มีองค์ประกอบอะไรบ้างในรูปสามเหลี่ยม คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยม
สามเหลี่ยม . สามเหลี่ยมเฉียบพลัน ป้าน และสามเหลี่ยมมุมฉาก
ขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก หน้าจั่วและสามเหลี่ยมด้านเท่า
ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม
มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม
เส้นและจุดที่โดดเด่นในรูปสามเหลี่ยม: ความสูง, ค่ามัธยฐาน,
เส้นแบ่งครึ่ง, ค่ามัธยฐานจ ตั้งฉาก,
จุดศูนย์ถ่วง, จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกกำหนดขอบเขต, ศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกกำหนดไว้
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส อัตราส่วนภาพในรูปสามเหลี่ยมใดๆ
สามเหลี่ยม คือรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้าน (หรือสามมุม) ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมมักระบุด้วยตัวอักษรตัวเล็กที่ตรงกับตัวพิมพ์ใหญ่ที่แสดงถึงจุดยอดตรงข้าม
หากมุมทั้งสามเป็นแบบเฉียบพลัน (รูปที่ 20) แสดงว่าเป็นเช่นนั้น สามเหลี่ยมเฉียบพลัน
. หากมุมใดมุมหนึ่งถูกต้อง(C, รูปที่ 21), นั่นคือ สามเหลี่ยมมุมฉาก; ด้านข้างก, ขเรียกว่าสร้างเป็นมุมฉาก ขา; ด้านข้างคตรงข้ามมุมขวาเรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก. ถ้าอย่างใดอย่างหนึ่งมุมป้าน (B, รูปที่ 22), นั่นคือ สามเหลี่ยมป้าน
สามเหลี่ยม ABC (รูปที่ 23) - หน้าจั่ว, ถ้า สองด้านของมันเท่ากัน (ก=
ค); ด้านที่เท่ากันเหล่านี้เรียกว่า ด้านข้างบุคคลที่สามเรียกว่า พื้นฐานสามเหลี่ยม. สามเหลี่ยมเอบีซี (รูปที่ 24) – ด้านเท่ากันหมด,
ถ้า ทั้งหมดด้านของมันเท่ากัน (ก
=
ข
=
ค). โดยทั่วไป ( ก ≠ ข ≠ ค)
เรามี ย้วยสามเหลี่ยม .
คุณสมบัติพื้นฐานของรูปสามเหลี่ยม ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ:
1. ตรงข้ามกับด้านที่ใหญ่กว่าคือมุมที่ใหญ่กว่า และในทางกลับกัน
2. มุมที่เท่ากันอยู่ตรงข้ามกับด้านที่เท่ากัน และในทางกลับกัน
โดยเฉพาะทุกมุมใน ด้านเท่ากันหมดสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากัน
3. ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180 º .
จากคุณสมบัติสองประการสุดท้ายจะตามมาว่าทุกมุมในด้านเท่ากันหมด
สามเหลี่ยมคือ 60 º.
4. ดำเนินการต่อด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม (AC, รูปที่ 25) เราได้รับ ภายนอก
มุมบีซีดี . มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมภายใน
ไม่ได้อยู่ติดกับมัน : บีซีดี = เอ + บี
5. ใดๆ ด้านของรูปสามเหลี่ยมน้อยกว่าผลรวมของอีกสองด้านและมากกว่า
ความแตกต่างของพวกเขา (ก < ข + ค, ก > ข – ค;ข < ก + ค, ข > ก – ค;ค < ก + ข,ค > ก – ข).
สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม
สามเหลี่ยมจะเท่ากันทุกประการหากเท่ากันตามลำดับ:
ก ) สองด้านและมุมระหว่างพวกเขา
ข ) สองมุมและด้านที่อยู่ติดกัน
c) สามด้าน
สัญญาณของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก
สอง สี่เหลี่ยมสามเหลี่ยมจะเท่ากันหากมีเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้เป็นจริง:
1) ขาของพวกเขาเท่ากัน
2) ขาและด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับขาและด้านตรงข้ามมุมฉากของอีกสามเหลี่ยมหนึ่ง
3) ด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมของสามเหลี่ยมหนึ่งมีค่าเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมของอีกสามเหลี่ยมหนึ่ง
4) ขาและมุมแหลมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับขาและมุมแหลมที่อยู่ติดกันของอีกสามเหลี่ยมหนึ่ง
5) ขาและมุมแหลมตรงข้ามของสามเหลี่ยมหนึ่งมีค่าเท่ากับขาและ มุมแหลมตรงข้ามของอีกมุมหนึ่ง
เส้นและจุดมหัศจรรย์ในรูปสามเหลี่ยม
ความสูง สามเหลี่ยมคือตั้งฉาก,ลดลงจากจุดยอดใดๆ ไปยังด้านตรงข้าม ( หรือความต่อเนื่องของมัน). ด้านนี้เรียกว่าฐานของรูปสามเหลี่ยม . ระดับความสูงทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมจะตัดกันเสมอณ จุดหนึ่ง, เรียกว่า ศูนย์ออร์โธเซ็นเตอร์สามเหลี่ยม. ศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ของสามเหลี่ยมมุมแหลม (จุดที่โอ , รูปที่ 26) ตั้งอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยม และศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ของสามเหลี่ยมป้าน (จุดที่โอ , รูปที่ 27) – ข้างนอก; จุดออร์โธเซนเตอร์ของสามเหลี่ยมมุมฉากเกิดขึ้นพร้อมกับจุดยอดของมุมขวา
