายประการ ซึ่งการพิสูจน์จะขึ้นอยู่กับความต่อเนื่องของจำนวนจริง: สุดท้ายนี้ ต้องขอบคุณอีกครั้งที่ความต่อเนื่องของเส้นจำนวนทำให้เราสามารถกำหนดค่าของนิพจน์ได้ ก xแล้วโดยพลการ ในทำนองเดียวกัน การใช้คุณสมบัติของความต่อเนื่อง เราจะพิสูจน์การมีอยู่ของบันทึกตัวเลข ก ขสำหรับใด ๆ ในช่วงเวลาประวัติศาสตร์อันยาวนาน นักคณิตศาสตร์ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทจากการวิเคราะห์ใน "จุดละเอียดอ่อน" ซึ่งหมายถึงการให้เหตุผลทางเรขาคณิต และบ่อยครั้งที่ข้ามมันไปโดยสิ้นเชิงเพราะมันชัดเจน มีการใช้แนวคิดเรื่องความต่อเนื่องที่สำคัญทั้งหมดโดยไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจน เฉพาะในช่วงสามสุดท้ายของศตวรรษที่ 19 เท่านั้นที่นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน คาร์ล ไวเออร์สตราส ทำการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ โดยสร้างทฤษฎีที่เข้มงวดข้อแรกเกี่ยวกับจำนวนจริงที่เป็นเศษส่วนทศนิยมอนันต์ เขาเสนอคำจำกัดความคลาสสิกของขีดจำกัดในภาษา พิสูจน์ข้อความจำนวนหนึ่งที่ได้รับการพิจารณาว่า "ชัดเจน" ต่อหน้าเขา และด้วยเหตุนี้การสร้างรากฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์จึงเสร็จสิ้น ต่อมามีการเสนอแนวทางอื่นในการกำหนดจำนวนจริง ในแนวทางสัจพจน์ ความต่อเนื่องของจำนวนจริงถูกเน้นไว้อย่างชัดเจนว่าเป็นสัจพจน์ที่แยกจากกัน ในแนวทางเชิงสร้างสรรค์สำหรับทฤษฎีจำนวนจริง ตัวอย่างเช่น เมื่อสร้างจำนวนจริงโดยใช้ส่วนของ Dedekind คุณสมบัติของความต่อเนื่อง (ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง) จะได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นทฤษฎีบท มีข้อความหลายข้อความที่แสดงคุณสมบัติของความต่อเนื่องของจำนวนจริง หลักการแต่ละข้อเหล่านี้สามารถใช้เป็นพื้นฐานในการสร้างทฤษฎีจำนวนจริงให้เป็นสัจพจน์ของความต่อเนื่องได้ และหลักการอื่นๆ ทั้งหมดก็สามารถหาได้จากทฤษฎีดังกล่าว ปัญหานี้จะมีการกล่าวถึงโดยละเอียดเพิ่มเติมในส่วนถัดไป Dedekind พิจารณาคำถามเกี่ยวกับความต่อเนื่องของจำนวนจริงในงานของเขาเรื่อง "Continuity and Irrational Numbers" ในนั้นเขาเปรียบเทียบจำนวนตรรกยะกับจุดบนเส้นตรง ดังที่ทราบกันดีว่าสามารถสร้างการติดต่อระหว่างจำนวนตรรกยะและจุดบนเส้นได้เมื่อเลือกจุดเริ่มต้นและหน่วยการวัดของเซ็กเมนต์บนเส้น การใช้หลังกับจำนวนตรรกยะแต่ละตัว กสร้างส่วนที่เกี่ยวข้องและวางไว้ทางขวาหรือซ้าย