บรรทัดฐานเมทริกซ์ ความสอดคล้องและการอยู่ใต้บังคับบัญชาของบรรทัดฐาน
ยูทูบ สารานุกรม
1 / 1
✪ บรรทัดฐานเวกเตอร์ ตอนที่ 4
คำบรรยาย
คำนิยาม
ให้ K เป็นฟิลด์หลัก (โดยปกติคือ เค = ร หรือ เค = ค ) และเป็นพื้นที่เชิงเส้นของเมทริกซ์ทั้งหมดที่มี m แถวและ n คอลัมน์ ประกอบด้วยองค์ประกอบ K บรรทัดฐานถูกกำหนดไว้ในช่องว่างของเมทริกซ์หากแต่ละเมทริกซ์เชื่อมโยงกับจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ ‖ เอ ‖ (\displaystyle \|A\|)เรียกว่าบรรทัดฐานของมันเพื่อที่ว่า
ในกรณีของเมทริกซ์กำลังสอง (เช่น ม = น) สามารถคูณเมทริกซ์ได้โดยไม่ต้องเว้นช่องว่าง ดังนั้นบรรทัดฐานในช่องว่างเหล่านี้จึงเป็นไปตามคุณสมบัติ การทวีคูณ :
การคูณย่อยสามารถดำเนินการได้สำหรับบรรทัดฐานของเมทริกซ์ที่ไม่ใช่ตาราง แต่กำหนดไว้สำหรับขนาดที่ต้องการหลายขนาดพร้อมกัน กล่าวคือ ถ้า A เป็นเมทริกซ์ ℓ × มและ B เป็นเมทริกซ์ ม × น, ที่ เอ บี- เมทริกซ์ ℓ × น .
บรรทัดฐานของผู้ปฏิบัติงาน
คลาสของบรรทัดฐานเมทริกซ์ที่สำคัญคือ บรรทัดฐานของผู้ปฏิบัติงานเรียกอีกอย่างว่า ผู้ใต้บังคับบัญชา หรือ ชักนำ . บรรทัดฐานของตัวดำเนินการถูกสร้างขึ้นโดยเฉพาะตามบรรทัดฐานทั้งสองที่กำหนดไว้ใน และ ตามข้อเท็จจริงที่ว่าเมทริกซ์ใดๆ ม × นแสดงโดยตัวดำเนินการเชิงเส้นจาก K n (\displaystyle K^(n))วี K ม. (\displaystyle K^(ม.)). โดยเฉพาะ
‖ A ‖ = เสริม ( ‖ A x ‖ : x ∈ K n , ‖ x ‖ = 1 ) = เสริม ( ‖ A x ‖ ‖ x ‖ : x ∈ K n , x ≠ 0 ) (\displaystyle (\begin(ชิด)\|A\|&=\sup\(\|Ax\|:x\in K^(n),\ \|x\|=1\)\\&=\ sup \left\((\frac (\|Ax\|)(\|x\|)):x\in K^(n),\ x\neq 0\right\).\end(ชิด)))ภายใต้เงื่อนไขที่ว่าบรรทัดฐานบนปริภูมิเวกเตอร์มีการระบุอย่างสม่ำเสมอ บรรทัดฐานดังกล่าวเป็นการคูณย่อย (ดู )
ตัวอย่างบรรทัดฐานของผู้ปฏิบัติงาน
คุณสมบัติของบรรทัดฐานสเปกตรัม:
- ค่ามาตรฐานสเปกตรัมของตัวดำเนินการเท่ากับค่าเอกพจน์สูงสุดของตัวดำเนินการนี้
- ค่ามาตรฐานสเปกตรัมของตัวดำเนินการปกติจะเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของค่าลักษณะเฉพาะของโมดูโลของตัวดำเนินการนี้
- บรรทัดฐานสเปกตรัมไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเมทริกซ์ถูกคูณด้วยเมทริกซ์มุมฉาก (รวม)
บรรทัดฐานของเมทริกซ์ที่ไม่ใช่ตัวดำเนินการ
มีบรรทัดฐานเมทริกซ์ที่ไม่ใช่บรรทัดฐานของตัวดำเนินการ แนวคิดของบรรทัดฐานของเมทริกซ์ที่ไม่ใช่ตัวดำเนินการได้รับการแนะนำโดย Yu. I. Lyubich และศึกษาโดย G. R. Belitsky
ตัวอย่างของบรรทัดฐานที่ไม่ใช่ตัวดำเนินการ