ค่ามัธยฐาน - นี้ ส่วนของเส้น เป็นการต่อจุดยอดใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมเข้ากับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ค่ามัธยฐานสามค่าของรูปสามเหลี่ยม (โฆษณา พ.ศ. CF รูปที่ 28) ตัดกันที่จุดหนึ่ง โอ นอนอยู่ในสามเหลี่ยมเสมอและเป็นของเขา จุดศูนย์ถ่วง. จุดนี้แบ่งค่ามัธยฐานแต่ละค่าในอัตราส่วน 2:1 โดยนับจากจุดยอด
แบ่งครึ่ง - นี้ ส่วนเส้นแบ่งครึ่งมุมจากจุดยอดถึงจุด ทางแยกกับฝั่งตรงข้าม เส้นแบ่งครึ่งสามอันของสามเหลี่ยม (โฆษณา พ.ศ. CF รูปที่ 29) ตัดกันที่จุดหนึ่ง โอ้ มักจะนอนอยู่ในสามเหลี่ยมเสมอและ สิ่งมีชีวิต ศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้(ดูหัวข้อ “จารึกไว้และรูปหลายเหลี่ยมที่จำกัดขอบเขต")
เส้นแบ่งครึ่งแบ่งด้านตรงข้ามออกเป็นส่วนๆ ตามสัดส่วนของด้านที่อยู่ติดกัน ; ตัวอย่างเช่นในรูปที่ 29 TH: CE = AB: ก่อนคริสต์ศักราช
ค่ามัธยฐานตั้งฉาก เป็นเส้นตั้งฉากจากตรงกลางจุดแบ่งส่วน (ด้านข้าง) เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากสามเส้นของสามเหลี่ยม ABC(KO, MO, NO, รูปที่ 30 ) ตัดกันที่จุดหนึ่ง O ซึ่งก็คือ ศูนย์ วงกลมที่ล้อมรอบ (คะแนน K, M, N – จุดกึ่งกลางของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมเอบีซี)
ในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม จุดนี้อยู่ภายในรูปสามเหลี่ยม ป้าน - ภายนอก; เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า - ตรงกลางด้านตรงข้ามมุมฉาก ออร์โธเซ็นเตอร์ จุดศูนย์ถ่วง ศูนย์กลางเส้นรอบวง และวงกลมที่จารึกไว้ ตรงกันเฉพาะในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่านั้น
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หมายถึง กำลังสองของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของขา
การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นไปตามอย่างชัดเจนจากรูปที่ 31 พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉากเอบีซีมีขา ก, ขและด้านตรงข้ามมุมฉาก ค.
มาสร้างสี่เหลี่ยมกันเถอะเอเคบี โดยใช้ด้านตรงข้ามมุมฉากเอบี เป็นด้านข้าง แล้วดำเนินการต่อด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากเอบีซี เพื่อให้ได้สี่เหลี่ยมจัตุรัสซีดีอีเอฟ ซึ่งมีด้านเท่ากันก + ข .ตอนนี้ก็ชัดเจนว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส CDEF เท่ากับ ( ก+ข) 2 . ในทางกลับกันนี้ พื้นที่เท่ากับผลรวมพื้นที่ สามเหลี่ยมมุมฉากสี่อันและจตุรัส AKMB นั่นคือ
ค 2 + 4 (เกี่ยวกับ / 2) = ค 2 + 2 เกี่ยวกับ
จากที่นี่,
ค 2 + 2 เกี่ยวกับ= (ก+ข) 2 ,
และในที่สุดเราก็มี:
ค 2 =ก 2 +ข 2 .
อัตราส่วนภาพในรูปสามเหลี่ยมใดๆ
ในกรณีทั่วไป (สำหรับรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ) เรามี:
ค 2 =ก 2 +ข 2 – 2เกี่ยวกับ· เพราะ ค,
ที่ไหน C – มุมระหว่างด้านกและ ข .
สามเหลี่ยมมุมฉากที่ด้านทุกด้านยาวไม่เท่ากันมักเรียกว่าสามเหลี่ยมมุมฉาก อเนกประสงค์.
สามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสองด้านแสดงว่าเป็น หน้าจั่ว. มักจะเรียกว่าด้านที่เหมือนกัน ด้านข้าง, บุคคลที่สาม - พื้นฐานคำจำกัดความต่อไปนี้จะเป็นจริงอย่างเท่าเทียมกัน ฐานสามเหลี่ยมคือด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ไม่เท่ากับอีกสองด้านที่เหลือ
ใน สามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมที่ฐานจะเท่ากัน ส่วนสูง ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ลากไปที่ฐานอยู่ในแนวเดียวกัน
สามเหลี่ยมโดยมีด้านเท่ากันทุกด้านแสดงว่าเป็น ด้านเท่ากันหมดหรือ ถูกต้อง. ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า มุมทั้งหมดจะมีขนาด 60° และจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีเส้นจารึกและวงกลมที่มีเส้นล้อมรอบจะอยู่ในแนวเดียวกัน
ประเภทของรูปสามเหลี่ยมขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ของมุม
รูปสามเหลี่ยมซึ่งเรียกเฉพาะมุมที่น้อยกว่า 90 0 (เฉียบพลัน) มุมแหลม.
สามเหลี่ยมที่มีมุม 90 0 เรียกว่า สี่เหลี่ยม. ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมที่ประกอบเป็นมุมฉากมักจะถูกกำหนดไว้ ขาและด้านตรงข้ามมุมฉากคือ ด้านตรงข้ามมุมฉาก.