ขึ้นอยู่กับว่ามีหรือไม่ กจำนวนบวกหรือลบจะได้แต้ม พีตรงกับจำนวน ก. ดังนั้น สำหรับจำนวนตรรกยะทุกจำนวน กหนึ่งเดียวเท่านั้นที่ตรงกัน พีบนเส้นตรง ปรากฎว่ามีจุดบนเส้นตรงจำนวนอนันต์ที่ไม่ตรงกับจำนวนตรรกยะใดๆ ตัวอย่างเช่น จุดที่ได้จากการวางแผนความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนส่วนของหน่วย ดังนั้นขอบเขตของจำนวนตรรกยะจึงไม่มีค่านั้น ความสมบูรณ์, หรือ ความต่อเนื่องซึ่งมีอยู่ในเส้นตรง เพื่อค้นหาว่าความต่อเนื่องนี้ประกอบด้วยอะไรบ้าง Dedekind กล่าวข้อสังเกตต่อไปนี้ ถ้า พีมีจุดใดจุดหนึ่งบนเส้น จากนั้นทุกจุดบนเส้นจะแบ่งออกเป็นสองชั้น: จุดที่ตั้งอยู่ทางด้านซ้าย พีและจุดที่อยู่ทางด้านขวา พี. จุดเดียวกันเลย พีสามารถกำหนดให้กับชั้นล่างหรือชั้นบนได้ตามอำเภอใจ Dedekind มองเห็นสาระสำคัญของความต่อเนื่องในหลักการย้อนกลับ: ในเชิงเรขาคณิต หลักการนี้ดูเหมือนชัดเจน แต่เราไม่สามารถพิสูจน์ได้ Dedekind เน้นย้ำว่าโดยพื้นฐานแล้ว หลักการนี้เป็นสมมุติฐานที่แสดงออกถึงแก่นแท้ของทรัพย์สินนั้นที่เกิดจากทางตรง ซึ่งเราเรียกว่าความต่อเนื่อง เพื่อให้เข้าใจสาระสำคัญของความต่อเนื่องของเส้นจำนวนในความหมายของ Dedekind ได้ดีขึ้น ให้พิจารณาส่วนใดส่วนหนึ่งของเซตของจำนวนจริง นั่นคือ การหารจำนวนจริงทั้งหมดออกเป็นสองชั้นที่ไม่ว่าง เพื่อให้ตัวเลขทั้งหมด ของชั้นหนึ่งอยู่บนเส้นจำนวนทางด้านซ้ายของจำนวนวินาทีทั้งหมด คลาสเหล่านี้ได้รับการตั้งชื่อตามนั้น ต่ำกว่าและ ชนชั้นสูงส่วนต่างๆ ตามทฤษฎีแล้ว มีความเป็นไปได้ 4 ประการ: ในกรณีแรกและที่สอง องค์ประกอบสูงสุดของด้านล่างหรือองค์ประกอบขั้นต่ำของด้านบนตามลำดับจะสร้างส่วนนี้ ในกรณีที่สามเรามี เผ่นและในช่วงที่สี่ - ช่องว่าง. ดังนั้น ความต่อเนื่องของเส้นจำนวนหมายความว่าในชุดของจำนวนจริงจะไม่มีการข้ามหรือช่องว่าง กล่าวคือ หากพูดเป็นรูปเป็นร่างแล้ว ไม่มีช่องว่าง หากเราแนะนำแนวคิดในส่วนของเซตของจำนวนจริง หลักการความต่อเนื่องของ Dedekind สามารถกำหนดได้ดังนี้ หลักการของความต่อเนื่องของ Dedekind (ความสมบูรณ์) สำหรับแต่ละส่วนของเซตของจำนวนจริง จะมีตัวเลขตัวหนึ่งที่สร้างส่วนนี้ ความคิดเห็น การกำหนดสัจพจน์ของความต่อเนื่องเกี่ยวกับการมีอยู่ของจุดที่แยกสองชุดนั้นชวนให้นึกถึงการกำหนดหลักการของความต่อเนื่องของ Dedekind ในความเป็นจริง ข้อความเหล่านี้เทียบเท่ากัน และเป็นสูตรที่แตกต่างกันโดยพื้นฐานจากสิ่งเดียวกัน ดังนั้นทั้งสองข้อความนี้จึงถูกเรียกว่า