การคำนวณพื้นที่ของระนาบโดยใช้อินทิกรัล อินทิกรัลแน่นอน
อินทิกรัลแน่นอน วิธีคำนวณพื้นที่ของรูป
ตอนนี้เราหันไปพิจารณาการประยุกต์ใช้แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ ในบทนี้ เราจะวิเคราะห์งานทั่วไปและงานทั่วไป วิธีใช้อินทิกรัลที่แน่นอนในการคำนวณพื้นที่ของรูประนาบ. สุดท้ายนี้ ผู้ที่แสวงหาความหมายในคณิตศาสตร์ขั้นสูง ขอให้พวกเขาค้นพบความหมายนั้น คุณไม่เคยรู้. ในชีวิตจริง คุณจะต้องประมาณกระท่อมฤดูร้อนที่มีฟังก์ชันพื้นฐานและค้นหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลบางอย่าง
ในการฝึกฝนเนื้อหาให้ประสบความสำเร็จ คุณต้อง:
1) เข้าใจอินทิกรัลไม่จำกัดอย่างน้อยในระดับกลาง ดังนั้น หุ่นควรอ่านบทเรียนก่อน ไม่.
2) สามารถใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซและคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนได้ หล่ออบอุ่น มิตรไมตรีด้วยอินทิกรัลที่แน่นอนสามารถพบได้ในหน้า อินทิกรัลแน่นอน ตัวอย่างโซลูชัน.
ในความเป็นจริงในการหาพื้นที่ของตัวเลขคุณไม่จำเป็นต้องมีความรู้มากมายเกี่ยวกับอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนและแน่นอน งาน "คำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน" เกี่ยวข้องกับการสร้างรูปวาดเสมอดังนั้นความรู้และทักษะการวาดภาพของคุณจะเป็นปัญหาที่เกี่ยวข้องมากขึ้น ในเรื่องนี้ การรีเฟรชหน่วยความจำของกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานหลักจะเป็นประโยชน์ และอย่างน้อยที่สุดก็สามารถสร้างเส้นตรง พาราโบลา และไฮเปอร์โบลาได้ สิ่งนี้สามารถทำได้ (หลายคนต้องการ) ด้วยความช่วยเหลือของวัสดุวิธีการและบทความเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตของกราฟ
อันที่จริง ทุกคนคุ้นเคยกับปัญหาการหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลแน่นอนมาตั้งแต่สมัยเรียนแล้ว และเราจะนำหน้าหลักสูตรของโรงเรียนไปเล็กน้อย บทความนี้อาจไม่มีอยู่จริง แต่ความจริงก็คือปัญหาเกิดขึ้นใน 99 กรณีจาก 100 กรณี เมื่อนักเรียนคนหนึ่งถูกทรมานด้วยหอคอยที่เกลียดชังด้วยความกระตือรือร้นที่จะเรียนวิชาคณิตศาสตร์ระดับสูง
เนื้อหาของการประชุมเชิงปฏิบัติการนี้นำเสนออย่างเรียบง่าย มีรายละเอียดและมีทฤษฎีขั้นต่ำ
เริ่มจากสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้ง
สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเรียกว่ารูปแบนที่ล้อมรอบด้วยแกน เส้นตรง และกราฟของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องกันบนส่วนที่ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายในช่วงเวลานี้ ให้ตัวเลขนี้ตั้งอยู่ ไม่น้อยแอ๊บซิสซ่า:
แล้ว พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเชิงเส้นโค้งมีค่าเท่ากับอินทิกรัลบางตัว. อินทิกรัลที่แน่นอนใดๆ (ที่มีอยู่) มีความหมายทางเรขาคณิตที่ดีมาก ในบทเรียน อินทิกรัลแน่นอน ตัวอย่างโซลูชันฉันบอกว่าอินทิกรัลแน่นอนคือตัวเลข และตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะกล่าวอีก ข้อเท็จจริงที่เป็นประโยชน์. จากมุมมองของเรขาคณิต อินทิกรัลที่แน่นอนคือ AREA.