ตัวอย่างเช่น พิจารณาบรรทัดฐานของตัวดำเนินการที่แตกต่างกันสองแบบ ‖ A ‖ 1 (\displaystyle \|A\|_(1))และ ‖ A ‖ 2 (\displaystyle \|A\|_(2))เช่นบรรทัดฐานของแถวและคอลัมน์ สร้างบรรทัดฐานใหม่ ‖ A ‖ = m a x (‖ A ‖ 1 , ‖ A ‖ 2) (\displaystyle \|A\|=max(\|A\|_(1),\|A\|_(2))). บรรทัดฐานใหม่มีคุณสมบัติเป็นรูปวงแหวน ‖ A B ‖ ≤ ‖ A ‖ ‖ B ‖ (\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|), รักษาหน่วย ‖ ฉัน ‖ = 1 (\displaystyle \|I\|=1)และไม่ใช่โอเปอเรเตอร์
ตัวอย่างของบรรทัดฐาน
เวกเตอร์ พี (\displaystyle p)-บรรทัดฐาน
สามารถพิจารณาได้ m × n (\displaystyle m\times n)เมทริกซ์เป็นเวกเตอร์ขนาด m n (\displaystyle mn)และใช้บรรทัดฐานเวกเตอร์มาตรฐาน:
‖ A ‖ p = ‖ v e c (A) ‖ p = (∑ i = 1 m ∑ j = 1 n | a i j | p) 1 / p (\displaystyle \|A\|_(p)=\|\mathrm ( vec) (A)\|_(p)=\left(\sum _(i=1)^(m)\sum _(j=1)^(n)|a_(ij)|^(p)\ ขวา)^(1/หน้า))บรรทัดฐานของโฟรเบเนียส
บรรทัดฐานของโฟรเบเนียส, หรือ บรรทัดฐานแบบยุคลิดเป็นกรณีพิเศษของ p-norm สำหรับ หน้า = 2 : ‖ A ‖ F = ∑ i = 1 ม. ∑ j = 1 n a i j 2 (\displaystyle \|A\|_(F)=(\sqrt (\sum _(i=1)^(m)\sum _(j =1)^(n)a_(ij)^(2)))).
บรรทัดฐานของ Frobenius นั้นง่ายต่อการคำนวณ (เมื่อเทียบกับตัวอย่าง บรรทัดฐานสเปกตรัม) มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
‖ ก x ‖ 2 2 = ∑ i = 1 m | ∑ j = 1 n a ฉัน j x j | 2 ≤ ∑ i = 1 m (∑ j = 1 n | a i j | 2 ∑ j = 1 n | x j | 2) = ∑ j = 1 n | x เจ | 2 ‖ A ‖ F 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ x ‖ 2 2 . (\displaystyle \|Ax\|_(2)^(2)=\sum _(i=1)^(m)\left|\sum _(j=1)^(n)a_(ij)x_( ญ)\right|^(2)\leq \sum _(i=1)^(m)\left(\sum _(j=1)^(n)|a_(ij)|^(2)\sum _(j=1)^(n)|x_(j)|^(2)\right)=\sum _(j=1)^(n)|x_(j)|^(2)\|A\ |_(F)^(2)=\|A\|_(F)^(2)\|x\|_(2)^(2))- Submultiplicativity: ‖ A B ‖ F ≤ ‖ A ‖ F ‖ B ‖ F (\displaystyle \|AB\|_(F)\leq \|A\|_(F)\|B\|_(F)), เพราะ ‖ A B ‖ F 2 = ∑ ผม , j | ∑ k a i k b k j | 2 ≤ ∑ ผม , j (∑ k | a i k | | b k j |) 2 ≤ ∑ ผม , j (∑ k | a i k | 2 ∑ k | b k j | 2) = ∑ ผม , k | ฉัน k | 2 ∑ k , j | bkj | 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ B ‖ F 2 (\displaystyle \|AB\|_(F)^(2)=\sum _(i,j)\left|\sum _(k)a_(ik) b_(kj)\right|^(2)\leq \sum _(i,j)\left(\sum _(k)|a_(ik)||b_(kj)|\right)^(2)\ leq \sum _(i,j)\left(\sum _(k)|a_(ik)|^(2)\sum _(k)|b_(kj)|^(2)\right)=\sum _(i,k)|a_(ik)|^(2)\sum _(k,j)|b_(kj)|^(2)=\|A\|_(F)^(2)\| B\|_(F)^(2)).