เมื่อเรียนคณิตศาสตร์ นักเรียนจะเริ่มคุ้นเคยกับรูปทรงเรขาคณิตประเภทต่างๆ วันนี้เราจะมาพูดถึงสามเหลี่ยมประเภทต่างๆ
คำนิยาม
รูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยจุดสามจุดที่ไม่อยู่ในเส้นเดียวกันเรียกว่ารูปสามเหลี่ยม
ส่วนที่เชื่อมต่อจุดต่างๆ เรียกว่าด้าน และจุดต่างๆ เรียกว่าจุดยอด จุดยอดถูกกำหนดด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A, B, C
ด้านข้างถูกกำหนดโดยชื่อของจุดสองจุดซึ่งประกอบด้วย - AB, BC, AC ตัดกันด้านข้างทำให้เกิดมุม ด้านล่างถือเป็นฐานของรูป
ข้าว. 1. สามเหลี่ยมเอบีซี
ประเภทของรูปสามเหลี่ยม
สามเหลี่ยมแบ่งตามมุมและด้าน สามเหลี่ยมแต่ละประเภทมีคุณสมบัติของตัวเอง
ที่มุมมีสามเหลี่ยมสามประเภท:
- มุมแหลม;
- สี่เหลี่ยม;
- มุมป้าน
ทุกมุม มุมแหลมสามเหลี่ยมเป็นแบบเฉียบพลัน คือ องศาที่วัดได้แต่ละอันไม่เกิน 90 0
สี่เหลี่ยมสามเหลี่ยมมีมุมฉาก อีกสองมุมที่เหลือจะเป็นมุมแหลมเสมอ เพราะไม่เช่นนั้นผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมจะเกิน 180 องศา ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก และอีกสองด้านเรียกว่าขา ด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีขนาดใหญ่กว่าขาเสมอ
ป้านสามเหลี่ยมมีมุมป้าน นั่นคือมุมที่มากกว่า 90 องศา อีกสองมุมในรูปสามเหลี่ยมดังกล่าวจะเป็นมุมแหลม
ข้าว. 2. ประเภทของรูปสามเหลี่ยมที่มุม
สามเหลี่ยมพีทาโกรัส คือ สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านเป็น 3, 4, 5
ยิ่งกว่านั้น ด้านที่ใหญ่กว่าคือด้านตรงข้ามมุมฉาก
สามเหลี่ยมดังกล่าวมักใช้เพื่อสร้างปัญหาง่ายๆ ในเรขาคณิต ดังนั้น จำไว้ว่า: หากด้านสองด้านของสามเหลี่ยมเท่ากับ 3 ด้านที่สามจะเป็น 5 แน่นอน ซึ่งจะทำให้การคำนวณง่ายขึ้น
ประเภทของรูปสามเหลี่ยมด้านข้าง:
- ด้านเท่ากันหมด;
- หน้าจั่ว;
- อเนกประสงค์
ด้านเท่ากันหมดสามเหลี่ยมคือสามเหลี่ยมที่ทุกด้านเท่ากัน ทุกมุมของสามเหลี่ยมดังกล่าวมีค่าเท่ากับ 60 0 นั่นคือมุมแหลมเสมอ
หน้าจั่วสามเหลี่ยม - สามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันเพียงสองด้าน ด้านเหล่านี้เรียกว่าด้านข้าง และด้านที่สามเรียกว่าฐาน นอกจากนี้ มุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะเท่ากันและแหลมเสมอ
อเนกประสงค์หรือรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจคือรูปสามเหลี่ยมที่ความยาวและมุมทั้งหมดไม่เท่ากัน
หากปัญหาไม่มีการชี้แจงใด ๆ เกี่ยวกับรูปนี้ ก็เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าเรากำลังพูดถึงรูปสามเหลี่ยมตามใจชอบ
ข้าว. 3. ประเภทของรูปสามเหลี่ยมด้านข้าง
ผลรวมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยม ไม่ว่าจะเป็นมุมใดก็ตาม คือ 1800
ตรงข้ามกับมุมที่ใหญ่กว่าคือด้านที่ใหญ่กว่า และความยาวของด้านใดๆ จะน้อยกว่าผลรวมของด้านอีกสองด้านเสมอ คุณสมบัติเหล่านี้ได้รับการยืนยันโดยทฤษฎีบทอสมการสามเหลี่ยม
มีแนวคิดเป็นรูปสามเหลี่ยมทองคำ นี่คือสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ซึ่งด้านทั้งสองเป็นสัดส่วนกับฐานและเท่ากับจำนวนหนึ่ง ในรูปดังกล่าว มุมจะเป็นสัดส่วนกับอัตราส่วน 2:2:1
งาน:
มีสามเหลี่ยมที่มีด้านเป็น 6 ซม., 3 ซม., 4 ซม. หรือไม่?
สารละลาย:
เพื่อแก้ปัญหานี้ คุณต้องใช้อสมการ a
เราได้เรียนรู้อะไรบ้าง?