นั่นคือ, อินทิกรัลที่แน่นอน (ถ้ามี) สอดคล้องกับพื้นที่ของรูปบางส่วนทางเรขาคณิต. ตัวอย่างเช่น พิจารณาอินทิกรัลที่แน่นอน อินทิกรัลกำหนดเส้นโค้งบนระนาบที่อยู่เหนือแกน (ผู้ที่ต้องการสามารถวาดให้เสร็จได้) และอินทิกรัลที่แน่นอนนั้นมีค่าเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกัน
ตัวอย่างที่ 1
นี่คือคำสั่งงานทั่วไป ช่วงเวลาแรกและสำคัญที่สุดของการตัดสินใจคือการสร้างภาพวาด. นอกจากนี้ยังต้องสร้างภาพวาด ขวา.
เมื่อสร้างพิมพ์เขียว ฉันขอแนะนำลำดับต่อไปนี้: ตอนแรกเป็นการดีกว่าที่จะสร้างทุกบรรทัด (ถ้ามี) และเฉพาะ แล้ว- พาราโบลา, ไฮเปอร์โบลา, กราฟของฟังก์ชันอื่นๆ กราฟฟังก์ชันสร้างผลกำไรได้มากกว่า ทีละจุด, ด้วยเทคนิคการสร้างตามจุดสามารถพบได้ในเอกสารอ้างอิง กราฟและสมบัติของฟังก์ชันมูลฐาน. นอกจากนี้คุณยังสามารถค้นหาเนื้อหาที่มีประโยชน์มากเกี่ยวกับบทเรียนของเรา - วิธีสร้างพาราโบลาอย่างรวดเร็ว
ในปัญหานี้ วิธีแก้ไขอาจมีลักษณะดังนี้
มาวาดรูปกัน (โปรดทราบว่าสมการกำหนดแกน):
ฉันจะไม่ฟักสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งซึ่งชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงพื้นที่ใด วิธีแก้ปัญหาดำเนินต่อไปดังนี้:
ในส่วนของกราฟของฟังก์ชันจะอยู่ เหนือแกนนั่นเป็นเหตุผล:
คำตอบ:
ผู้มีปัญหาในการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนและใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ อ้างถึงการบรรยาย อินทิกรัลแน่นอน ตัวอย่างโซลูชัน.
หลังจากงานเสร็จสิ้น การดูภาพวาดและหาคำตอบว่าคำตอบนั้นจริงหรือไม่นั้นมีประโยชน์เสมอ ในกรณีนี้ "ด้วยตา" เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด - จะพิมพ์ประมาณ 9 เซลล์ดูเหมือนว่าจะเป็นจริง ค่อนข้างชัดเจนว่าถ้าเรามีคำตอบ: 20 ตารางหน่วยเห็นได้ชัดว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่ง - เห็นได้ชัดว่า 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหาอย่างมาก หากคำตอบกลายเป็นลบแสดงว่างานนั้นได้รับการแก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน
ตัวอย่างที่ 2
คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , และแกน
นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง เฉลยและคำตอบฉบับเต็มท้ายบทเรียน
จะทำอย่างไรถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลา?
ตัวอย่างที่ 3
คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นและแกนพิกัด
สารละลาย:มาวาดรูปกันเถอะ:
ถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลา(หรืออย่างน้อย ไม่สูงขึ้นแกนที่กำหนด) จากนั้นสามารถหาพื้นที่ได้จากสูตร:
ในกรณีนี้:
ความสนใจ! อย่าสับสนกับงานทั้งสองประเภท:
1) หากคุณถูกขอให้แก้เฉพาะอินทิกรัลที่แน่นอนโดยไม่มีความหมายทางเรขาคณิต ก็สามารถเป็นค่าลบได้
2) หากคุณถูกขอให้หาพื้นที่ของตัวเลขโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน พื้นที่นั้นจะเป็นบวกเสมอ! นั่นคือเหตุผลที่เครื่องหมายลบปรากฏในสูตรที่เพิ่งพิจารณา
ในทางปฏิบัติ ตัวเลขส่วนใหญ่มักจะอยู่ในระนาบครึ่งบนและล่าง ดังนั้นจากปัญหาโรงเรียนที่ง่ายที่สุด เราจึงไปยังตัวอย่างที่มีความหมายมากขึ้น
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาพื้นที่ของรูปแบนที่ล้อมรอบด้วยเส้น , .