- ‖ A ‖ F 2 = t r A ∗ A = t r A A ∗ (\displaystyle \|A\|_(F)^(2)=\mathop (\rm (tr)) A^(*)A=\ คณิตศาสตร์ (\rm (tr)) AA^(*)), ที่ไหน t r A (\displaystyle \mathop (\rm (tr)) A)- การติดตามเมทริกซ์ เอ (\displaystyle A), A ∗ (\displaystyle A^(*))เป็นเมทริกซ์คอนจูเกตเฮอร์มีเชียน
- ‖ A ‖ F 2 = ρ 1 2 + ρ 2 2 + ⋯ + ρ n 2 (\displaystyle \|A\|_(F)^(2)=\rho _(1)^(2)+\rho _ (2)^(2)+\จุด +\rho _(n)^(2)), ที่ไหน ρ 1 , ρ 2 , … , ρ n (\displaystyle \rho _(1),\rho _(2),\dots ,\rho _(n))- ค่าเอกพจน์ของเมทริกซ์ เอ (\displaystyle A).
- ‖ A ‖ F (\displaystyle \|A\|_(F))ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อคูณเมทริกซ์ เอ (\displaystyle A)ซ้ายหรือขวาเข้าสู่เมทริกซ์มุมฉาก (เอกภาพ)
โมดูลสูงสุด
บรรทัดฐานโมดูลัสสูงสุดเป็นอีกกรณีพิเศษของบรรทัดฐาน p สำหรับ หน้า = ∞ .
‖ A ‖ สูงสุด = สูงสุด ( | a i j | ) . (\displaystyle \|A\|_(\text(max))=\max\(|a_(ij)|\))นอร์มอลแตก
ความสอดคล้องของบรรทัดฐานของเมทริกซ์และเวกเตอร์
บรรทัดฐานเมทริกซ์ ‖ ⋅ ‖ a b (\displaystyle \|\cdot \|_(ab))บน K m × n (\displaystyle K^(m\times n))เรียกว่า เห็นด้วยด้วยบรรทัดฐาน ‖ ⋅ ‖ ก (\displaystyle \|\cdot \|_(a))บน K n (\displaystyle K^(n))และ ‖ ⋅ ‖ b (\displaystyle \|\cdot \|_(b))บน K ม. (\displaystyle K^(ม.)), ถ้า:
‖ A x ‖ b ≤ ‖ A ‖ a b ‖ x ‖ a (\displaystyle \|Ax\|_(b)\leq \|A\|_(ab)\|x\|_(a))สำหรับใดๆ A ∈ K m × n , x ∈ K n (\displaystyle A\in K^(m\times n),x\in K^(n)). โดยการก่อสร้าง บรรทัดฐานของตัวดำเนินการจะสอดคล้องกับบรรทัดฐานของเวกเตอร์ดั้งเดิม
ตัวอย่างของบรรทัดฐานเมทริกซ์ที่สอดคล้องกันแต่ไม่รองลงมา:
ความเท่าเทียมกันของบรรทัดฐาน
บรรทัดฐานทั้งหมดในอวกาศ K m × n (\displaystyle K^(m\times n))มีค่าเท่ากัน นั่นคือสำหรับสองบรรทัดฐานใดๆ ‖ . α (\displaystyle \|.\|_(\alpha ))และ ‖ . ‖ β (\displaystyle \|.\|_(\beta ))และสำหรับเมทริกซ์ใดๆ A ∈ K m × n (\displaystyle A\in K^(m\times n))อสมการสองเท่าเป็นจริง
» บทที่ 12. อันดับเมทริกซ์ การคำนวณอันดับเมทริกซ์ บรรทัดฐานเมทริกซ์
บทเรียนที่ 12 อันดับเมทริกซ์ การคำนวณอันดับเมทริกซ์ บรรทัดฐานเมทริกซ์
หากผู้เยาว์เมทริกซ์ทั้งหมดกคำสั่งเคมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น ผู้เยาว์ทั้งหมดของลำดับ k + 1 หากมีอยู่ ก็จะมีค่าเท่ากับศูนย์เช่นกัน