จากเนื้อหาจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 นี้ เราได้เรียนรู้ว่ารูปสามเหลี่ยมถูกจำแนกตามด้านและขนาดของมุม สามเหลี่ยมมีคุณสมบัติบางอย่างที่สามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาได้
การกำหนดมาตรฐาน
สามเหลี่ยมที่มีจุดยอด ก, บีและ คถูกกำหนดให้เป็น (ดูรูป) สามเหลี่ยมมีสามด้าน:
ความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมระบุด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์เล็ก (a, b, c):
สามเหลี่ยมมีมุมดังต่อไปนี้:
ค่ามุมที่จุดยอดที่สอดคล้องกันจะแสดงด้วยตัวอักษรกรีกแบบดั้งเดิม (α, β, γ)
สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม
สามเหลี่ยมบนระนาบยูคลิดสามารถกำหนดได้โดยไม่ซ้ำกัน (ขึ้นอยู่กับความสอดคล้อง) โดยองค์ประกอบพื้นฐานสามประการต่อไปนี้:
- a, b, γ (ความเท่าเทียมกันของทั้งสองด้านและมุมที่อยู่ระหว่างทั้งสอง);
- a, β, γ (ความเท่าเทียมกันที่ด้านข้างและสองมุมที่อยู่ติดกัน);
- a, b, c (ความเท่าเทียมกันทั้งสามด้าน)
สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก:
- ตามขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก;
- สองขา;
- ตามขาและมุมแหลม
- ตามแนวด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม
จุดบางจุดในสามเหลี่ยมมี "คู่กัน" ตัวอย่างเช่น มีสองจุดที่มองเห็นทุกด้านที่มุม 60° หรือมุม 120° พวกเขาถูกเรียกว่า จุดตอร์ริเชลลี. นอกจากนี้ยังมีจุดสองจุดที่เส้นโครงด้านข้างอยู่ที่จุดยอดของสามเหลี่ยมปกติ นี้ - คะแนนอพอลโลเนียส. คะแนนและสิ่งดังกล่าวเรียกว่า คะแนนโบรการ์ด.
โดยตรง
ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ จุดศูนย์ถ่วง จุดออร์โธเซนเตอร์ และจุดศูนย์กลางของวงกลมนั้นอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เรียกว่า เส้นออยเลอร์.
เส้นตรงที่ลากผ่านศูนย์กลางของเส้นรอบวงและจุดเลมอยน์ เรียกว่า แกนโบรการ์ด. มีจุด Apollonius อยู่บนนั้น จุดตอร์ริเชลลีและจุดเลมอยน์ก็อยู่ในเส้นเดียวกันเช่นกัน ฐานของเส้นแบ่งครึ่งภายนอกของมุมของรูปสามเหลี่ยมอยู่บนเส้นตรงเดียวกันเรียกว่า แกนของเส้นแบ่งครึ่งภายนอก. จุดตัดของเส้นที่มีด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากกับเส้นที่มีด้านข้างของสามเหลี่ยมก็อยู่บนเส้นเดียวกันเช่นกัน เส้นนี้เรียกว่า แกนตั้งฉากจะตั้งฉากกับเส้นตรงออยเลอร์
หากเราหาจุดบนเส้นรอบวงของสามเหลี่ยม แล้วส่วนที่ยื่นออกไปด้านข้างของสามเหลี่ยมจะอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวกัน เรียกว่า ซิมสันพูดตรงๆจุดนี้ เส้นตรงของจุดที่ตรงข้ามกันของซิมสันนั้นตั้งฉากกัน
สามเหลี่ยม
- เรียกว่าสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่ฐานที่ลากผ่านจุดที่กำหนด สามเหลี่ยมซีเวียนจุดนี้
- สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ในเส้นโครงของจุดที่กำหนดไปด้านข้างเรียกว่า สดหรือ สามเหลี่ยมเหยียบจุดนี้
- สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดที่สองของจุดตัดของเส้นที่ลากผ่านจุดยอดและจุดที่กำหนดให้มีวงกลมล้อมรอบเรียกว่า สามเหลี่ยมเส้นรอบวง. สามเหลี่ยมเส้นรอบวงจะคล้ายกับสามเหลี่ยมสด
แวดวง
- วงกลมที่ถูกจารึกไว้- วงกลมสัมผัสทั้งสามด้านของรูปสามเหลี่ยม เธอคือคนเดียวเท่านั้น เรียกว่าจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ ศูนย์กลาง.
- วงกลม- วงกลมที่ลากผ่านจุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม วงกลมที่ล้อมรอบก็มีเอกลักษณ์เช่นกัน
- เอ็กเซอร์เคิล- วงกลมแตะด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมและต่อเนื่องกันของอีกสองด้าน มีวงกลมสามวงในรูปสามเหลี่ยม จุดศูนย์กลางที่รุนแรงคือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ของสามเหลี่ยมตรงกลางที่เรียกว่า ประเด็นของสไปเกอร์.
จุดกึ่งกลางของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม ฐานของความสูงทั้งสามด้าน และจุดกึ่งกลางของส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดยอดกับจุดศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ อยู่บนวงกลมวงเดียวเรียกว่า วงกลมเก้าจุดหรือ วงกลมออยเลอร์. จุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุดอยู่บนเส้นออยเลอร์ วงกลมที่มีเก้าจุดสัมผัสกับวงกลมที่จารึกไว้และวงกลมภายนอกสามวง เรียกว่าจุดสัมผัสระหว่างวงกลมที่ถูกจารึกไว้กับวงกลมเก้าจุด จุดฟอยเออร์บาค. หากจากแต่ละจุดยอดเราวางด้านนอกของสามเหลี่ยมบนเส้นตรงที่มีด้านข้าง มีออร์โธสที่มีความยาวเท่ากันกับด้านตรงข้าม ดังนั้นผลลัพธ์หกจุดจะอยู่บนวงกลมเดียวกัน - วงกลมคอนเวย์. วงกลมสามวงสามารถเขียนลงในสามเหลี่ยมใดๆ ก็ได้ โดยให้แต่ละวงสัมผัสกับด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมและวงกลมอีกสองวง วงกลมดังกล่าวเรียกว่า วงกลมมัลฟัตติ. จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบของสามเหลี่ยมทั้ง 6 รูปซึ่งมีค่ามัธยฐานหารเป็นรูปสามเหลี่ยมจะอยู่บนวงกลมวงเดียว เรียกว่า เส้นรอบวงลำมุน.