สารละลาย: ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูปให้เสร็จ โดยทั่วไปแล้ว เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราสนใจจุดตัดของเส้นมากที่สุด มาหาจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรงกัน สามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์ เราแก้สมการ:
ดังนั้น ขีดจำกัดล่างของการรวม ขีดจำกัดบนของการรวม
หากเป็นไปได้ไม่ควรใช้วิธีนี้.
การสร้างเส้นทีละจุดให้ผลกำไรมากกว่าและเร็วกว่ามาก ในขณะที่พบข้อจำกัดของการรวมเข้าด้วยกันราวกับว่า "ด้วยตัวเอง" เทคนิคการสร้างแบบจุดต่อจุดสำหรับแผนภูมิต่างๆ จะกล่าวถึงโดยละเอียดในวิธีใช้ กราฟและสมบัติของฟังก์ชันมูลฐาน. อย่างไรก็ตาม บางครั้งวิธีการวิเคราะห์เพื่อหาขีดจำกัดยังคงต้องใช้ เช่น กราฟมีขนาดใหญ่เพียงพอ หรือโครงสร้างแบบเธรดไม่ได้เปิดเผยขีดจำกัดของการรวม (อาจเป็นเศษส่วนหรือจำนวนอตรรกยะ) และเราจะพิจารณาตัวอย่างดังกล่าวด้วย
เรากลับไปที่งานของเรา: มีเหตุผลมากกว่าที่จะสร้างเส้นตรงก่อนแล้วจึงสร้างพาราโบลา มาวาดรูปกันเถอะ:
ฉันขอย้ำอีกครั้งว่าด้วยการสร้างตามจุด ขีดจำกัดของการผสานรวมมักจะพบว่า "โดยอัตโนมัติ"
และตอนนี้สูตรการทำงาน: หากมีฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง มากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องบางฟังก์ชัน จากนั้นพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้และเส้นตรงสามารถหาได้จากสูตร:
ที่นี่ไม่จำเป็นต้องคิดว่าตัวเลขอยู่ที่ไหน - เหนือแกนหรือใต้แกนและพูดคร่าวๆ มันสำคัญว่าแผนภูมิใดอยู่ด้านบน(เทียบกับกราฟอื่น) และอันไหนอยู่ด้านล่าง.
ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เห็นได้ชัดว่าในส่วนของพาราโบลาอยู่เหนือเส้นตรง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องลบออกจาก
ความสมบูรณ์ของโซลูชันอาจมีลักษณะดังนี้:
ตัวเลขที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลาจากด้านบนและเส้นตรงจากด้านล่าง
ในส่วน ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:
คำตอบ:
ในความเป็นจริงสูตรโรงเรียนสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งในระนาบครึ่งล่าง (ดูตัวอย่างง่ายๆหมายเลข 3) เป็นกรณีพิเศษของสูตร . เนื่องจากแกนถูกกำหนดโดยสมการ และกราฟของฟังก์ชันตั้งอยู่ ไม่สูงขึ้นขวานแล้ว
และตอนนี้เป็นตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ
ตัวอย่างที่ 5
ตัวอย่างที่ 6
ค้นหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , .
ในการแก้ปัญหาสำหรับการคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลบางครั้งเหตุการณ์ตลกก็เกิดขึ้น การวาดภาพถูกต้องการคำนวณถูกต้อง แต่เนื่องจากความไม่ตั้งใจ ... พบพื้นที่ผิดรูปนั่นเป็นวิธีที่ผู้รับใช้ที่เชื่อฟังของคุณทำผิดพลาดหลายครั้ง นี่คือกรณีชีวิตจริง:
ตัวอย่างที่ 7
คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , , .
สารละลาย: มาวาดรูปกันก่อน:
…เอ๊ะ รูปวาดออกมาห่วย แต่ทุกอย่างดูเหมือนจะอ่านออก
ตัวเลขที่เราต้องการหาพื้นที่จะถูกแรเงาด้วยสีน้ำเงิน(ดูสภาพอย่างละเอียด - ตัวเลขมี จำกัด อย่างไร!) แต่ในทางปฏิบัติมักเกิด "ความผิดพลาด" เนื่องจากความไม่ตั้งใจซึ่งคุณต้องหาพื้นที่ของตัวเลขที่แรเงาด้วยสีเขียว!
ตัวอย่างนี้ยังมีประโยชน์เนื่องจากพื้นที่ของตัวเลขนั้นคำนวณโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอนสองตัว จริงหรือ:
1) ในส่วนเหนือแกนมีกราฟเส้นตรง
2) บนส่วนที่อยู่เหนือแกนคือกราฟไฮเปอร์โบลา
เห็นได้ชัดว่าพื้นที่สามารถ (และควร) เพิ่มได้ ดังนั้น:
คำตอบ:
ไปที่งานที่มีความหมายมากขึ้นกันเถอะ
ตัวอย่างที่ 8
คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น
นำเสนอสมการในรูปแบบ "โรงเรียน" และทำการวาดทีละจุด:
จะเห็นได้จากภาพวาดว่าขีดจำกัดบนของเราคือ "ดี": .
แต่ขีดจำกัดล่างคืออะไร? เป็นที่ชัดเจนว่านี่ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่อะไรนะ? อาจจะ ? แต่ที่ไหนจะรับประกันว่าการวาดภาพนั้นทำขึ้นด้วยความแม่นยำที่สมบูรณ์แบบ มันอาจจะกลายเป็นอย่างนั้น หรือราก. จะเป็นอย่างไรถ้าเราไม่ได้กราฟที่ถูกต้องเลย
ในกรณีเช่นนี้ เราต้องใช้เวลาเพิ่มเติมและปรับแต่งขีดจำกัดของการผสานรวมในเชิงวิเคราะห์
มาหาจุดตัดของเส้นตรงกับพาราโบลากัน
ในการทำเช่นนี้ เราแก้สมการ:
,
จริงหรือ, .
วิธีแก้ไขเพิ่มเติมนั้นเป็นเรื่องเล็กน้อย สิ่งสำคัญคืออย่าสับสนในการแทนที่และเครื่องหมาย การคำนวณที่นี่ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด
ในส่วนของ ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:
คำตอบ:
โดยสรุปบทเรียนเราจะพิจารณาสองงานที่ยากขึ้น
ตัวอย่างที่ 9
คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , ,
สารละลาย: วาดรูปนี้ในรูปวาด
ให้ตายเถอะ ฉันลืมลงตารางงานและทำรูปใหม่ ขอโทษด้วย ไม่ใช่ hotz ไม่ใช่ภาพวาด เรียกสั้นๆว่าวันนี้เป็นวัน =)
สำหรับการสร้างทีละจุดจำเป็นต้องทราบลักษณะของไซน์ซอยด์ (และโดยทั่วไปจะเป็นประโยชน์ที่จะทราบ กราฟของฟังก์ชันพื้นฐานทั้งหมด) เช่นเดียวกับค่าไซน์บางค่า สามารถพบได้ใน ตารางตรีโกณมิติ. ในบางกรณี (เช่นในกรณีนี้) อนุญาตให้สร้างภาพวาดแผนผัง ซึ่งกราฟและขีดจำกัดการรวมจะต้องแสดงอย่างถูกต้องตามหลักการ
ไม่มีปัญหากับขีดจำกัดการรวมที่นี่ พวกเขาติดตามโดยตรงจากเงื่อนไข: - "x" เปลี่ยนจากศูนย์เป็น "pi" เราตัดสินใจเพิ่มเติม:
ในส่วนของกราฟของฟังก์ชันจะอยู่เหนือแกน ดังนั้น:
ในบทเรียนนี้ เราจะได้เรียนรู้วิธีการคำนวณ พื้นที่ของตัวเลขแบนซึ่งเรียกว่า สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง .
ตัวอย่างของตัวเลขดังกล่าวอยู่ในภาพด้านล่าง
ในแง่หนึ่ง การหาพื้นที่ของรูปทรงแบนโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอนนั้นง่ายมาก เรากำลังพูดถึงพื้นที่ของตัวเลขซึ่งถูกจำกัดจากด้านบนด้วยเส้นโค้งจากด้านล่าง - โดยแกน abscissa ( วัว) และด้านซ้ายและขวาเป็นเส้นตรง ความเรียบง่ายก็คือ อินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชันที่ให้เส้นโค้งและมีพื้นที่ของรูปดังกล่าว(สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง).
ในการคำนวณพื้นที่ของรูปเราต้องการ:
- อินทิกรัลแน่นอนของฟังก์ชันที่กำหนดเส้นโค้ง ซึ่งจำกัดเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูจากด้านบน และนี่คือความแตกต่างที่สำคัญประการแรก: สี่เหลี่ยมคางหมูที่เป็นเส้นโค้งสามารถถูกจำกัดได้ด้วยเส้นโค้ง ไม่เพียงแต่จากด้านบนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงจากด้านล่างด้วย . จะทำอย่างไรในกรณีนี้? เรียบง่ายแต่สำคัญที่ต้องจำ: อินทิกรัลในกรณีนี้คือเครื่องหมายลบ .
- ขีดจำกัดของการรวม กและ ขซึ่งเราพบได้จากสมการของเส้นที่ล้อมรอบตัวเลขทางซ้ายและขวา: x = ก , x = ข, ที่ไหน กและ ข- ตัวเลข
แยกความแตกต่างบางอย่างเพิ่มเติม.
เส้นโค้งที่จำกัดเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูจากด้านบน (หรือด้านล่าง) จะต้องเป็น กราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องและไม่เป็นลบ ย = ฉ(x) .
ค่า X ต้องเป็นของกลุ่ม [ก, ข] . นั่นคือตัวอย่างเช่นไม่คำนึงถึงเส้นที่เป็นส่วนหนึ่งของเห็ดซึ่งขาพอดีกับส่วนนี้อย่างสมบูรณ์และฝาปิดก็กว้างกว่ามาก
ส่วนด้านข้างสามารถลดลงเป็นจุด . หากคุณเห็นตัวเลขดังกล่าวในภาพวาด สิ่งนี้ไม่ควรทำให้คุณสับสน เนื่องจากจุดนี้มีค่าของตัวเองบนแกน x เสมอ ทุกอย่างเป็นไปตามขีดจำกัดของการบูรณาการ
ตอนนี้คุณสามารถไปยังสูตรและการคำนวณ ดังนั้นพื้นที่ สสูตรสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งสามารถคำนวณได้
ถ้า ฉ(x) ≤ 0 (กราฟของฟังก์ชันอยู่ใต้แกน วัว), ที่ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งสามารถคำนวณได้ด้วยสูตร
นอกจากนี้ยังมีกรณีที่ทั้งขอบเขตบนและล่างของรูปเป็นฟังก์ชันตามลำดับ ย = ฉ(x) และ ย = φ (x) จากนั้นพื้นที่ของตัวเลขดังกล่าวจะคำนวณโดยสูตร
. (3)
เราแก้ปัญหาด้วยกัน
เริ่มจากกรณีที่สามารถคำนวณพื้นที่ของตัวเลขโดยใช้สูตร (1)
ตัวอย่างที่ 1วัว) และโดยตรง x = 1 , x = 3 .
สารละลาย. เพราะ ย = 1/x> 0 ในส่วน จากนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งจะพบโดยสูตร (1):
.
