Намерете уравнението на права симетрична права спрямо равнината. Най-прости задачи с права на равнина
О-о-о-о-о-о ... е, тенекиен е, сякаш си прочете изречението =) Но тогава релаксът ще помогне, особено след като днес купих подходящи аксесоари. Затова нека да продължим към първия раздел, надявам се, че до края на статията ще запазя весело настроение.
Взаимно разположение на две прави линии
Случаят, когато залата пее в хор. Две линии могат:
1) мач;
2) да са успоредни: ;
3) или се пресичат при единична точка: .
Помощ за манекени : моля, запомнете математически знакпресичане, ще се случва много често. Записът означава, че правата се пресича с правата в точката.
Как да определим относителната позиция на две линии?
Да започнем с първия случай:
Две прави съвпадат тогава и само тогава, когато съответните им коефициенти са пропорционални, тоест има такова число "ламбда", че равенствата
Нека разгледаме прави линии и съставим три уравнения от съответните коефициенти: . От всяко уравнение следва, че следователно тези линии съвпадат.
Наистина, ако всички коефициенти на уравнението умножете по -1 (променете знаците) и всички коефициенти на уравнението намалите с 2, получавате същото уравнение: .
Вторият случай, когато линиите са успоредни:
Две прави са успоредни тогава и само ако техните коефициенти при променливите са пропорционални: , Но.
Като пример разгледайте две прави линии. Проверяваме пропорционалността на съответните коефициенти за променливите:
Въпреки това е ясно, че.
И третият случай, когато линиите се пресичат:
Две прави се пресичат тогава и само ако техните коефициенти на променливите НЕ са пропорционални, тоест НЯМА такава стойност на "ламбда", че равенствата да са изпълнени
И така, за прави линии ще съставим система:
От първото уравнение следва, че , а от второто уравнение: , следователно, системата е непоследователна(няма решения). Следователно коефициентите при променливите не са пропорционални.
Заключение: линиите се пресичат
В практически задачи може да се използва току-що разгледаната схема за решение. Между другото, той е много подобен на алгоритъма за проверка на вектори за колинеарност, който разгледахме в урока. Концепцията за линейна (не) зависимост на векторите. Векторна основа. Но има по-цивилизован пакет:
Пример 1
Разберете относителната позиция на линиите:
Решениевъз основа на изследването на насочващите вектори на прави линии:
а) От уравненията намираме насочващите вектори на правите: .
, така че векторите не са колинеарни и правите се пресичат.
За всеки случай ще сложа камък с указатели на кръстопътя:
Останалите прескачат камъка и го следват, право към Кашчей Безсмъртния =)
б) Намерете насочващите вектори на правите:
Правите имат един и същ вектор на посоката, което означава, че са или успоредни, или еднакви. Тук детерминантата не е необходима.
Очевидно коефициентите на неизвестните са пропорционални, докато .
Нека разберем дали равенството е вярно:
По този начин,
в) Намерете насочващите вектори на правите:
Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на тези вектори:
, следователно векторите на посоката са колинеарни. Правите са или успоредни, или съвпадат.
Коефициентът на пропорционалност "ламбда" е лесно да се види директно от съотношението на векторите на колинеарна посока. Но може да се намери и чрез коефициентите на самите уравнения: .
Сега нека разберем дали равенството е вярно. И двата безплатни термина са нула, така че:
Получената стойност удовлетворява това уравнение (всяко число обикновено го удовлетворява).
Така линиите съвпадат.
Отговор:
Много скоро ще се научите (или дори вече сте се научили) да решавате разглеждания проблем устно буквално за секунди. В тази връзка не виждам причина да предлагам нещо за независимо решение, по-добре е да поставите още една важна тухла в геометричната основа:
Как да начертаем права, успоредна на дадена?
За незнание на тази най-проста задача Славеят Разбойник наказва сурово.
Пример 2
Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение за успоредна права, която минава през точката.
Решение: Означете непознатия ред с буквата . Какво казва условието за това? Правата минава през точката. И ако правите са успоредни, тогава е очевидно, че насочващият вектор на правата "ce" също е подходящ за построяване на правата "de".
Изваждаме вектора на посоката от уравнението:
Отговор:
Геометрията на примера изглежда проста:
Аналитичната проверка се състои от следните стъпки:
1) Проверяваме дали линиите имат еднакъв насочващ вектор (ако уравнението на правата не е правилно опростено, тогава векторите ще бъдат колинеарни).
2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение.
Аналитичната проверка в повечето случаи се извършва лесно устно. Погледнете двете уравнения и много от вас бързо ще разберат как линиите са успоредни без никакъв чертеж.
Примерите за самостоятелно решаване днес ще бъдат креативни. Защото все още трябва да се състезавате с Баба Яга, а тя, знаете, е любител на всякакви гатанки.
Пример 3
Напишете уравнение за права, минаваща през точка, успоредна на правата, ако
Има рационален и не много рационален начин за решаване. Най-краткият път е в края на урока.
Поработихме малко с успоредни прави и ще се върнем към тях по-късно. Случаят на съвпадащи линии не представлява голям интерес, така че нека разгледаме проблем, който ви е добре известен от училищната програма:
Как да намерим пресечната точка на две прави?
Ако прав се пресичат в точката , тогава нейните координати са решението системи от линейни уравнения
Как да намерим пресечната точка на линиите? Решете системата.
Ето за вас геометричен смисъл на системата от две линейни уравненияс две неизвестниса две пресичащи се (най-често) прави в равнина.
Пример 4
Намерете пресечната точка на линиите
Решение: Има два начина за решаване - графичен и аналитичен.
Графичният начин е просто да начертаете дадените линии и да намерите пресечната точка директно от чертежа:
Ето нашата гледна точка: . За да проверите, трябва да замените координатите му във всяко уравнение на права линия, те трябва да пасват и там, и там. С други думи, координатите на точка са решението на системата . Всъщност обмислихме графичен начин за решаване системи от линейни уравненияс две уравнения, две неизвестни.
Графичният метод, разбира се, не е лош, но има забележими недостатъци. Не, въпросът не е, че седмокласниците решават така, въпросът е, че ще отнеме време, за да се направи правилен и ТОЧЕН чертеж. Освен това някои линии не са толкова лесни за конструиране, а самата пресечна точка може да бъде някъде в тридесетото царство извън листа на тетрадката.
Следователно е по-целесъобразно да се търси пресечната точка по аналитичния метод. Нека решим системата:
За решаване на системата е използван методът на почленно събиране на уравнения. За да развиете съответните умения, посетете урока Как се решава система от уравнения?
Отговор:
Проверката е тривиална - координатите на пресечната точка трябва да удовлетворяват всяко уравнение на системата.
Пример 5
Намерете пресечната точка на правите, ако се пресичат.
Това е пример за „направи си сам“. Задачата може удобно да се раздели на няколко етапа. Анализът на състоянието предполага, че е необходимо:
1) Напишете уравнението на права линия.
2) Напишете уравнението на права линия.
3) Намерете относителната позиция на линиите.
4) Ако линиите се пресичат, намерете пресечната точка.
Разработването на алгоритъм за действие е типично за много геометрични задачи и аз многократно ще се фокусирам върху това.
Пълно решение и отговор в края на урока:
Чифт обувки все още не е износен, тъй като стигнахме до втория раздел на урока:
Перпендикулярни линии. Разстоянието от точка до права.
Ъгъл между линиите
Да започнем с една типична и много важна задача. В първата част научихме как да изградим права линия, успоредна на дадената, а сега колибата на пилешките крака ще се обърне на 90 градуса:
Как да начертаем права, перпендикулярна на дадена?
Пример 6
Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение за перпендикулярна права, минаваща през точка.
Решение: По предположение е известно, че . Би било хубаво да се намери насочващият вектор на правата линия. Тъй като линиите са перпендикулярни, трикът е прост:
От уравнението „премахваме“ нормалния вектор: , който ще бъде насочващият вектор на правата линия.
Съставяме уравнението на права линия от точка и насочващ вектор:
Отговор:
Нека разгънем геометричната скица:
Хммм... Оранжево небе, оранжево море, оранжева камила.
Аналитична проверка на решението:
1) Извлечете векторите на посоката от уравненията и с помощта точково произведение на векторизаключаваме, че правите наистина са перпендикулярни: .
Между другото, можете да използвате нормални вектори, дори е по-лесно.
2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение .
Проверката отново е лесна за вербална.
Пример 7
Намерете пресечната точка на перпендикулярни прави, ако уравнението е известно и точка.
Това е пример за „направи си сам“. В задачата има няколко действия, така че е удобно да подредите решението точка по точка.
Нашето вълнуващо пътешествие продължава:
Разстояние от точка до линия
Пред нас е права ивица от реката и нашата задача е да я достигнем по най-краткия път. Няма препятствия, а най-оптималният маршрут ще бъде движението по перпендикуляра. Тоест разстоянието от точка до права е дължината на перпендикулярния сегмент.
Разстоянието в геометрията традиционно се обозначава с гръцката буква "ro", например: - разстоянието от точката "em" до правата линия "de".
Разстояние от точка до линия се изразява с формулата
Пример 8
Намерете разстоянието от точка до права
Решение: всичко, от което се нуждаете, е внимателно да замените числата във формулата и да направите изчисленията:
Отговор:
Нека изпълним чертежа:
Намереното разстояние от точката до правата е точно дължината на червения сегмент. Ако направите рисунка върху карирана хартия в мащаб 1 единица. \u003d 1 cm (2 клетки), тогава разстоянието може да се измери с обикновена линийка.
Помислете за друга задача според същия чертеж:
Задачата е да се намерят координатите на точката, която е симетрична на точката спрямо правата . Предлагам да извършите действията сами, но ще очертая алгоритъма за решение с междинни резултати:
1) Намерете права, която е перпендикулярна на права.
2) Намерете пресечната точка на линиите: .
И двете действия са разгледани подробно в този урок.
3) Точката е средата на отсечката. Знаем координатите на средата и единия от краищата. от формули за координатите на средата на сегментанамирам .
Няма да е излишно да проверите дали разстоянието също е равно на 2,2 единици.
Тук могат да възникнат трудности при изчисленията, но в кулата микрокалкулаторът помага много, което ви позволява да броите обикновени дроби. Съветвал съм много пъти и ще препоръчам отново.
Как да намерим разстоянието между две успоредни прави?
Пример 9
Намерете разстоянието между две успоредни прави
Това е още един пример за независимо решение. Малък съвет: има безкрайно много начини за решаване. Разбор в края на урока, но по-добре се опитайте да познаете сами, мисля, че успяхте да разпръснете изобретателността си добре.
Ъгъл между две прави
Какъвто и да е ъгълът, тогава джамът:
В геометрията ъгълът между две прави се приема за ПО-МАЛКИ ъгъл, от което автоматично следва, че той не може да бъде тъп. На фигурата ъгълът, обозначен с червената дъга, не се счита за ъгъл между пресичащите се линии. И неговият „зелен“ съсед или противоположно ориентиранипурпурен ъгъл.
Ако правите са перпендикулярни, тогава всеки от 4-те ъгъла може да се приеме за ъгъл между тях.
Как се различават ъглите? Ориентация. Първо, посоката на "превъртане" на ъгъла е фундаментално важна. Второ, отрицателно ориентиран ъгъл се записва със знак минус, например, ако .
Защо казах това? Изглежда, че можете да се справите с обичайната концепция за ъгъл. Факт е, че във формулите, по които ще намираме ъглите, лесно може да се получи отрицателен резултат и това не трябва да ви изненадва. Ъгъл със знак минус не е по-лош и има много специфично геометрично значение. На чертежа за отрицателен ъгъл е задължително да посочите ориентацията му (по часовниковата стрелка) със стрелка.
Как да намерим ъгъла между две прави?Има две работни формули:
Пример 10
Намерете ъгъла между линиите
РешениеИ Метод първи
Помислете за две прави линии, дадени от уравнения в общ изглед:
Ако прав не перпендикулярно, Че ориентиранъгълът между тях може да се изчисли по формулата:
Нека обърнем голямо внимание на знаменателя - това е точно скаларно произведениенасочващи вектори на прави линии:
Ако , тогава знаменателят на формулата изчезва и векторите ще бъдат ортогонални и линиите ще бъдат перпендикулярни. Ето защо е направена уговорка за неперпендикулярността на линиите във формулировката.
Въз основа на гореизложеното решението е удобно формализирано в две стъпки:
1) Изчислете скаларното произведение на насочващи вектори на прави линии:
така че линиите не са перпендикулярни.
2) Намираме ъгъла между линиите по формулата:
С помощта на обратната функция е лесно да се намери самият ъгъл. В този случай използваме нечетността на аркутангенса (виж Фиг. Графики и свойства на елементарни функции):
Отговор:
В отговора посочете точна стойност, както и приблизителна стойност (за предпочитане както в градуси, така и в радиани), изчислена с помощта на калкулатор.
Е, минус, значи минус, всичко е наред. Ето геометрична илюстрация:
Не е изненадващо, че ъгълът се оказа с отрицателна ориентация, тъй като в условието на задачата първото число е права линия и "усукването" на ъгъла започва именно от нея.
Ако наистина искате да получите положителен ъгъл, трябва да размените правите линии, тоест да вземете коефициентите от второто уравнение и вземете коефициентите от първото уравнение. Накратко, трябва да започнете с директен .
През юли 2020 г. НАСА стартира експедиция до Марс. Космическият кораб ще отлети до Марс електронна медияс имената на всички регистрирани членове на експедицията.
Ако тази публикация е решила проблема ви или просто ви е харесала, споделете линка към нея с приятелите си в социалните мрежи.
Една от тези опции за код трябва да бъде копирана и поставена в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете
Иили веднага след етикета . Според първата опция MathJax се зарежда по-бързо и забавя страницата по-малко. Но втората опция автоматично проследява и зарежда най-новите версии на MathJax. Ако поставите първия код, той ще трябва да се актуализира периодично. Ако поставите втория код, тогава страниците ще се зареждат по-бавно, но няма да е необходимо постоянно да наблюдавате актуализациите на MathJax.Най-лесният начин да свържете MathJax е в Blogger или WordPress: в контролния панел на сайта добавете изпълним модул, предназначен да вмъква JavaScript код на трета страна, копирайте първата или втората версия на кода за зареждане по-горе в него и поставете изпълнимия модул по-близо до началото на шаблона (между другото, това изобщо не е необходимо, тъй като скриптът MathJax се зарежда асинхронно). Това е всичко. Сега научете синтаксиса за маркиране на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и сте готови да вграждате математически формули във вашите уеб страници.
Поредната новогодишна нощ... мразовито време и снежинки по стъклото на прозореца... Всичко това ме накара отново да пиша за... фракталите и какво знае Wolfram Alpha за тях. По този повод там интересна статия, който съдържа примери за двумерни фрактални структури. Тук ще разгледаме по-сложни примери за триизмерни фрактали.
Фракталът може да бъде визуално представен (описан) като геометрична фигура или тяло (което означава, че и двете са набор, в този случай набор от точки), чиито детайли имат същата форма като самата оригинална фигура. Тоест това е самоподобна структура, разглеждайки детайлите на която при увеличение ще видим същата форма като без увеличение. Докато в случай на обикновена геометрична фигура (не фрактал), когато я увеличим, ще видим детайли, които имат по-проста форма от самата оригинална фигура. Например, при достатъчно голямо увеличение, част от елипса изглежда като прав сегмент. Това не се случва с фракталите: с всяко увеличение в тях, ние отново ще видим същата сложна форма, която с всяко увеличение ще се повтаря отново и отново.
Беноа Манделброт, основателят на науката за фракталите, в своята статия „Фрактали и изкуство за наука“ пише: „Фракталите са геометрични форми, които са толкова сложни в своите детайли, колкото и в цялостната си форма. Тоест, ако част от фрактала ще бъде увеличен до размера на цялото, ще изглежда като цялото, или точно, или може би с лека деформация.
Правата линия в пространството винаги може да се определи като пресечна линия на две неуспоредни равнини. Ако уравнението на една равнина е уравнението на втората равнина, тогава уравнението на правата линия е дадено като
Тук неколинеарни
. Тези уравнения се наричат общи уравнения
права линия в пространството.
Канонични уравнения на правата
Всеки ненулев вектор, лежащ на дадена права или успореден на нея, се нарича насочващ вектор на тази права.
Ако точката е известна
линия и нейния насочващ вектор
, тогава каноничните уравнения на правата имат формата:
. (9)
Параметрични уравнения на права линия
Нека са дадени каноничните уравнения на правата
.
От тук получаваме параметричните уравнения на правата линия:
(10)
Тези уравнения са полезни за намиране на пресечната точка на права и равнина.
Уравнение на права, минаваща през две точки
И
изглежда като:
.
Ъгъл между линиите
Ъгъл между линиите
И
е равен на ъгъла между техните насочващи вектори. Следователно може да се изчисли по формула (4):
Състояние на успоредни прави:
.
Условие за перпендикулярност на равнините:
Разстояние на точка от права линия
П дадена точка
и директно
.
От каноничните уравнения на правата точката е известна
, принадлежаща на правата, и нейния насочващ вектор
. След това разстоянието на точката
от права линия е равна на височината на успоредник, изграден върху вектори И
. следователно
.
Условие за пресичане на линията
Две неуспоредни прави
,
се пресичат тогава и само ако
.
Взаимно разположение на права и равнина.
Нека правата линия
и плосък. Ъгъл между тях може да се намери по формулата
.
Задача 73.Напишете каноничните уравнения на правата
(11)
Решение. За да се запишат каноничните уравнения на правата (9), е необходимо да се знае всяка точка, принадлежаща на правата, и насочващият вектор на правата.
Нека намерим вектора успоредна на дадената права. Тъй като тя трябва да е перпендикулярна на нормалните вектори на тези равнини, т.е.
,
, Че
.
От общите уравнения на правата линия имаме това
,
. Тогава
.
Тъй като точката
всяка точка от линията, тогава нейните координати трябва да отговарят на уравненията на линията и едно от тях може да бъде посочено, например,
, намираме другите две координати от системата (11):
Оттук,
.
Така каноничните уравнения на желаната линия имат формата:
или
.
Задача 74.
И
.
Решение.От каноничните уравнения на първия ред са известни координатите на точката
принадлежащи на правата, и координатите на вектора на посоката
. От каноничните уравнения на втория ред са известни и координатите на точката
и координати на вектора на посоката
.
Разстоянието между успоредните прави е равно на разстоянието на точка
от втория ред. Това разстояние се изчислява по формулата
.
Нека намерим координатите на вектора
.
Изчислете векторното произведение
:
.
Задача 75.Намерете точка симетрична точка
относително прав
.
Решение. Записваме уравнението на равнината, перпендикулярна на дадената права и минаваща през точката . Като негов нормален вектор можем да приемем насочващия вектор като права линия. Тогава
. следователно
Да намерим точка
точката на пресичане на дадената права и равнината P. За да направим това, записваме параметричните уравнения на правата, използвайки уравнения (10), получаваме
следователно
.
Позволявам
точка, симетрична на точка
относно тази линия. Тогава точката
средна точка
. За намиране на координатите на точка използваме формулите за координатите на средата на сегмента:
,
,
.
Така,
.
Задача 76.Напишете уравнението за равнина, минаваща през права линия
И
а) през точка
;
б) перпендикулярна на равнината.
Решение.Нека запишем общите уравнения на тази права линия. За да направите това, разгледайте две равенства:
Това означава, че желаната равнина принадлежи на молив от равнини с образуващи и нейното уравнение може да се запише във формата (8):
а) намерете
И от условието, че равнината минава през точката
, следователно нейните координати трябва да отговарят на уравнението на равнината. Заменете координатите на точката
в уравнението на лъч от равнини:
Намерена стойност
заместваме в уравнение (12). получаваме уравнението на желаната равнина:
б) намерете
И от условието желаната равнина да е перпендикулярна на равнината. Нормалният вектор на дадена равнина
, нормалният вектор на желаната равнина (вижте уравнението за пакет от равнини (12).
Два вектора са перпендикулярни тогава и само ако техният точков продукт е нула. следователно
Заместете намерената стойност
в уравнението на лъч от равнини (12). Получаваме уравнението на желаната равнина:
Задачи за самостоятелно решаване
Задача 77.Приведете в канонична форма уравненията на линиите:
1)
2)
Задача 78.Напишете параметрични уравнения на права линия
, ако:
1)
,
;
2)
,
.
Задача 79. Напишете уравнение за равнина, минаваща през точка
перпендикулярна на правата
Задача 80.Напишете уравненията на права линия, минаваща през точка
перпендикулярна на равнината.
Задача 81.Намерете ъгъла между линиите:
1)
И
;
2)
И
Задача 82.Докажете успоредни прави:
И
.
Задача 83.Докажете перпендикулярността на правите:
И
Задача 84.Изчислете разстоянието на точката
от прав:
1)
;
2)
.
Задача 85.Изчислете разстоянието между успоредни прави:
И
.
Задача 86. В уравнения с права линия
дефинирайте параметър така че тази права да се пресича с правата и да се намери точката на тяхното пресичане.
Задача 87. Покажи, че е прав
успоредна на равнината
, и правата линия
лежи в тази равнина.
Задача 88. Намерете точка симетрична точка спрямо самолета
, ако:
1)
,
;
2)
,
;.
Задача 89.Напишете уравнението за перпендикуляр, пуснат от точка
директно
.
Задача 90. Намерете точка симетрична точка
относително прав
.