อันดับเมทริกซ์ ก
เป็นลำดับที่ใหญ่ที่สุดของผู้เยาว์ในเมทริกซ์ ก
, นอกเหนือจากศูนย์
อันดับสูงสุดสามารถเท่ากับจำนวนขั้นต่ำของจำนวนแถวหรือคอลัมน์ของเมทริกซ์ เช่น หากเมทริกซ์มีขนาด 4x5 อันดับสูงสุดจะเป็น 4
อันดับต่ำสุดของเมทริกซ์คือ 1 เว้นแต่ว่าคุณกำลังจัดการกับเมทริกซ์ศูนย์ ซึ่งอันดับจะเป็นศูนย์เสมอ
อันดับของเมทริกซ์กำลังสองที่ไม่เสื่อมของลำดับ n เท่ากับ n เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์นั้นมีค่าน้อยกว่าลำดับที่ n และเมทริกซ์ที่ไม่เสื่อมถอยนั้นไม่ใช่ศูนย์
การย้ายเมทริกซ์ไม่ได้เปลี่ยนอันดับ
ให้อันดับของเมทริกซ์เป็น จากนั้นคำสั่งย่อยใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์จะถูกเรียก พื้นฐานเล็กน้อย.
ตัวอย่าง.กำหนดเมทริกซ์ A
ดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์เป็นศูนย์
ผู้เยาว์ของลำดับที่สอง . ดังนั้น r(A)=2 และตัวรองเป็นพื้นฐาน
ผู้เยาว์ขั้นพื้นฐานก็เป็นผู้เยาว์เช่นกัน .
ส่วนน้อย , เพราะ =0 ดังนั้นมันจะไม่เป็นพื้นฐาน
ออกกำลังกาย: ตรวจสอบโดยอิสระว่าผู้เยาว์ลำดับที่สองใดที่จะเป็นพื้นฐานและจะไม่
การค้นหาอันดับของเมทริกซ์โดยการคำนวณรองลงมาทั้งหมดต้องใช้การคำนวณมากเกินไป (ผู้อ่านสามารถตรวจสอบได้ว่ามีผู้เยาว์อันดับสอง 36 คนในเมทริกซ์กำลังสองอันดับสี่) ดังนั้นจึงใช้อัลกอริทึมอื่นเพื่อค้นหาอันดับ หากต้องการอธิบาย จำเป็นต้องมีข้อมูลเพิ่มเติมบางอย่าง
เราเรียกการดำเนินการต่อไปนี้ว่าการแปลงเมทริกซ์เบื้องต้น:
1) การเปลี่ยนแถวหรือคอลัมน์
2) การคูณแถวหรือคอลัมน์ด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์
3) เพิ่มแถวอื่นลงในแถวใดแถวหนึ่ง คูณด้วยตัวเลข หรือเพิ่มลงในหนึ่งในคอลัมน์ของอีกคอลัมน์หนึ่ง คูณด้วยตัวเลข
ภายใต้การแปลงเบื้องต้น อันดับของเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนแปลง
อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณอันดับของเมทริกซ์คล้ายกับอัลกอริทึมการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์และอยู่ในความจริงที่ว่าด้วยความช่วยเหลือของการแปลงเบื้องต้นเมทริกซ์จะลดลงเป็นรูปแบบง่าย ๆ ซึ่งไม่ยากที่จะหาอันดับ เนื่องจากอันดับไม่เปลี่ยนแปลงในการแปลงแต่ละครั้ง โดยการคำนวณอันดับของเมทริกซ์ที่ถูกแปลง เราจึงพบอันดับของเมทริกซ์ดั้งเดิม
ให้มันจำเป็นต้องคำนวณอันดับของเมทริกซ์ของมิติ มxน.
จากการคำนวณ เมทริกซ์ A1 มีรูปแบบ
ถ้าแถวทั้งหมด เริ่มจากแถวที่สามเป็นศูนย์ , ตั้งแต่ผู้เยาว์ . มิฉะนั้น โดยการเรียงสับเปลี่ยนแถวและคอลัมน์ด้วยตัวเลขที่มากกว่าสอง เราจะได้องค์ประกอบที่สามของแถวที่สามแตกต่างจากศูนย์ นอกจากนี้ ด้วยการเพิ่มแถวที่สาม คูณด้วยตัวเลขที่สอดคล้องกัน เข้ากับแถวที่มีตัวเลขจำนวนมาก เราจะได้ศูนย์ในคอลัมน์ที่สาม โดยเริ่มจากองค์ประกอบที่สี่ เป็นต้น
ในบางขั้นตอน เราจะมาถึงเมทริกซ์ซึ่งทุกแถว เริ่มจาก (r + 1) th มีค่าเท่ากับศูนย์ (หรือไม่อยู่ที่ ) และตัวรองในแถวแรกและคอลัมน์แรกคือดีเทอร์มิแนนต์ของรูปสามเหลี่ยม เมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบไม่เป็นศูนย์ในแนวทแยง อันดับของเมทริกซ์ดังกล่าวคือ ดังนั้น รัง(A)=ร.
ในอัลกอริทึมที่เสนอเพื่อค้นหาอันดับของเมทริกซ์ การคำนวณทั้งหมดจะต้องดำเนินการโดยไม่ปัดเศษ การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยโดยพลการในองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งอย่างของเมทริกซ์ระดับกลางสามารถนำไปสู่ความจริงที่ว่าคำตอบที่ได้จะแตกต่างจากอันดับของเมทริกซ์ดั้งเดิมหลายหน่วย
หากองค์ประกอบในเมทริกซ์ดั้งเดิมเป็นจำนวนเต็ม การคำนวณโดยไม่ต้องใช้เศษส่วนจะสะดวก ดังนั้นในแต่ละขั้นตอนขอแนะนำให้คูณสตริงด้วยตัวเลขที่ไม่มีเศษส่วนปรากฏในการคำนวณ
ในห้องปฏิบัติการและภาคปฏิบัติ เราจะพิจารณาตัวอย่างการค้นหาอันดับของเมทริกซ์
การหาอัลกอริทึม กฎเมทริกซ์
.
มีเพียงสามบรรทัดฐานของเมทริกซ์
บรรทัดฐานของเมทริกซ์แรก= จำนวนสูงสุดที่ได้จากการเพิ่มองค์ประกอบทั้งหมดของแต่ละคอลัมน์ นำมาโมดูโล
ตัวอย่าง: กำหนดให้เมทริกซ์ A 3x2 (รูปที่ 10) คอลัมน์แรกประกอบด้วยองค์ประกอบ: 8, 3, 8 องค์ประกอบทั้งหมดเป็นบวก มาหาผลรวมกัน: 8+3+8=19 คอลัมน์ที่สองประกอบด้วยองค์ประกอบ: 8, -2, -8 องค์ประกอบสองตัวเป็นค่าลบ ดังนั้นเมื่อเพิ่มจำนวนเหล่านี้ จึงจำเป็นต้องแทนที่โมดูลัสของตัวเลขเหล่านี้ (นั่นคือ โดยไม่มีเครื่องหมายลบ) มาหาผลรวมกัน: 8+2+8=18 จำนวนสูงสุดของตัวเลขสองตัวนี้คือ 19 ดังนั้นบรรทัดฐานแรกของเมทริกซ์คือ 19
รูปที่ 10.