ตัวอย่างที่ 2ค้นหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน เส้นตรง x= 1 และแกน x ( วัว ).
สารละลาย. ผลลัพธ์ของการใช้สูตร (1):
ถ้าอย่างนั้น ส= 1/2; ถ้าอย่างนั้น ส= 1/3 เป็นต้น
ตัวอย่างที่ 3ค้นหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน แกน x ( วัว) และโดยตรง x = 4 .
สารละลาย. ตัวเลขที่สอดคล้องกับสภาพของปัญหาคือรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งซึ่งส่วนด้านซ้ายเสื่อมลงเป็นจุด ขีด จำกัด การรวมคือ 0 และ 4 เนื่องจากตามสูตร (1) เราพบพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง:
.
ตัวอย่างที่ 4ค้นหาพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , และอยู่ในไตรมาสที่ 1
สารละลาย. ในการใช้สูตร (1) เราแทนพื้นที่ของตัวเลขที่กำหนดโดยเงื่อนไขของตัวอย่างเป็นผลรวมของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม สตงและรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง เอบีซี. เมื่อคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม สตงขีด จำกัด ของการรวมเป็น abscissas ของคะแนน อและ กและสำหรับรูปร่าง เอบีซี- abscissas ของคะแนน กและ ค (กเป็นจุดตัดของเส้น สสจและพาราโบลา และ ค- จุดตัดของพาราโบลากับแกน วัว). การแก้สมการร่วมกัน (เป็นระบบ) ของเส้นตรงและพาราโบลาเราได้มา (จุด abscissa ก) และ (จุดตัดกันของอีกจุดหนึ่งของเส้นตรงและพาราโบลาซึ่งไม่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา) ในทำนองเดียวกัน เราได้รับ , (abscissas of point คและ ง). ตอนนี้เรามีทุกอย่างที่จะหาพื้นที่ของรูป เราพบ:
ตัวอย่างที่ 5ค้นหาพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมู อคสถ้าสมการของเส้นโค้ง ซีดีและแอ็บสซิสซา กและ ขตามลำดับ 1 และ 2
สารละลาย. เราแสดงสมการของเส้นโค้งนี้ผ่าน Y: พื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูพบได้จากสูตร (1):
.
มาดูกรณีที่สามารถคำนวณพื้นที่ของตัวเลขโดยใช้สูตร (2)
ตัวอย่างที่ 6ค้นหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยพาราโบลาและแกน x ( วัว ).
สารละลาย. รูปนี้อยู่ใต้แกน x ดังนั้นในการคำนวณพื้นที่ เราจึงใช้สูตร (2) ขีดจำกัดของการรวมคือ abscissas และจุดตัดของพาราโบลากับแกน วัว. เพราะฉะนั้น,
ตัวอย่างที่ 7ค้นหาพื้นที่ระหว่างแกน x ( วัว) และคลื่นไซน์ข้างเคียงสองคลื่น
สารละลาย. พื้นที่ของรูปนี้หาได้จากสูตร (2):
.
มาหาคำศัพท์แต่ละคำแยกกัน:
.
.
ในที่สุดเราก็พบพื้นที่:
.
ตัวอย่างที่ 8ค้นหาพื้นที่ของรูปที่อยู่ระหว่างพาราโบลาและเส้นโค้ง
สารละลาย. แสดงสมการของเส้นในรูปของ Y:
พื้นที่ตามสูตร (2) จะได้เป็น
,
ที่ไหน กและ ข- abscissas ของคะแนน กและ ข. เราพบพวกมันโดยการแก้สมการด้วยกัน:
ในที่สุดเราก็พบพื้นที่:
และในที่สุดก็มีหลายกรณีที่สามารถคำนวณพื้นที่ของตัวเลขโดยใช้สูตร (3)
ตัวอย่างที่ 9ค้นหาพื้นที่ของรูปที่อยู่ระหว่างพาราโบลา และ .