สามเหลี่ยมมีวงกลมสามวงที่สัมผัสสองด้านของรูปสามเหลี่ยมและเส้นรอบวง วงกลมดังกล่าวเรียกว่า กึ่งจารึกไว้หรือ วงกลมเวอร์ริเอร์. ส่วนที่เชื่อมต่อจุดสัมผัสของวงกลม Verrier กับวงกลมที่ตัดกัน ณ จุดหนึ่งเรียกว่า ประเด็นของเวอร์ริเออร์. มันทำหน้าที่เป็นศูนย์กลางของโฮโมเทตี ซึ่งเปลี่ยนเส้นรอบวงให้เป็นวงกลมที่ถูกจารึกไว้ จุดสัมผัสของวงกลม Verrier โดยที่ด้านข้างวางอยู่บนเส้นตรงที่ผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้
ส่วนที่เชื่อมต่อจุดสัมผัสกันของวงกลมที่ถูกจารึกไว้กับจุดยอดตัดกันที่จุดหนึ่งเรียกว่า ประเด็นเกอร์กอนน์และส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดกับจุดสัมผัสของวงกลมด้านนอกนั้นอยู่ในนั้น จุดนาเจล.
วงรี พาราโบลา และไฮเปอร์โบลา
จารึกรูปกรวย (วงรี) และเปอร์สเปคเตอร์
รูปกรวย (วงรี พาราโบลา หรือไฮเปอร์โบลา) จำนวนอนันต์สามารถเขียนลงในรูปสามเหลี่ยมได้ ถ้าเราเขียนรูปกรวยใดๆ ลงในรูปสามเหลี่ยมและเชื่อมต่อจุดแทนเจนต์กับจุดยอดตรงข้าม แล้วเส้นตรงที่ได้จะตัดกันที่จุดหนึ่งที่เรียกว่า โอกาสเตียงสองชั้น สำหรับจุดใดๆ ของระนาบที่ไม่ได้นอนตะแคงหรือส่วนต่อขยาย จะมีรูปกรวยจารึกไว้พร้อมผู้มอง ณ จุดนี้
วงรีสไตเนอร์ที่อธิบายไว้และซีเวียนเคลื่อนผ่านจุดโฟกัสของมัน
คุณสามารถเขียนวงรีเป็นรูปสามเหลี่ยมซึ่งแตะด้านข้างตรงกลางได้ วงรีดังกล่าวเรียกว่า วงรี Steiner ที่ถูกจารึกไว้(เปอร์สเปคทีฟของมันจะเป็นจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยม) วงรีวงรีที่แตะเส้นที่ลากผ่านจุดยอดขนานกับด้านข้าง เรียกว่า วงรีวงรีล้อมรอบ อธิบายโดยวงรีสไตเนอร์. หากเราแปลงรูปสามเหลี่ยมให้เป็นรูปสามเหลี่ยมปกติโดยใช้การแปลงความสัมพันธ์ (“เบ้”) วงรีสไตเนอร์ที่มีเส้นจารึกและเส้นรอบวงของมันจะแปลงเป็นวงกลมที่มีเส้นจารึกและเส้นรอบวง เส้น Chevian ที่ลากผ่านจุดโฟกัสของวงรีสไตเนอร์ (จุดสกูติน) ที่อธิบายไว้มีค่าเท่ากัน (ทฤษฎีบทสกูติน) ในบรรดาวงรีที่อธิบายไว้ทั้งหมด วงรีสไตเนอร์ที่อธิบายไว้นั้นมีพื้นที่เล็กที่สุด และในบรรดาวงรีที่จารึกไว้ทั้งหมด วงรีสไตเนอร์ที่ถูกจารึกไว้นั้นมีพื้นที่ที่ใหญ่ที่สุด
วงรีโบรการ์ดและเปอร์สเปคเตอร์ - จุดเลมอยน์
วงรีที่มีจุดโฟกัสที่จุดโบรการ์ดเรียกว่า วงรีโบรการ์ด. มุมมองของมันคือจุดเลมอยน์
คุณสมบัติของพาราโบลาที่ถูกจารึกไว้
คีเพิร์ตพาราโบลา
แนวโน้มของพาราโบลาที่จารึกไว้นั้นอยู่บนวงรีสไตเนอร์ที่อธิบายไว้ จุดเน้นของพาราโบลาที่เขียนไว้นั้นอยู่ที่เส้นรอบวงวงกลม และไดเรกตริกซ์จะผ่านออร์โธเซนเตอร์ พาราโบลาที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมและมีไดเรกตริกซ์ของออยเลอร์เป็นไดเรกตริกซ์ของมันเรียกว่า คีเพิร์ตพาราโบลา. เปอร์สเปกเตอร์คือจุดที่สี่ของจุดตัดของวงกลมที่มีเส้นรอบวงกับวงรีสไตเนอร์ที่มีเส้นรอบวง เรียกว่า จุดสไตเนอร์.
อติพจน์ของ Kiepert
หากไฮเพอร์โบลาที่อธิบายผ่านจุดตัดของความสูง แสดงว่าไฮเปอร์โบลานั้นมีด้านเท่ากันหมด (นั่นคือ เส้นกำกับของมันจะตั้งฉากกัน) จุดตัดของเส้นกำกับของไฮเปอร์โบลาด้านเท่ากันหมดอยู่บนวงกลมของจุดเก้าจุด
การเปลี่ยนแปลง
หากเส้นที่ลากผ่านจุดยอดและจุดบางจุดไม่อยู่ด้านข้างและส่วนขยายของเส้นนั้นสะท้อนสัมพันธ์กับเส้นแบ่งครึ่งที่สอดคล้องกัน รูปภาพของเส้นเหล่านั้นก็จะตัดกันที่จุดหนึ่งด้วย ซึ่งเรียกว่า คอนจูเกตแบบไอโซโกกอนอันเดิม (หากจุดวางบนวงกลมที่ถูกกำหนดขอบเขตไว้ เส้นผลลัพธ์จะขนานกัน) จุดที่น่าทึ่งหลายคู่มีการคอนจูเกตแบบไอโซโกนกัน: จุดเส้นรอบวงและจุดออร์โธเซ็นเตอร์, จุดเซนทรอยด์และจุดเลมอยน์, จุดโบรการ์ด จุด Apollonius นั้นเชื่อมกันแบบ isogonally กับจุด Torricelli และจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้นั้น conjugate แบบ isogonally กับตัวมันเอง ภายใต้การกระทำของการผัน isogonal เส้นตรงจะเปลี่ยนเป็นรูปกรวยที่มีเส้นรอบวง และรูปทรงกรวยที่มีเส้นรอบวงเป็นเส้นตรง ดังนั้น ไฮเปอร์โบลาคีเพิร์ตและแกนโบรคาร์ด ไฮเปอร์โบลาเจนซาเบกและเส้นตรงออยเลอร์ ไฮเปอร์โบลาฟอยเออร์บาค และเส้นศูนย์กลางของวงกลมที่เขียนไว้และที่เขียนในวงรอบวง จึงเป็นคอนจูเกตแบบไอโซโกน เส้นรอบวงของสามเหลี่ยมของจุดคอนจูเกตไอโซเหลี่ยมตรงกัน จุดโฟกัสของวงรีที่ถูกจารึกไว้นั้นเป็นคอนจูเกตแบบไอโซโกกอน
แทนที่จะใช้ซีเวียนแบบสมมาตร หากเราใช้ซีเวียนซึ่งมีฐานอยู่ห่างจากตรงกลางด้านเท่ากับฐานของเดิม ซีเวียนดังกล่าวก็จะตัดกันที่จุดหนึ่งด้วย เรียกว่าการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้น การผันไอโซโทมิก. นอกจากนี้ยังแปลงเส้นตรงเป็นรูปกรวยที่อธิบายไว้ด้วย จุด Gergonne และ Nagel เป็นการคอนจูเกตแบบไอโซโทม ภายใต้การแปลงแบบอัฟฟิน จุดคอนจูเกตแบบไอโซโทมถูกแปลงเป็นจุดคอนจูเกตแบบไอโซโทม ด้วยการผันไอโซโทมิก วงรีสไตเนอร์ที่อธิบายไว้จะเข้าสู่เส้นตรงที่อยู่ห่างออกไปอย่างไม่สิ้นสุด
หากในส่วนที่ถูกตัดออกโดยด้านข้างของสามเหลี่ยมจากวงกลมวงกลม เราจะเขียนวงกลมที่แตะด้านข้างที่ฐานของเซเวียนที่ลากผ่านจุดใดจุดหนึ่ง จากนั้นเชื่อมต่อจุดสัมผัสกันของวงกลมเหล่านี้กับวงกลมวงกลมที่มีจุดยอดตรงข้ามกัน แล้วเส้นตรงดังกล่าวจะตัดกันที่จุดหนึ่ง เรียกว่าการเปลี่ยนแปลงระนาบที่ตรงกับจุดเดิมกับจุดผลลัพธ์ การเปลี่ยนแปลงแบบวงกลม. องค์ประกอบของคอนจูเกตแบบ isogonal และ isotomic คือองค์ประกอบของการเปลี่ยนแปลงแบบ isocircular ด้วยตัวมันเอง องค์ประกอบนี้เป็นการเปลี่ยนแปลงแบบฉายภาพ ซึ่งจะทำให้ด้านข้างของสามเหลี่ยมอยู่กับที่ และแปลงแกนของเส้นแบ่งครึ่งภายนอกให้เป็นเส้นตรงที่ระยะอนันต์
ถ้าเราต่อด้านของสามเหลี่ยม Chevian ต่อไปที่จุดใดจุดหนึ่ง และหาจุดตัดกันกับด้านที่ตรงกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว เรียกว่า ขั้วโลกไตรลิเนียร์จุดเริ่ม. แกนออร์โธเซนตริกคือขั้วไตรลิเนียร์ของออร์โธเซ็นเตอร์ ขั้วไตรลิเนียร์ของจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้คือแกนของเส้นแบ่งครึ่งภายนอก ขั้วไตรลิเนียร์ของจุดต่างๆ ที่วางอยู่บนจุดตัดทรงกรวยที่จำกัดขอบเขต ณ จุดหนึ่ง (สำหรับวงกลมที่มีขอบเขตจำกัด นี่คือจุดเลมอยน์ สำหรับวงรีสไตเนอร์ในขอบเขตนั้นคือจุดเซนทรอยด์) องค์ประกอบของคอนจูเกตแบบไอโซโกนอล (หรือไอโซโทมิก) และขั้วไตรลิเนียร์คือการเปลี่ยนแปลงความเป็นคู่ (หากจุดหนึ่งมีคอนจูเกตแบบไอโซโกน (ไอโซโทมิก) ไปยังจุดหนึ่งอยู่บนขั้วไตรลิเนียร์ของจุดหนึ่ง ดังนั้น ขั้วไตรลิเนียร์ของจุดแบบไอโซโกน (ไอโซโตมิก) คอนจูเกตไปยังจุดหนึ่งซึ่งอยู่บนขั้วไตรลิเนียร์ของจุด)
ลูกบาศก์
อัตราส่วนในรูปสามเหลี่ยม
บันทึก:ในส่วนนี้ คือความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม และ คือมุมที่อยู่ตรงข้ามทั้งสามด้านตามลำดับ (มุมตรงข้าม)
อสมการสามเหลี่ยม
ในรูปสามเหลี่ยมไม่เสื่อม ผลรวมของความยาวของด้านทั้งสองจะมากกว่าความยาวของด้านที่สาม ในสามเหลี่ยมเสื่อมจะเท่ากัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมสัมพันธ์กันด้วยอสมการต่อไปนี้:
อสมการสามเหลี่ยมเป็นหนึ่งในสัจพจน์ของเมตริก
ทฤษฎีบทผลรวมมุมสามเหลี่ยม
ทฤษฎีบทของไซน์
,โดยที่ R คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม จากทฤษฎีบทที่ว่า ถ้า a< b < c, то α < β < γ.
ทฤษฎีบทโคไซน์
ทฤษฎีบทแทนเจนต์
อัตราส่วนอื่นๆ
อัตราส่วนเมตริกในรูปสามเหลี่ยมมีไว้เพื่อ:
การแก้รูปสามเหลี่ยม
การคำนวณด้านและมุมที่ไม่รู้จักของสามเหลี่ยมโดยอิงจากสิ่งที่ทราบ ในอดีตเรียกว่า "การแก้รูปสามเหลี่ยม" ใช้ทฤษฎีบทตรีโกณมิติทั่วไปข้างต้น
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
สัญกรณ์กรณีพิเศษสำหรับพื้นที่ อสมการต่อไปนี้ถูกต้อง:
การคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมในอวกาศโดยใช้เวกเตอร์
ให้จุดยอดของสามเหลี่ยมอยู่ที่จุด , , .
เรามาแนะนำเวกเตอร์พื้นที่กันดีกว่า ความยาวของเวกเตอร์นี้เท่ากับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและมันถูกกำหนดทิศทางให้เป็นปกติกับระนาบของรูปสามเหลี่ยม:
ให้เราตั้งค่า โดยที่ , เป็นการฉายภาพของสามเหลี่ยมบนระนาบพิกัด โดยที่
และในทำนองเดียวกัน
พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ
อีกทางเลือกหนึ่งคือคำนวณความยาวของด้าน (โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) แล้วใช้สูตรของเฮรอน
ทฤษฎีบทสามเหลี่ยม
ส่วนนี้ยังไม่เสร็จสมบูรณ์ |
วันนี้เราจะไปที่ดินแดนแห่งเรขาคณิตซึ่งเราจะมาทำความรู้จักกับสามเหลี่ยมประเภทต่างๆ
พิจารณารูปทรงเรขาคณิตและค้นหา "ส่วนเกิน" หนึ่งในนั้น (รูปที่ 1)
ข้าว. 1. ตัวอย่างภาพประกอบ
เราจะเห็นว่าตัวเลขหมายเลข 1, 2, 3, 5 เป็นรูปสี่เหลี่ยม แต่ละคนมีชื่อของตัวเอง (รูปที่ 2)
ข้าว. 2. รูปสี่เหลี่ยม
ซึ่งหมายความว่ารูป “พิเศษ” เป็นรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 3)
ข้าว. 3. ตัวอย่างภาพประกอบ
รูปสามเหลี่ยมคือรูปที่ประกอบด้วยจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกันและมีสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้เป็นคู่กัน
จุดที่เรียกว่า จุดยอดของรูปสามเหลี่ยมเซ็กเมนต์ - ของเขา ฝ่าย. ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม มีมุมสามมุมที่จุดยอดของรูปสามเหลี่ยม
ลักษณะสำคัญของรูปสามเหลี่ยมคือ สามด้านและสามมุมตามขนาดของมุม สามเหลี่ยมก็คือ แหลม เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และป้าน
รูปสามเหลี่ยมจะเรียกว่ามุมแหลมถ้ามุมทั้งสามมุมเป็นแบบเฉียบพลัน ซึ่งก็คือ น้อยกว่า 90° (รูปที่ 4)
ข้าว. 4. สามเหลี่ยมเฉียบพลัน
สามเหลี่ยมจะเรียกว่าสี่เหลี่ยมถ้ามุมหนึ่งของมันคือ 90° (รูปที่ 5)
ข้าว. 5. สามเหลี่ยมมุมฉาก
สามเหลี่ยมจะเรียกว่าป้านหากมุมหนึ่งของมันเป็นป้าน นั่นคือ มากกว่า 90° (รูปที่ 6)
ข้าว. 6. สามเหลี่ยมป้าน
ขึ้นอยู่กับจำนวนของด้านที่เท่ากัน สามเหลี่ยมจะมีด้านเท่ากันหมด หน้าจั่ว และด้านไม่เท่า
สามเหลี่ยมหน้าจั่วเป็นสามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านเท่ากัน (รูปที่ 7)
ข้าว. 7. สามเหลี่ยมหน้าจั่ว
ด้านเหล่านี้เรียกว่า ด้านข้าง, ด้านที่สาม - พื้นฐาน. ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมฐานจะเท่ากัน
มีสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เฉียบพลันและป้าน(รูปที่ 8) .
ข้าว. 8. สามเหลี่ยมหน้าจั่วเฉียบพลันและป้าน
สามเหลี่ยมด้านเท่าคือสามเหลี่ยมที่ด้านทั้งสามเท่ากัน (รูปที่ 9)
ข้าว. 9. สามเหลี่ยมด้านเท่า
ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ทุกมุมเท่ากัน. สามเหลี่ยมด้านเท่าเสมอ มุมแหลม
สามเหลี่ยมด้านไม่เท่ากันคือด้านที่ทั้งสามด้านมีความยาวต่างกัน (รูปที่ 10)
ข้าว. 10. สามเหลี่ยมสเกลลีน
ทำงานให้เสร็จ กระจายสามเหลี่ยมเหล่านี้ออกเป็นสามกลุ่ม (รูปที่ 11)
ข้าว. 11. ภาพประกอบสำหรับงาน
ก่อนอื่น เรามากระจายตามขนาดของมุมกันก่อน
สามเหลี่ยมเฉียบพลัน: หมายเลข 1, หมายเลข 3
สามเหลี่ยมมุมฉาก: หมายเลข 2, หมายเลข 6
สามเหลี่ยมป้าน: หมายเลข 4, หมายเลข 5
เราจะกระจายสามเหลี่ยมเดียวกันออกเป็นกลุ่มๆ ตามจำนวนด้านที่เท่ากัน
สามเหลี่ยมมาตราส่วน: หมายเลข 4, หมายเลข 6
สามเหลี่ยมหน้าจั่ว: หมายเลข 2, หมายเลข 3, หมายเลข 5
สามเหลี่ยมด้านเท่า: หมายเลข 1
ดูที่ภาพ.
ลองนึกดูว่าสามเหลี่ยมแต่ละอันทำจากลวดชนิดใด (รูปที่ 12)
ข้าว. 12. ภาพประกอบสำหรับงาน
คุณสามารถคิดแบบนี้ได้
เส้นลวดชิ้นแรกแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน คุณจึงสามารถสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าได้ เขาแสดงที่สามในภาพ
ลวดชิ้นที่สองแบ่งออกเป็นสามส่วนที่แตกต่างกัน ดังนั้นจึงสามารถนำมาใช้ทำรูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าได้ จะแสดงเป็นอันดับแรกในภาพ
ลวดชิ้นที่สามแบ่งออกเป็นสามส่วน โดยที่ทั้งสองส่วนมีความยาวเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสามารถสร้างสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้ ในภาพเขาแสดงเป็นอันดับสอง
วันนี้ในชั้นเรียนเราเรียนรู้เกี่ยวกับสามเหลี่ยมประเภทต่างๆ
บรรณานุกรม
- มิ.ย. โมโร, MA บันโตวา และคณะ คณิตศาสตร์: หนังสือเรียน. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 3: มี 2 ส่วน ตอนที่ 1 - อ.: “การตรัสรู้”, 2555
- มิ.ย. โมโร, MA บันโตวา และคณะ คณิตศาสตร์: หนังสือเรียน. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 3: ใน 2 ส่วน ตอนที่ 2 - อ.: “การตรัสรู้”, 2555
- มิ.ย. โมโร บทเรียนคณิตศาสตร์: คำแนะนำด้านระเบียบวิธีสำหรับครู ชั้นประถมศึกษาปีที่ 3 - อ.: การศึกษา, 2555.
- เอกสารกำกับดูแล การติดตามและประเมินผลการเรียนรู้ - อ.: “การตรัสรู้”, 2554.
- “ School of Russia”: โปรแกรมสำหรับโรงเรียนประถมศึกษา - อ.: “การตรัสรู้”, 2554.
- เอสไอ โวลโควา คณิตศาสตร์: เอกสารทดสอบ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 3 - อ.: การศึกษา, 2555.
- วี.เอ็น. รุดนิทสกายา. การทดสอบ - อ.: “สอบ”, 2555.
- Nsportal.ru ()
- Prosv.ru ()
- Do.gendocs.ru ()
การบ้าน
1. เติมวลีให้สมบูรณ์
ก) รูปสามเหลี่ยมคือรูปที่ประกอบด้วย ... ซึ่งไม่อยู่ในเส้นเดียวกัน และ ... ที่เชื่อมจุดเหล่านี้เป็นคู่กัน
b) แต้มถูกเรียก … เซ็กเมนต์ - ของเขา … . ด้านของรูปสามเหลี่ยมก่อตัวที่จุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ….
c) ตามขนาดของมุม รูปสามเหลี่ยมคือ ... , ... , ... .
d) ขึ้นอยู่กับจำนวนด้านที่เท่ากัน รูปสามเหลี่ยมคือ ... , ... , ... .
2. วาด
ก) สามเหลี่ยมมุมฉาก;
b) สามเหลี่ยมเฉียบพลัน;
c) สามเหลี่ยมป้าน;
d) สามเหลี่ยมด้านเท่า;
e) สามเหลี่ยมด้านไม่เท่ากัน;
e) สามเหลี่ยมหน้าจั่ว
3. สร้างงานมอบหมายในหัวข้อบทเรียนให้เพื่อนของคุณ