หลักการของเดเดคินด์เรื่องความต่อเนื่องของจำนวนจริง. บทแทรกบนส่วนที่ซ้อนกัน (คอชี่ - คันทอร์) ระบบใดๆ ของส่วนที่ซ้อนกัน มีจุดตัดที่ไม่ว่าง นั่นคือ มีตัวเลขอย่างน้อยหนึ่งตัวที่อยู่ในทุกส่วนของระบบที่กำหนด นอกจากนี้ หากความยาวของส่วนของระบบที่กำหนดมีแนวโน้มเป็นศูนย์ นั่นก็คือ ดังนั้นจุดตัดของระบบนี้จึงประกอบด้วยจุดเดียว คุณสมบัตินี้มีชื่อว่า ความต่อเนื่องของเซตของจำนวนจริงในความหมายของคันทอร์. ด้านล่างนี้เราจะแสดงให้เห็นว่าสำหรับฟิลด์ที่เรียงลำดับของ Archimedean ความต่อเนื่องตาม Cantor จะเทียบเท่ากับความต่อเนื่องตาม Dedekind หลักการอันสูงสุด. จำนวนจริงที่ไม่ว่างทุกชุดที่อยู่ด้านบนจะมีค่าสูงสุด ในหลักสูตรแคลคูลัส ข้อเสนอนี้มักจะเป็นทฤษฎีบทและการพิสูจน์ของมันจะใช้ประโยชน์จากความต่อเนื่องของเซตของจำนวนจริงในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง ในเวลาเดียวกัน ในทางกลับกัน เราสามารถสันนิษฐานได้ว่ามีการมีอยู่ของจุดสูงสุดสำหรับเซตที่ไม่ว่างเปล่าใดๆ ที่ขอบเขตด้านบน และอาศัยสิ่งนี้เพื่อพิสูจน์ เช่น หลักการของความต่อเนื่องตาม Dedekind ดังนั้น ทฤษฎีบทสุพรีมัมจึงเป็นหนึ่งในสูตรสมมูลที่เทียบเท่ากันของสมบัติความต่อเนื่องของจำนวนจริง ความคิดเห็น แทนที่จะมีอำนาจสูงสุด เราสามารถใช้แนวคิดคู่ของความไม่สำคัญได้ หลักการของความไม่มั่นคง ชุดจำนวนจริงที่ไม่ว่างทุกชุดที่ขอบเขตจากด้านล่างจะมีค่าไม่สิ้นสุด ข้อเสนอนี้ยังเทียบเท่ากับหลักการความต่อเนื่องของ Dedekind อีกด้วย นอกจากนี้ ยังสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าข้อความของทฤษฎีบทระดับบนเป็นไปตามโดยตรงจากข้อความของทฤษฎีบทระดับล่าง และในทางกลับกัน (ดูด้านล่าง) บทปกจำกัด Lemma (ไฮน์ - โบเรล). ในระบบของช่วงเวลาใดๆ ที่ครอบคลุมเซกเมนต์ จะมีระบบย่อยที่มีขอบเขตจำกัดครอบคลุมเซ็กเมนต์นี้ บทแทรกจุดจำกัด (โบลซาโน่ - ไวเออร์สตราส) ชุดจำนวนจำกัดอนันต์ทุกชุดมีจุดจำกัดอย่างน้อยหนึ่งจุด เรามาตั้งข้อสังเกตเบื้องต้นกัน ตามคำจำกัดความเชิงสัจพจน์ของจำนวนจริง เซตของจำนวนจริงเป็นไปตามสัจพจน์สามกลุ่ม กลุ่มแรกคือสัจพจน์ภาคสนาม กลุ่มที่สองแสดงข้อเท็จจริงที่ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นเซตที่มีลำดับเชิงเส้น และความสัมพันธ์ของลำดับสอดคล้องกับการดำเนินการพื้นฐานของสนาม ดังนั้น กลุ่มสัจพจน์กลุ่มแรกและกลุ่มที่สองจึงหมายความว่าเซตของจำนวนจริงแสดงถึงเขตข้อมูลที่เรียงลำดับ สัจพจน์กลุ่มที่สามประกอบด้วยสัจพจน์เดียว - สัจพจน์แห่งความต่อเนื่อง (หรือความสมบูรณ์) เพื่อแสดงความเท่าเทียมกันของสูตรต่างๆ ของความต่อเนื่องของจำนวนจริง จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าหากข้อความใดข้อความหนึ่งเหล่านี้มีไว้สำหรับเขตข้อมูลที่เรียงลำดับ ความถูกต้องของข้อความอื่นๆ ทั้งหมดจะตามมาจากนี้ ทฤษฎีบท. อนุญาต เป็นเซตที่เรียงลำดับเชิงเส้นตามอำเภอใจ ข้อความต่อไปนี้เทียบเท่ากัน: ดังที่เห็นได้จากทฤษฎีบทนี้ ประโยคทั้งสี่นี้ใช้เฉพาะข้อเท็จจริงที่ว่าความสัมพันธ์ลำดับเชิงเส้นถูกนำมาใช้เท่านั้น และไม่ใช้โครงสร้างของสนาม ดังนั้นแต่ละชุดจึงแสดงคุณสมบัติของเซตที่มีการเรียงลำดับเชิงเส้น คุณสมบัตินี้ (ของเซตที่เรียงลำดับเชิงเส้นตามใจชอบ ไม่จำเป็นต้องเป็นเซตของจำนวนจริง) จะถูกเรียก ความต่อเนื่องหรือความสมบูรณ์ตาม Dedekind. การพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของประโยคอื่นๆ จำเป็นต้องมีโครงสร้างสนามอยู่แล้ว ทฤษฎีบท. ปล่อยให้เป็นสนามที่สั่งโดยพลการ ประโยคต่อไปนี้เทียบเท่า: ความคิดเห็น ดังที่เห็นได้จากทฤษฎีบท หลักการของส่วนที่ซ้อนกันนั่นเอง ไม่เทียบเท่าหลักการของความต่อเนื่องของ Dedekind จากหลักการความต่อเนื่องของเดเดไคนด์ หลักการของส่วนที่ซ้อนกันจะตามมา แต่สำหรับการสนทนานั้น จำเป็นต้องกำหนดเพิ่มเติมว่าฟิลด์ที่ได้รับการจัดลำดับเป็นไปตามสัจพจน์ของอาร์คิมิดีส การพิสูจน์ทฤษฎีบทข้างต้นสามารถพบได้ในหนังสือจากรายการอ้างอิงด้านล่างYouTube สารานุกรม
คำบรรยาย
สัจพจน์ของความต่อเนื่อง
บทบาทของสัจพจน์ของความต่อเนื่องในการสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
สูตรอื่นของคุณสมบัติความต่อเนื่องและประโยคที่เทียบเท่า
ความต่อเนื่องตาม Dedekind
บทแทรกจำกัด (หลักการไฮน์-บอเรล)
บทแทรกจุดจำกัด (หลักการโบลซาโน-ไวเออร์สตราส)
วางแผน:
การแนะนำ
วรรณกรรม การแนะนำ
1. สัจพจน์ของความต่อเนื่อง
2. บทบาทของสัจพจน์ของความต่อเนื่องในการสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
3. ข้อกำหนดอื่น ๆ ของคุณสมบัติความต่อเนื่องและประโยคที่เทียบเท่า
3.1. ความต่อเนื่องตาม Dedekind
3.2. บทแทรกบนส่วนที่ซ้อนกัน (หลักการ Cauchy-Cantor)
3.3. หลักการอันสูงสุด
3.4. บทแทรกจำกัด (หลักการไฮน์-บอเรล)
3.5. บทแทรกจุดจำกัด (หลักการโบลซาโน-ไวเออร์สตราส)
4. ความเท่าเทียมกันของประโยคแสดงความต่อเนื่องของเซตจำนวนจริง
หมายเหตุ
วรรณกรรม