การคำนวณพื้นที่ของรูปนี่อาจเป็นหนึ่งในปัญหาที่ยากที่สุดในทฤษฎีพื้นที่ ในโรงเรียนเรขาคณิต พวกเขาได้รับการสอนให้หาพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตพื้นฐาน เช่น สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เหลี่ยมผืนผ้า สี่เหลี่ยมคางหมู วงกลม เป็นต้น อย่างไรก็ตาม เรามักจะต้องจัดการกับการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ซับซ้อนมากขึ้น ในการแก้ปัญหาดังกล่าวสะดวกในการใช้แคลคูลัสเชิงปริพันธ์
คำนิยาม.
สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเรียกตัวเลขบางตัวว่า G ซึ่งล้อมรอบด้วยเส้น y = f(x), y = 0, x = a และ x = b และฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องในส่วน [a; b] และไม่เปลี่ยนเครื่องหมายของมัน (รูปที่ 1)พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเส้นโค้งสามารถเขียนแทนด้วย S(G)
อินทิกรัลที่แน่นอน ʃ a b f(x)dx สำหรับฟังก์ชัน f(x) ซึ่งต่อเนื่องและไม่เป็นลบในส่วนของ [a; b] และเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกัน
นั่นคือเพื่อหาพื้นที่ของรูป G ซึ่งล้อมรอบด้วยเส้น y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a และ x \u003d b จำเป็นต้องคำนวณ อินทิกรัลแน่นอน ʃ a b f (x) dx
ดังนั้น, S(G) = ʃ a b f(x)dx
ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) ไม่เป็นบวกต่อ [a; b] จากนั้นสูตรสามารถหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งได้ S(G) = -ʃ a b f(x)dx
ตัวอย่างที่ 1
คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น y \u003d x 3 y = 1; x = 2.
สารละลาย.
เส้นที่กำหนดเป็นรูป ABC ซึ่งแสดงโดยการฟักไข่ ข้าว. 2.
พื้นที่ที่ต้องการจะเท่ากับความแตกต่างระหว่างพื้นที่ของ DACE สี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งและสี่เหลี่ยม DABE
การใช้สูตร S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) เราจะพบขีดจำกัดของการอินทิเกรต ในการทำเช่นนี้ เราแก้ระบบสมการสองสมการ:
(y \u003d x 3,
(y = 1.
ดังนั้นเราจึงมี x 1 \u003d 1 - ขีดจำกัดล่าง และ x \u003d 2 - ขีดจำกัดบน
ดังนั้น S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (ตารางหน่วย)
ตอบ 11/4 ตร.ว. หน่วย
ตัวอย่างที่ 2
คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น y \u003d √x; y = 2; x = 9.
สารละลาย.
เส้นที่กำหนดเป็นรูป ABC ซึ่งล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันจากด้านบน
y \u003d √x และจากด้านล่างกราฟของฟังก์ชัน y \u003d 2 ตัวเลขผลลัพธ์จะแสดงโดยการฟักไข่บน ข้าว. 3.
พื้นที่ที่ต้องการเท่ากับ S = ʃ a b (√x - 2) มาหาลิมิตของการอินทิเกรตกัน: b = 9 เพื่อหา a เราแก้ระบบสมการสองสมการ:
(y = √x,
(y = 2.
ดังนั้นเราจึงได้ x = 4 = a เป็นขีดจำกัดล่าง
ดังนั้น S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (ตารางหน่วย)
คำตอบ: S = 2 2/3 ตร.ม. หน่วย
ตัวอย่างที่ 3
คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น y \u003d x 3 - 4x; ย = 0; x ≥ 0
สารละลาย.
