วิธีนำรากไปสู่ตัวบ่งชี้ทั่วไป รากที่สอง
สวัสดีลูกแมว! ครั้งที่แล้วเราวิเคราะห์อย่างละเอียดว่ารากคืออะไร (ถ้าคุณจำไม่ได้ฉันแนะนำให้อ่าน) บทสรุปหลักของบทเรียนนั้น: มีเพียงคำจำกัดความเดียวที่เป็นสากลของรากซึ่งคุณต้องรู้ ที่เหลือเป็นเรื่องไร้สาระและเสียเวลา
วันนี้เราไปไกลกว่านั้น เราจะเรียนรู้การคูณราก เราจะศึกษาปัญหาบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับการคูณ (หากปัญหาเหล่านี้ไม่ได้รับการแก้ไข อาจถึงแก่ชีวิตในการสอบได้) และเราจะฝึกฝนอย่างถูกต้อง ดังนั้นตุนข้าวโพดคั่ว ทำตัวให้สบาย - แล้วเราจะเริ่ม :)
คุณยังไม่ได้สูบบุหรี่ใช่ไหม
บทเรียนมีขนาดค่อนข้างใหญ่ ดังนั้นฉันจึงแบ่งออกเป็นสองส่วน:
- อันดับแรก เราจะดูกฎสำหรับการคูณ หมวกดูเหมือนจะบอกใบ้: นี่คือเมื่อมีสองรากมีเครื่องหมาย "คูณ" ระหว่างพวกเขา - และเราต้องการทำอะไรบางอย่างกับมัน
- จากนั้นเราจะวิเคราะห์สถานการณ์ย้อนกลับ: มีหนึ่งรากใหญ่ และเราไม่อดทนที่จะนำเสนอเป็นผลคูณของสองรากในวิธีที่ง่ายกว่า ด้วยความน่ากลัวที่จำเป็นเป็นคำถามที่แยกต่างหาก เราจะวิเคราะห์อัลกอริทึมเท่านั้น
สำหรับใครที่อดใจรอไม่ไหวที่จะเข้าไปอ่านภาค 2 ได้เลย ยินดีต้อนรับครับ เริ่มจากส่วนที่เหลือตามลำดับ
กฎการคูณพื้นฐาน
เริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุด - คลาสสิค รากที่สอง. สิ่งที่แสดงโดย $\sqrt(a)$ และ $\sqrt(b)$ สำหรับพวกเขาแล้ว ทุกอย่างชัดเจน:
กฎการคูณ ในการคูณรากที่สองกับอีกรากหนึ่ง คุณต้องคูณนิพจน์รากที่สองแล้วเขียนผลลัพธ์ภายใต้รากร่วม:
\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]
ไม่มีการกำหนดข้อจำกัดเพิ่มเติมสำหรับตัวเลขทางด้านขวาหรือซ้าย: หากมีรูตตัวคูณอยู่ แสดงว่ามีผลิตภัณฑ์อยู่ด้วย
ตัวอย่าง. พิจารณาสี่ตัวอย่างพร้อมตัวเลขพร้อมกัน:
\[\begin(จัดเรียง) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]
อย่างที่คุณเห็น ความหมายหลักของกฎนี้คือการทำให้นิพจน์อตรรกยะง่ายขึ้น และถ้าในตัวอย่างแรก เราแยกรากจาก 25 และ 4 โดยไม่มีกฎใหม่ ดีบุกจะเริ่มทำงาน: $\sqrt(32)$ และ $\sqrt(2)$ ไม่นับด้วยตัวเอง แต่ ผลคูณของมันกลายเป็นกำลังสองพอดี ดังนั้นรากของมันจึงเท่ากับจำนวนตรรกยะ.
แยกกันฉันต้องการบันทึกบรรทัดสุดท้าย ที่นั่น นิพจน์รากทั้งสองเป็นเศษส่วน ต้องขอบคุณผลิตภัณฑ์ ปัจจัยหลายอย่างถูกยกเลิก และการแสดงออกทั้งหมดกลายเป็นจำนวนที่เพียงพอ
แน่นอนว่าไม่ใช่ทุกสิ่งที่จะสวยงามเสมอไป บางครั้งจะมีอึอยู่ใต้ราก - ยังไม่ชัดเจนว่าจะทำอย่างไรกับมันและจะแปลงร่างอย่างไรหลังจากการคูณ หลังจากนั้นไม่นาน เมื่อคุณเริ่มศึกษาสมการอตรรกยะและอสมการ จะมีตัวแปรและฟังก์ชันทุกประเภทโดยทั่วไป และบ่อยครั้งที่คอมไพเลอร์ของปัญหาเป็นเพียงการพึ่งพาข้อเท็จจริงที่ว่าคุณจะพบเงื่อนไขหรือปัจจัยในการทำสัญญาหลังจากนั้นงานจะง่ายขึ้นมาก
นอกจากนี้ไม่จำเป็นต้องคูณสองรูท คุณสามารถคูณสามในคราวเดียว สี่ - ใช่แม้แต่สิบ! สิ่งนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงกฎ ลองดูสิ:
\[\begin(จัดเรียง) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1,000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]
และข้อสังเกตเล็กน้อยอีกครั้งในตัวอย่างที่สอง อย่างที่คุณเห็นในตัวคูณที่สามมีเศษส่วนทศนิยมอยู่ใต้รูท - ในกระบวนการคำนวณเราจะแทนที่ด้วยเศษส่วนปกติหลังจากนั้นทุกอย่างจะลดลงอย่างง่ายดาย ดังนั้น: ฉันขอแนะนำให้กำจัดเศษส่วนทศนิยมในนิพจน์อตรรกยะใดๆ (นั่นคือ มีไอคอนรากอย่างน้อยหนึ่งตัว) สิ่งนี้จะช่วยคุณประหยัดเวลาและความกังวลในอนาคตได้อย่างมาก
แต่มันเป็นการพูดนอกเรื่องโคลงสั้น ๆ ทีนี้ลองพิจารณากรณีทั่วไปมากขึ้น เมื่อเลขยกกำลังหลักมีตัวเลข $n$ ตามอำเภอใจ ไม่ใช่แค่เลขฐานสอง "คลาสสิค"
กรณีของตัวบ่งชี้โดยพลการ
เราก็หาสแควร์รูทได้แล้ว แล้วจะทำอย่างไรกับลูกบาศก์? หรือโดยทั่วไปมีรากของระดับโดยพลการ $n$? ใช่ทุกอย่างเหมือนกัน กฎยังคงเหมือนเดิม:
ในการคูณสองรากของระดับ $n$ ก็เพียงพอแล้วที่จะคูณนิพจน์รากของมัน หลังจากนั้นผลลัพธ์จะถูกเขียนภายใต้หนึ่งราก
โดยทั่วไปไม่มีอะไรซับซ้อน เว้นแต่ปริมาณการคำนวณจะมากกว่านี้ ลองดูตัวอย่างสองสามข้อ:
ตัวอย่าง. คำนวณผลิตภัณฑ์:
\[\begin(จัดเรียง) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]
และให้ความสนใจกับการแสดงออกที่สองอีกครั้ง เราคูณรากที่สาม กำจัดเศษส่วนทศนิยม และผลที่ได้คือผลคูณของตัวเลข 625 และ 25 ในตัวส่วน นี่เป็นจำนวนที่ค่อนข้างมาก - โดยส่วนตัวแล้วฉันจะไม่คำนวณทันทีว่ามันเท่ากัน ถึง.
ดังนั้นเราจึงเลือกลูกบาศก์ที่แน่นอนในตัวเศษและตัวส่วน จากนั้นจึงใช้หนึ่งในคุณสมบัติหลัก (หรือ ถ้าคุณต้องการ นิยาม) ของรากของระดับ $n$th:
\[\begin(จัดเรียง) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| ก\right|. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]
"การหลอกลวง" ดังกล่าวสามารถช่วยคุณประหยัดเวลาในการสอบหรือ ควบคุมการทำงานดังนั้นจำไว้ว่า:
อย่ารีบเร่งที่จะคูณตัวเลขในนิพจน์ราก ขั้นแรก ตรวจสอบ: จะเกิดอะไรขึ้นถ้าระดับที่แน่นอนของการแสดงออกใด ๆ ถูก "เข้ารหัส" ที่นั่น
ด้วยความชัดเจนของคำพูดนี้ ผมต้องยอมรับว่านักเรียนที่ไม่ได้เตรียมตัวมาระยะเผาขนส่วนใหญ่มองไม่เห็นองศาที่แน่นอน พวกเขาคูณทุกอย่างไปข้างหน้าแทน แล้วสงสัยว่า: ทำไมพวกเขาถึงได้รับตัวเลขที่โหดร้ายเช่นนี้ :)
อย่างไรก็ตาม ทั้งหมดนี้คือการเล่นของเด็กเมื่อเทียบกับสิ่งที่เราจะศึกษาในตอนนี้
การคูณรากด้วยเลขชี้กำลังต่างๆ
ตอนนี้เราสามารถคูณรากด้วยเลขชี้กำลังเดียวกันได้แล้ว แล้วถ้าคะแนนต่างกันล่ะ? พูดว่า คุณจะคูณ $\sqrt(2)$ ธรรมดาด้วยค่าไร้สาระอย่าง $\sqrt(23)$ ได้อย่างไร มันเป็นไปได้ที่จะทำเช่นนี้?
ใช่ แน่นอน คุณทำได้ ทุกอย่างทำตามสูตรนี้:
กฎการคูณราก ในการคูณ $\sqrt[n](a)$ ด้วย $\sqrt[p](b)$ ให้ทำการแปลงดังต่อไปนี้:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
อย่างไรก็ตาม สูตรนี้จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อ นิพจน์ที่รุนแรงไม่ใช่ค่าลบ. นี่เป็นคำพูดที่สำคัญมากซึ่งเราจะกลับมาในภายหลัง
สำหรับตอนนี้ มาดูตัวอย่างกัน:
\[\begin(จัดเรียง) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3))))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625) \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]
อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อน ทีนี้มาดูกันว่าข้อกำหนดการไม่ปฏิเสธนั้นมาจากไหน และจะเกิดอะไรขึ้นหากเราฝ่าฝืน :)
![](https://i2.wp.com/berdov.com/img/docs/radikal/umnozhenie-kornej/pravila-umnojeniya-korney.png)
เหตุใดการแสดงออกที่รุนแรงจึงต้องไม่เป็นเชิงลบ
แน่นอน คุณสามารถเป็นเหมือนครูในโรงเรียนและอ้างอิงตำราเรียนด้วยรูปลักษณ์ที่ชาญฉลาด:
ข้อกำหนดของการไม่ปฏิเสธนั้นสัมพันธ์กับคำจำกัดความที่แตกต่างกันของรากขององศาคู่และคี่ (ตามลำดับ โดเมนของคำจำกัดความก็แตกต่างกันเช่นกัน)
มันชัดเจนขึ้นแล้วเหรอ? โดยส่วนตัวแล้วเมื่อฉันอ่านเรื่องไร้สาระนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ฉันเข้าใจสิ่งนี้สำหรับตัวเอง: "ข้อกำหนดของการไม่ปฏิเสธเกี่ยวข้องกับ *#&^@(*#@^#)~%" - ในระยะสั้นฉัน ไม่เข้าใจอึในเวลานั้น :)
ตอนนี้ฉันจะอธิบายทุกอย่างตามปกติ
อันดับแรก มาดูกันว่าสูตรคูณด้านบนมาจากไหน ในการทำเช่นนี้ ให้ฉันเตือนคุณถึงคุณสมบัติที่สำคัญอย่างหนึ่งของรูท:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราสามารถยกระดับนิพจน์รูทเป็นค่าพลังธรรมชาติ $k$ ได้อย่างปลอดภัย - ในกรณีนี้ ดัชนีรูทจะต้องคูณด้วยพลังเดียวกัน ดังนั้นเราจึงสามารถลดรากใด ๆ ให้เป็นตัวบ่งชี้ทั่วไปได้อย่างง่ายดาย หลังจากนั้นเราจะคูณ นี่คือที่มาของสูตรการคูณ:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
แต่มีปัญหาหนึ่งที่ จำกัด การใช้สูตรเหล่านี้อย่างมาก พิจารณาตัวเลขนี้:
ตามสูตรที่ให้มา เราสามารถบวกดีกรีเท่าไหร่ก็ได้ ลองเพิ่ม $k=2$:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]
เราลบลบออกอย่างแม่นยำเพราะกำลังสองเผาลบ (เช่นเดียวกับองศาคู่อื่นๆ) ทีนี้มาทำการแปลงกลับ: "ลด" ทั้งสองในเลขชี้กำลังและดีกรี ท้ายที่สุด ความเท่าเทียมกันสามารถอ่านได้ทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย:
\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\ลูกศรขวา \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](ก); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\ลูกศรขวา \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]
แต่แล้วบางสิ่งที่บ้าคลั่งก็เกิดขึ้น:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]
ไม่ได้เป็นเพราะ $\sqrt(-5) \lt 0$ และ $\sqrt(5) \gt 0$ ซึ่งหมายความว่าสูตรของเราใช้ไม่ได้อีกต่อไปสำหรับเลขยกกำลังและเลขติดลบ หลังจากนั้นเรามีสองทางเลือก:
- เพื่อต่อสู้กับกำแพงเพื่อระบุว่าคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่โง่เขลาโดยที่ "มีกฎบางอย่าง แต่สิ่งนี้ไม่ถูกต้อง";
- แนะนำข้อ จำกัด เพิ่มเติมซึ่งสูตรจะทำงานได้ 100%
ในตัวเลือกแรกเราจะต้องจับกรณีที่ "ไม่ทำงาน" อย่างต่อเนื่องซึ่งเป็นเรื่องยากยาวและโดยทั่วไปแล้ว ดังนั้น นักคณิตศาสตร์จึงเลือกตัวเลือกที่สอง :)
แต่ไม่ต้องกังวล! ในทางปฏิบัติ ข้อ จำกัด นี้ไม่ส่งผลกระทบต่อการคำนวณ แต่อย่างใดเนื่องจากปัญหาที่อธิบายไว้ทั้งหมดเกี่ยวข้องกับรากของระดับคี่เท่านั้นและสามารถลบออกได้
ดังนั้นเราจึงกำหนดกฎอื่นที่ใช้โดยทั่วไปกับการกระทำทั้งหมดที่มีราก:
ก่อนคูณราก ตรวจสอบให้แน่ใจว่านิพจน์รากไม่เป็นลบ
ตัวอย่าง. ในจำนวน $\sqrt(-5)$ คุณสามารถนำเครื่องหมายลบออกจากใต้เครื่องหมายรูท จากนั้นทุกอย่างจะเรียบร้อยดี:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\ลูกศรขวา \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]
รู้สึกถึงความแตกต่าง? หากคุณใส่เครื่องหมายลบไว้ใต้ราก เมื่อนิพจน์รากถูกยกกำลังสอง มันจะหายไปและจะเริ่มอึ และถ้าคุณนำเครื่องหมายลบออกก่อน คุณยังสามารถเพิ่มหรือลบสี่เหลี่ยมได้จนกว่าใบหน้าของคุณจะเป็นสีน้ำเงิน - ตัวเลขจะยังคงเป็นค่าลบ :)
ดังนั้น วิธีที่ถูกต้องและน่าเชื่อถือที่สุดในการคูณรากมีดังนี้:
- ลบ minuses ทั้งหมดจากภายใต้อนุมูล เครื่องหมายลบอยู่ในรากของความหลายหลากแบบคี่เท่านั้น - สามารถวางไว้ข้างหน้ารากและถ้าจำเป็นให้ลดลง (ตัวอย่างเช่นหากมี minuses สองตัวนี้)
- ดำเนินการคูณตามกฎที่กล่าวไว้ข้างต้นในบทเรียนวันนี้ ถ้าดัชนีของรูทเหมือนกัน ให้คูณนิพจน์รูท และถ้าต่างกัน เราจะใช้สูตรชั่วร้าย \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(น) ))\].
- 3. เราสนุกกับผลการเรียนและผลการเรียนที่ดี :)
ดี? เรามาฝึกกันไหม?
ตัวอย่างที่ 1 ลดความซับซ้อนของนิพจน์:
\[\begin(จัดเรียง) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(จัดเรียง)\]
นี่เป็นตัวเลือกที่ง่ายที่สุด: ตัวบ่งชี้ของรูตนั้นเหมือนกันและแปลกปัญหาอยู่ที่ตัวคูณที่สองเท่านั้น เราอดทนต่อ nafig ลบนี้หลังจากนั้นทุกอย่างจะถูกพิจารณาอย่างง่ายดาย
ตัวอย่างที่ 2 ลดความซับซ้อนของนิพจน์:
\[\begin(จัดเรียง) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2))))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( จัดตำแหน่ง)\]
ในที่นี้ หลายคนคงสับสนกับข้อเท็จจริงที่ว่าผลลัพธ์ออกมาเป็นจำนวนอตรรกยะ ใช่ มันเกิดขึ้น: เราไม่สามารถกำจัดรากได้อย่างสมบูรณ์ แต่อย่างน้อยเราก็ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นอย่างมาก
ตัวอย่างที่ 3 ลดความซับซ้อนของนิพจน์:
\[\begin(จัดเรียง) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( ก)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]
นี่คือสิ่งที่ฉันต้องการดึงดูดความสนใจของคุณ มีสองจุดที่นี่:
- ใต้รากไม่ใช่จำนวนหรือระดับเฉพาะ แต่เป็นตัวแปร $a$ ได้อย่างรวดเร็วก่อนนี่เป็นเรื่องผิดปกติเล็กน้อย แต่ในความเป็นจริงเมื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์คุณมักจะต้องจัดการกับตัวแปร
- ในท้ายที่สุด เราสามารถ "ลด" เลขชี้กำลังและระดับรากในนิพจน์รากได้ สิ่งนี้เกิดขึ้นค่อนข้างบ่อย และนั่นหมายความว่าเป็นไปได้ที่จะทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมากหากคุณไม่ใช้สูตรหลัก
ตัวอย่างเช่น คุณสามารถทำได้:
\[\begin(จัดเรียง) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(จัดเรียง)\]
ในความเป็นจริง การแปลงทั้งหมดดำเนินการกับรากที่สองเท่านั้น และถ้าคุณไม่ลงรายละเอียดในขั้นตอนกลางทั้งหมด จำนวนการคำนวณจะลดลงอย่างมากในตอนท้าย
ในความเป็นจริง เราพบงานที่คล้ายคลึงกันข้างต้นแล้วเมื่อแก้ไขตัวอย่าง $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ ตอนนี้สามารถเขียนได้ง่ายขึ้นมาก:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2))))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75) \end(จัดเรียง)\]
เราหาผลคูณของรากได้แล้ว ตอนนี้พิจารณาการดำเนินการผกผัน: จะทำอย่างไรเมื่อมีงานอยู่ใต้รูท?
เนื้อหาของบทความนี้ควรได้รับการพิจารณาว่าเป็นส่วนหนึ่งของการแปลงหัวข้อของนิพจน์ที่ไม่ลงตัว ที่นี่โดยใช้ตัวอย่างเราจะวิเคราะห์รายละเอียดปลีกย่อยและความแตกต่างทั้งหมด (ซึ่งมีจำนวนมาก) ที่เกิดขึ้นเมื่อดำเนินการแปลงตามคุณสมบัติของราก
การนำทางหน้า
จำคุณสมบัติของราก
เนื่องจากเราจะจัดการกับการเปลี่ยนแปลงของนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติของราก จึงไม่เจ็บที่จะจำหลัก หรือดีกว่านั้น เขียนลงบนกระดาษแล้ววางไว้ข้างหน้าคุณ
อันดับแรก ศึกษารากที่สองและคุณสมบัติต่อไปนี้ (a, b, a 1, a 2, ..., a k เป็นจำนวนจริง):
และต่อมาแนวคิดของรูตก็ขยายออก นิยามของรูตของระดับที่ n ถูกนำมาใช้ และพิจารณาคุณสมบัติดังกล่าว (a, b, a 1, a 2, ..., a k เป็นจำนวนจริง ม., n, n 1, n 2, ... , n k - ตัวเลขธรรมชาติ):
การแปลงนิพจน์ด้วยตัวเลขภายใต้เครื่องหมายรูท
ตามปกติแล้ว พวกเขาจะเรียนรู้วิธีทำงานกับนิพจน์ตัวเลขก่อน และหลังจากนั้นจึงค่อยเปลี่ยนไปใช้นิพจน์ที่มีตัวแปร เราจะทำเช่นเดียวกัน และก่อนอื่นเราจะจัดการกับการแปลงนิพจน์อตรรกยะที่มีเฉพาะนิพจน์ที่เป็นตัวเลขภายใต้เครื่องหมายของราก และต่อไปในย่อหน้าถัดไป เราจะแนะนำตัวแปรภายใต้เครื่องหมายของราก
สิ่งนี้สามารถใช้เพื่อแปลงนิพจน์ได้อย่างไร ง่ายมาก ตัวอย่างเช่น เราสามารถแทนที่นิพจน์อตรรกยะด้วยนิพจน์ หรือในทางกลับกัน นั่นคือ ถ้านิพจน์ที่แปลงแล้วมีนิพจน์ที่ตรงกับนิพจน์จากส่วนซ้าย (ขวา) ของคุณสมบัติใด ๆ ที่แสดงรายการของราก จากนั้นนิพจน์นั้นจะถูกแทนที่ด้วยนิพจน์ที่เกี่ยวข้องจากส่วนขวา (ซ้าย) นี่คือการแปลงนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติของราก
ลองมาดูตัวอย่างเพิ่มเติม
มาทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น . เลข 3 , 5 และ 7 เป็นค่าบวก ดังนั้นเราจึงสามารถใช้คุณสมบัติของรากได้อย่างปลอดภัย คุณสามารถทำหน้าที่แตกต่างกันได้ที่นี่ ตัวอย่างเช่น รูทตามคุณสมบัติสามารถแสดงเป็น และรูทตามคุณสมบัติที่มี k=3 เป็น ด้วยวิธีนี้ วิธีแก้ปัญหาจะมีลักษณะดังนี้:
เป็นไปได้ที่จะทำอย่างอื่น โดยแทนที่ด้วย , แล้วตามด้วย , ในกรณีนี้ วิธีแก้ปัญหาจะมีลักษณะดังนี้:
วิธีแก้ปัญหาอื่นๆ เป็นไปได้ เช่น:
ลองมาดูอีกตัวอย่างหนึ่ง มาแปลงสำนวนกันเถอะ เมื่อดูรายการคุณสมบัติของรูทเราเลือกคุณสมบัติที่เราต้องการเพื่อแก้ไขตัวอย่างเป็นที่ชัดเจนว่าสองคุณสมบัตินั้นมีประโยชน์ที่นี่ซึ่งใช้ได้กับไฟล์ . เรามี:
อีกทางหนึ่ง เราสามารถแปลงนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูทก่อนโดยใช้
แล้วใช้คุณสมบัติของราก
จนถึงจุดนี้ เราได้แปลงนิพจน์ที่มีเฉพาะรากที่สอง ได้เวลาทำงานกับรูทที่มีตัวบ่งชี้อื่น ๆ
ตัวอย่าง.
เปลี่ยนการแสดงออกที่ไม่ลงตัว .
สารละลาย.
โดยทรัพย์สิน ปัจจัยแรกของผลคูณที่กำหนดสามารถแทนที่ด้วยตัวเลข −2:
ไปข้างหน้า โดยอาศัยคุณสมบัติปัจจัยที่สองสามารถแสดงเป็นและไม่เจ็บที่จะแทนที่ 81 ด้วยกำลังสี่เท่าของสามเนื่องจากเลข 3 ปรากฏในปัจจัยที่เหลือภายใต้สัญลักษณ์ของราก:
ขอแนะนำให้แทนที่รากของเศษส่วนด้วยอัตราส่วนของรากของแบบฟอร์ม ซึ่งสามารถแปลงเพิ่มเติมได้: . เรามี
นิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์หลังจากดำเนินการกับ twos จะอยู่ในรูปแบบ และจะยังคงแปลงผลคูณของราก
ในการแปลงผลิตภัณฑ์ของรูทมักจะลดลงเหลือตัวบ่งชี้เดียวซึ่งแนะนำให้ใช้ตัวบ่งชี้ของรูตทั้งหมด ในกรณีของเรา LCM(12, 6, 12)=12 และจะต้องลดรูทเป็นตัวบ่งชี้นี้เท่านั้น เนื่องจากอีกสองตัวรูทมีตัวบ่งชี้ดังกล่าวอยู่แล้ว เพื่อรับมือกับงานนี้ให้มีความเท่าเทียมกันซึ่งใช้จากขวาไปซ้าย ดังนั้น . พิจารณาผลลัพธ์นี้เรามี
ตอนนี้ผลคูณของรูทสามารถถูกแทนที่ด้วยรูทของผลิตภัณฑ์และการแปลงที่เหลือซึ่งชัดเจนอยู่แล้วสามารถดำเนินการได้:
มาทำวิธีแก้ปัญหาแบบสั้น:
คำตอบ:
.
เราเน้นย้ำว่าในการใช้คุณสมบัติของรากจำเป็นต้องคำนึงถึงข้อ จำกัด ที่กำหนดให้กับตัวเลขภายใต้สัญลักษณ์ของราก (a≥0 ฯลฯ ) การเพิกเฉยอาจนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่น เรารู้ว่าคุณสมบัตินั้นคงไว้สำหรับ a ที่ไม่เป็นค่าลบ เราสามารถไปได้อย่างปลอดภัย ตัวอย่างเช่น จาก ถึง เนื่องจาก 8 เป็นจำนวนบวก แต่ถ้าเราหารากที่มีความหมายของจำนวนลบ ตัวอย่างเช่น และตามคุณสมบัติข้างต้น แทนที่ด้วย เราก็จะแทนที่ −2 ด้วย 2 แท้จริงแล้ว ก. นั่นคือ สำหรับค่าลบ a ความเท่าเทียมกันอาจเป็นเท็จ เช่นเดียวกับคุณสมบัติอื่นๆ ของรากอาจเป็นเท็จโดยไม่คำนึงถึงเงื่อนไขที่ระบุสำหรับพวกมัน
แต่สิ่งที่พูดในย่อหน้าก่อนหน้าไม่ได้หมายความว่านิพจน์ที่มีตัวเลขติดลบภายใต้เครื่องหมายรูตไม่สามารถแปลงโดยใช้คุณสมบัติของรูทได้ พวกเขาเพียงแค่ต้อง "เตรียมการ" ล่วงหน้าโดยใช้กฎการดำเนินการกับตัวเลขหรือใช้นิยามของรากดีกรีคี่จากจำนวนลบ ซึ่งสอดคล้องกับความเท่ากัน โดยที่ −a เป็นจำนวนลบ (ในขณะที่ a เป็นค่าบวก) . ตัวอย่างเช่น ไม่สามารถแทนที่ด้วย −2 และ −3 ในทันที เนื่องจาก −2 และ −3 เป็นจำนวนลบ แต่ช่วยให้เราสามารถย้ายจากรากไปยัง แล้วจึงใช้คุณสมบัติของรากจากผลคูณ: . และในหนึ่งในตัวอย่างก่อนหน้านี้ จำเป็นต้องย้ายจากรูทไปยังรูทของระดับที่สิบแปด ไม่ใช่แบบนี้ แต่แบบนี้
.
ดังนั้น ในการแปลงนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติของราก คุณต้องทำ
- เลือกคุณสมบัติที่เหมาะสมจากรายการ
- ตรวจสอบให้แน่ใจว่าตัวเลขภายใต้รูทตรงตามเงื่อนไขสำหรับคุณสมบัติที่เลือก (มิฉะนั้น คุณต้องทำการแปลงเบื้องต้น)
- และดำเนินการเปลี่ยนแปลงตามที่ตั้งใจไว้
การแปลงนิพจน์ด้วยตัวแปรภายใต้เครื่องหมายรูท
ในการแปลงนิพจน์อตรรกยะที่ไม่เพียงแต่มีตัวเลขเท่านั้นแต่ยังมีตัวแปรภายใต้เครื่องหมายรูทด้วย ต้องใช้คุณสมบัติของรูทที่แสดงในย่อหน้าแรกของบทความนี้อย่างระมัดระวัง นี่เป็นเพราะเงื่อนไขส่วนใหญ่ที่ต้องเป็นไปตามตัวเลขที่เกี่ยวข้องในสูตร ตัวอย่างเช่น ตามสูตร นิพจน์สามารถแทนที่ด้วยนิพจน์เฉพาะสำหรับค่า x ที่ตรงตามเงื่อนไข x≥0 และ x+1≥0 เนื่องจากสูตรที่ระบุถูกตั้งค่าสำหรับ a≥0 และ b≥ 0 .
อันตรายจากการละเลยเงื่อนไขเหล่านี้คืออะไร? คำตอบสำหรับคำถามนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนจากตัวอย่างต่อไปนี้ สมมติว่าเราต้องคำนวณค่าของนิพจน์เมื่อ x=−2 ถ้าเราแทนค่า −2 ทันทีแทนตัวแปร x เราก็จะได้ค่าที่ต้องการ . และตอนนี้ลองจินตนาการว่า จากการพิจารณาบางประการ เราแปลงนิพจน์ที่กำหนดให้เป็นรูปแบบ และหลังจากนั้นเราก็ตัดสินใจคำนวณค่า เราแทนจำนวน −2 แทน x และมาถึงนิพจน์
ซึ่งไม่สมเหตุสมผล
ลองมาดูกันว่าเกิดอะไรขึ้นกับช่วงของค่าที่ถูกต้อง (ODV) ของตัวแปร x เมื่อเราย้ายจากนิพจน์หนึ่งไปยังอีกนิพจน์หนึ่ง เราไม่ได้กล่าวถึง ODZ โดยบังเอิญ เนื่องจากนี่เป็นเครื่องมือที่สำคัญสำหรับการควบคุมการยอมรับของการเปลี่ยนแปลงที่ดำเนินการ และการเปลี่ยนแปลง ODZ หลังจากการเปลี่ยนแปลงของนิพจน์อย่างน้อยควรแจ้งเตือน การค้นหา ODZ สำหรับนิพจน์เหล่านี้ไม่ใช่เรื่องยาก สำหรับนิพจน์ ODZ ถูกกำหนดจากอสมการ x (x+1)≥0 วิธีแก้ปัญหาจะให้ชุดตัวเลข (−∞, −1]∪∪∪)