บรรทัดฐานเมทริกซ์ที่สองแสดงถึง ก รากที่สองจากผลรวมกำลังสองขององค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ และนั่นหมายความว่าเรายกกำลังสององค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ จากนั้นเพิ่มค่าผลลัพธ์และแยกรากที่สองออกจากผลลัพธ์
ในกรณีของเรา ค่ามาตรฐาน 2 ของเมทริกซ์กลายเป็นค่าเท่ากับสแควร์รูทของ 269 ในแผนภาพ ฉันหาค่าสแควร์รูทของ 269 อย่างคร่าว ๆ และผลลัพธ์ที่ได้คือประมาณ 16.401 แม้ว่าจะถูกต้องกว่าที่จะไม่แยกรูท
เมทริกซ์บรรทัดฐานที่สามคือจำนวนสูงสุดที่ได้รับจากการเพิ่มองค์ประกอบทั้งหมดของแต่ละแถว นำมาโมดูโล
ในตัวอย่างของเรา: บรรทัดแรกประกอบด้วยองค์ประกอบ: 8, 8 องค์ประกอบทั้งหมดเป็นค่าบวก มาหาผลรวมกัน: 8+8=16 บรรทัดที่สองประกอบด้วยองค์ประกอบ: 3, -2 องค์ประกอบหนึ่งเป็นค่าลบ ดังนั้นเมื่อบวกจำนวนเหล่านี้ คุณต้องแทนที่โมดูลัสของจำนวนนี้ มาหาผลรวมกัน: 3+2=5 บรรทัดที่สามประกอบด้วยองค์ประกอบ 8 และ -8 องค์ประกอบหนึ่งเป็นค่าลบ ดังนั้นเมื่อบวกจำนวนเหล่านี้ คุณต้องแทนที่โมดูลัสของจำนวนนี้ มาหาผลรวมกัน: 8+8=16 จำนวนสูงสุดของทั้งสามนี้คือ 16 ดังนั้นบรรทัดฐานที่สามของเมทริกซ์คือ 16
เรียบเรียงโดย : สาลี่ เอ็น.เอ.
บรรทัดฐานเมทริกซ์เราเรียกจำนวนจริงที่กำหนดให้กับเมทริกซ์นี้ ||A|| ในลักษณะที่เป็นจำนวนจริง มันถูกกำหนดให้กับแต่ละเมทริกซ์จากสเปซ n มิติและเป็นไปตามสัจพจน์ 4 ข้อ:
1. ||A||³0 และ ||A||=0 ก็ต่อเมื่อ A เป็นเมทริกซ์ศูนย์เท่านั้น
2. ||αA||=|α|·||A|| โดยที่ R;
3. ||A+B||£||A||+||B||;
4. ||A·B||£||A||·||B||. (คุณสมบัติของการคูณ)
สามารถแนะนำบรรทัดฐานเมทริกซ์ วิธีทางที่แตกต่าง. เมทริกซ์ A สามารถมองเป็น n 2 -เวกเตอร์เชิงมิติ
บรรทัดฐานนี้เรียกว่าบรรทัดฐานแบบยุคลิดของเมทริกซ์
ถ้าสำหรับเมทริกซ์กำลังสอง A และเวกเตอร์ x ใดๆ ที่มีขนาดเท่ากับลำดับของเมทริกซ์ ความไม่เท่าเทียมกัน ||Ax||£||A||·||x||
เราก็บอกว่าบรรทัดฐานของเมทริกซ์ A สอดคล้องกับบรรทัดฐานของเวกเตอร์ โปรดทราบว่าบรรทัดฐานของเวกเตอร์อยู่ทางด้านซ้ายในเงื่อนไขสุดท้าย (Ax คือเวกเตอร์)
บรรทัดฐานเมทริกซ์ต่าง ๆ สอดคล้องกับบรรทัดฐานเวกเตอร์ที่กำหนด เลือกสิ่งที่เล็กที่สุดในหมู่พวกเขา ดังกล่าวจะเป็น
บรรทัดฐานเมทริกซ์นี้รองลงมาจากบรรทัดฐานเวกเตอร์ที่กำหนด การมีอยู่ของค่าสูงสุดในนิพจน์นี้ตามมาจากความต่อเนื่องของบรรทัดฐาน เนื่องจากมีเวกเตอร์ x -> ||x||=1 และ ||Ax||=||A|| อยู่เสมอ
ให้เราแสดงว่า xthen บรรทัดฐาน N(A) ไม่อยู่ภายใต้บรรทัดฐานของเวกเตอร์ใดๆ บรรทัดฐานเมทริกซ์รองจากบรรทัดฐานเวกเตอร์ที่แนะนำก่อนหน้านี้แสดงไว้ดังนี้:
1. ||ก|| ¥ = |a ij | (ปกติ-สูงสุด)
2. ||ก|| 1 = |a ij | (บรรทัดฐานผลรวม)
3. ||ก|| 2 = , (บรรทัดฐานสเปกตรัม)
โดยที่ s 1 คือค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดของเมทริกซ์สมมาตร A¢A ซึ่งเป็นผลคูณของเมทริกซ์ดั้งเดิมและทรานสโพส หากเมทริกซ์ A ¢ A สมมาตร แสดงว่าค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดนั้นเป็นค่าจริงและเป็นค่าบวก จำนวน l คือค่าลักษณะเฉพาะ และเวกเตอร์ x ที่ไม่ใช่ศูนย์คือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ A (หากสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์ Ax=lx) ถ้าเมทริกซ์ A นั้นสมมาตร A¢ = A แล้ว A¢A = A 2 แล้ว s 1 = โดยที่ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ A มีค่าสัมบูรณ์มากที่สุด ดังนั้น ในกรณีนี้ เรามี =
ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ไม่เกินบรรทัดฐานที่ตกลงกันไว้ การทำให้ความสัมพันธ์เป็นปกติโดยกำหนดค่าลักษณะเฉพาะ เราได้รับ ||λx||=||Ax||, |λ|·||x||=||Ax||£||A||·||x||, | λ| ปอนด์||ก||
ตั้งแต่ ||ก|| 2 £||ก|| e ซึ่งสามารถคำนวณค่า Euclidean norm อย่างง่ายได้ แทนที่จะใช้ค่าปกติทางสเปกตรัม สามารถใช้ค่า Euclidean norm ของเมทริกซ์ในการประมาณค่าได้
30. เงื่อนไขของระบบสมการ ปัจจัยปรับอากาศ .
ระดับของเงื่อนไข- อิทธิพลของการตัดสินใจเกี่ยวกับข้อมูลเริ่มต้น ขวาน = ข: เวกเตอร์ ขตรงกับการตัดสินใจ x. อนุญาต ขจะเปลี่ยนโดย แล้วเวกเตอร์ ข +จะตรงกับโซลูชันใหม่ x+ : ก(x+ ) = b+. เนื่องจากระบบเป็นแบบเส้นตรงแล้ว ขวาน+ก = ข+, แล้ว ก = ; = ; = ; ข = ขวาน; = แล้ว ; * , ที่ไหน - ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์การก่อกวนของการแก้ปัญหา ปัจจัยการปรับสภาพเงื่อนไข (A) (ข้อผิดพลาดของการแก้ปัญหาสามารถเพิ่มขึ้นได้กี่ครั้ง) คือการก่อกวนสัมพัทธ์ของเวกเตอร์ ข. เงื่อนไข (A) = ; เงื่อนไข(A)*คุณสมบัติค่าสัมประสิทธิ์: ขึ้นอยู่กับตัวเลือกของบรรทัดฐานเมทริกซ์ เงื่อนไข ( = คอนดิ(A); การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขจะไม่ส่งผลต่อตัวประกอบเงื่อนไข ค่าสัมประสิทธิ์ยิ่งมาก ข้อผิดพลาดในข้อมูลเริ่มต้นก็ยิ่งส่งผลต่อการแก้ปัญหาของ SLAE หมายเลขเงื่อนไขต้องไม่น้อยกว่า 1
31. วิธีการกวาดสำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น
บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องแก้ปัญหาระบบที่มีเมทริกซ์ถูกเติมเต็มอย่างอ่อน เช่น มีองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์จำนวนมาก เมทริกซ์ของระบบดังกล่าวมักจะมีโครงสร้างที่แน่นอน ซึ่งในบรรดาระบบที่มีเมทริกซ์โครงสร้างแถบ ได้แก่ ในนั้นองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์จะอยู่ที่เส้นทแยงมุมหลักและเส้นทแยงมุมรองหลายเส้น ในการแก้ปัญหาระบบด้วยเมทริกซ์แบนด์ วิธีเกาส์เซียนสามารถเปลี่ยนเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพมากขึ้น ให้เราพิจารณากรณีที่ง่ายที่สุดของระบบเทป ซึ่งเราจะเห็นในภายหลัง วิธีแก้ปัญหาการแยกส่วนสำหรับปัญหาค่าขอบเขตสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์จะลดลงโดยวิธีการของความแตกต่างจำกัด องค์ประกอบจำกัด ฯลฯ เมทริกซ์สามเส้นทแยงมุม เป็นเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์เฉพาะในแนวทแยงหลักและอยู่ติดกัน:
เมทริกซ์แนวทแยงทั้งสามขององค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์มีผลรวมเป็น (3n-2)
เปลี่ยนชื่อค่าสัมประสิทธิ์ของเมทริกซ์:
จากนั้น ในรูปแบบส่วนประกอบต่อส่วนประกอบ ระบบสามารถแสดงเป็น:
A i * x i-1 + b i * x i + c i * x i+1 = d i , ฉัน=1, 2,…, n; (7)
1 = 0, ค n = 0 (8)
โครงสร้างของระบบถือว่าความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งแปลกปลอมที่อยู่ใกล้เคียงกันเท่านั้น:
x ผม \u003d x ผม * x ผม +1 + ชั่วโมง ผม (9)
x i -1 =x i -1* x i + h i -1 และแทนค่าลงใน (7):
A ฉัน (x i-1* x i + h i-1)+ b i * x i + c i * x i+1 = d i
(a i * x i-1 + b i)x i = –c i * x i+1 +d i –a i * h ผม-1
การเปรียบเทียบนิพจน์ผลลัพธ์กับการเป็นตัวแทน (7) เราได้รับ:
สูตร (10) แสดงถึงความสัมพันธ์แบบเรียกซ้ำสำหรับการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์การกวาด พวกเขาต้องการให้ระบุค่าเริ่มต้น ตามเงื่อนไขแรก (8) สำหรับ i =1 เรามี 1 =0 ซึ่งหมายความว่า
นอกจากนี้ ค่าสัมประสิทธิ์การกวาดที่เหลือจะถูกคำนวณและจัดเก็บตามสูตร (10) สำหรับ i=2,3,…, n และสำหรับ i=n โดยคำนึงถึงเงื่อนไขที่สอง (8) เราได้ x n =0 . ดังนั้นตามสูตร (9) x n = h n .
หลังจากนั้นตามสูตร (9) สิ่งที่ไม่รู้จัก x n -1 , x n -2 , …, x 1 จะพบตามลำดับ ขั้นตอนของการคำนวณนี้เรียกว่าการวิ่งย้อนกลับ ในขณะที่การคำนวณค่าสัมประสิทธิ์การกวาดเรียกว่าการกวาดไปข้างหน้า
สำหรับการใช้วิธีการกวาดที่ประสบความสำเร็จมีความจำเป็นที่ในกระบวนการคำนวณจะไม่มีสถานการณ์ที่มีการหารด้วยศูนย์และด้วยมิติขนาดใหญ่ของระบบไม่ควรมีข้อผิดพลาดในการปัดเศษเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว เราจะเรียกรัน ถูกต้องถ้าตัวส่วนของค่าสัมประสิทธิ์การกวาด (10) ไม่หายไป และ ที่ยั่งยืน, ถ้า ½x ผม ½<1 при всех i=1,2,…, n. Достаточные условия корректности и устойчивости прогонки, которые во многих приложениях выполняются, определяются теоремой.
ทฤษฎีบท. ให้สัมประสิทธิ์ a i และ c i ของสมการ (7) สำหรับ i=2,3,..., n-1 แตกต่างจากศูนย์และปล่อยให้
½b ฉัน ½>½a ฉัน ½+½c ฉัน ½ สำหรับ i=1, 2,..., n (สิบเอ็ด)
จากนั้นการกวาดที่กำหนดโดยสูตร (10), (9) นั้นถูกต้องและเสถียร