ลองพล็อตฟังก์ชัน y \u003d x 3 - 4x สำหรับ x ≥ 0 ในการทำเช่นนี้ เราจะหาอนุพันธ์ y ':
y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 ที่ х = ±2/√3 ≈ 1.1 เป็นจุดวิกฤติ
ถ้าเราวาดจุดวิกฤตบนแกนจริงและวางสัญลักษณ์ของอนุพันธ์ เราจะได้ฟังก์ชันลดลงจากศูนย์เป็น 2/√3 และเพิ่มจาก 2/√3 เป็นบวกอนันต์ จากนั้น x = 2/√3 คือจุดต่ำสุด ค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน y คือ min = -16/(3√3) ≈ -3
กำหนดจุดตัดของกราฟด้วยแกนพิกัด:
ถ้า x \u003d 0 แล้ว y \u003d 0 ซึ่งหมายความว่า A (0; 0) เป็นจุดตัดกับแกน Oy
ถ้า y \u003d 0 แล้ว x 3 - 4x \u003d 0 หรือ x (x 2 - 4) \u003d 0 หรือ x (x - 2) (x + 2) \u003d 0 จากที่ x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (ไม่เหมาะสมเพราะ x ≥ 0)
จุด A(0; 0) และ B(2; 0) คือจุดตัดของกราฟกับแกน Ox
เส้นที่กำหนดเป็นรูป OAB ซึ่งแสดงโดยการฟักไข่ ข้าว. 4.
เนื่องจากฟังก์ชัน y \u003d x 3 - 4x รับค่าลบ (0; 2) แล้ว
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|
เรามี: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4 จากที่ S \u003d 4 ตารางเมตร ม. หน่วย
ตอบ S = 4 ตร.ม. หน่วย
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยพาราโบลา y \u003d 2x 2 - 2x + 1 เส้นตรง x \u003d 0, y \u003d 0 และสัมผัสกับพาราโบลานี้ที่จุดที่มี abscissa x 0 \u003d 2.
สารละลาย.
อันดับแรก เราสร้างสมการแทนเจนต์ให้กับพาราโบลา y \u003d 2x 2 - 2x + 1 ที่จุดที่มี abscissa x₀ \u003d 2
เนื่องจากอนุพันธ์ y' = 4x - 2 ดังนั้นสำหรับ x 0 = 2 เราจะได้ k = y'(2) = 6
ค้นหาพิกัดของจุดสัมผัส: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5
ดังนั้นสมการแทนเจนต์จึงมีรูปแบบ: y - 5 \u003d 6 (x - 2) หรือ y \u003d 6x - 7
มาสร้างรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น:
y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7
Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - พาราโบลา จุดตัดกับแกนพิกัด: A(0; 1) - กับแกน Oy; ด้วยแกนวัว - ไม่มีจุดตัดเพราะ สมการ 2x 2 - 2x + 1 = 0 ไม่มีคำตอบ (ง< 0). Найдем вершину параболы:
x ข \u003d 2/4 \u003d 1/2;
y b \u003d 1/2 นั่นคือจุดยอดของพาราโบลาจุด B มีพิกัด B (1/2; 1/2)
ดังนั้น ตัวเลขของพื้นที่ที่จะถูกกำหนดจะแสดงโดยการฟักไข่ ข้าว. 5.
เรามี: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC
ค้นหาพิกัดของจุด D จากเงื่อนไข:
6x - 7 = 0 เช่น x \u003d 7/6 จากนั้น DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6
เราหาพื้นที่สามเหลี่ยม DBC โดยใช้สูตร S ADBC = 1/2 · DC · BC ดังนั้น,
S ADBC = 1/2 5/6 5 = 25/12 ตร. หน่วย
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (ตารางหน่วย)
ในที่สุดเราก็ได้รับ: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC \u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (ตร. หน่วย)
ตอบ ส = 1 1/4 ตร.ม. หน่วย
เราได้ดูตัวอย่าง การหาพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยเส้นที่กำหนด. ในการแก้ปัญหาดังกล่าวให้สำเร็จ คุณต้องสามารถสร้างเส้นและกราฟของฟังก์ชันบนระนาบ หาจุดตัดของเส้น ใช้สูตรเพื่อหาพื้นที่ ซึ่งแสดงถึงความสามารถและทักษะในการคำนวณปริพันธ์บางอย่าง
ไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วนจำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา