Три взаимно перпендикулярни равнини. Проекция върху две проекционни равнини
Има много части, чиято информация за формата не може да бъде предадена от две проекции на чертежа. За да може информацията за сложната форма на детайла да бъде представена достатъчно пълно, се използва проекция върху три взаимно перпендикулярни проекционни равнини: фронтална - V, хоризонтално - зи профил - У .
Системата от проекционни равнини е тристенен ъгъл с връх в точка О. Пресечните точки на равнините на тристенния ъгъл образуват прави линии - проекционните оси ( ОХ, ой, унция) (фиг. 23).
Обектът се поставя в тристенен ъгъл, така че лицето и основата му да са успоредни съответно на фронталната и хоризонталната проекционна равнина. След това през всички точки на обекта, перпендикулярни на трите проекционни равнини, се прекарват проектиращи лъчи, върху които се получават фронтални, хоризонтални и профилни проекции на обекта. След проекцията обектът се отстранява от тристенния ъгъл и след това хоризонталната и профилната проекционна равнина се завъртат съответно на 90 градуса около осите ОХи унциядокато се изравни с равнината на предната проекция и се получи подробен чертеж, съдържащ три проекции.
Ориз. 23.Проекция върху три взаимно перпендикулярни
проекционни равнини
Трите проекции на чертежа са свързани помежду си. Фронталните и хоризонталните проекции запазват проекционната връзка на изображенията, т.е. установяват се проекционни връзки между фронталната и хоризонталната, фронталната и профилната, както и хоризонталната и профилната проекции (виж фиг. 23). Линиите на отношение на проекцията определят местоположението на всяка проекция върху чертожното поле.
В много страни по света е приета друга система за правоъгълна проекция върху три взаимно перпендикулярни проекционни равнини, която условно се нарича "американска". Следователно хоризонталната проекция е над фронталната, а профилната проекция е вдясно от фронталната.
Формата на повечето предмети е комбинация от различни геометрични тела или техни части. Следователно, за да четете и изпълнявате чертежи, трябва да знаете как геометричните тела са изобразени в система от три проекции.
Преглед на концепцията
Знаете, че фронталната, хоризонталната и профилната проекция са изображения на проекционен чертеж. Проекционните изображения на външната видима повърхност на обект се наричат изгледи.
Прегледе изображение на видимата повърхност на обект, обърната към наблюдателя.
Основни видове.Стандартът установява шест основни типа, които се получават чрез проектиране на обект, поставен вътре в куб, чиито шест лица се приемат като проекционни равнини (фиг. 24). След като проектират обекта върху тези лица, те се разгъват, докато съвпаднат с равнината на предната проекция (фиг. 25).
Ориз. 24.Получаване на основни изгледи
Изглед отпред(основен изглед) се поставя на мястото на предната проекция. Поглед отгоресе поставя на мястото на хоризонталната проекция (под основния изглед). Изглед отлявосе намира на мястото на профилната проекция (вдясно от основния изглед). Преглед на дяснопоставен вляво от главния изглед. Долният изглед е над основния изглед. Изгледът отзад е поставен вдясно от левия изглед.
Ориз. 25. Основни видове
Основните изгледи, както и проекциите, са разположени в проекционна връзка. Броят на изгледите в чертежа е избран минимален, но достатъчен за точно представяне на формата на изобразения обект. В изгледи, ако е необходимо, е разрешено да се показват невидими части от повърхността на обект с помощта на пунктирани линии (фиг. 26).
Основният изглед трябва да съдържа най-много информация за темата. Следователно детайлът трябва да бъде позициониран спрямо равнината на предната проекция, така че неговата видима повърхност да може да се проектира с най-голям брой елементи на формата. Освен това основният изглед трябва да дава ясна представа за характеристиките на формата, показвайки нейния силует, повърхностни извивки, первази, вдлъбнатини, дупки, което осигурява бързо разпознаване на формата на изобразения продукт.
При решаване на задачи две проекции не са достатъчни. Следователно се въвежда трета равнина, перпендикулярна на равнините P 1 и P 2. Викат я профилна равнина (П 3 ) .
Три равнини разделят пространството на 8 части - октанти (фиг. 6). Както преди, ще приемем, че зрителят, който гледа обекта, е в първия октант. За да получите диаграма (фиг. 7) на всяко геометрично изображение на равнината P 1 и P 3, завъртете, както е показано на фиг. 6.
Проекционните равнини, пресичащи се по двойки, определят три оси х, ги z, която може да се разглежда като система от декартови координати в пространството с начало в точката О.
За да се получи диаграма, точките в системата от три проекционни равнини на равнините P 1 и P 3 се завъртат, докато се изравнят с равнината P 2 (фиг. 8). При обозначаване на оси на диаграма отрицателните полуоси обикновено не се посочват.
За да намерите профилната проекция, точките се процедират по следния начин: от фронталната проекция И 2 точки Иначертайте линия, перпендикулярна на оста Зи на тази права линия от оста zотложете сегмент, равен на координатата приточки И(фиг. 9).
Фиг.8 девет
Координатите са числа, които съответстват на точка, за да се определи нейната позиция в пространството или върху повърхност. В триизмерното пространство позицията на точка се задава с помощта на правоъгълни декартови координати х, ги z(абсциса, ордината и апликат):
а
?
bscissa
х
= ………..= …..…..= ….….. = ……….. – разстояние от точката до равнината П 3;
ордината при = ……….= ………= …...... = ………… – разстояние от точката до равнината П 2;
апликация
z= …….. = ………= ……..= ………… – разстояние от точка до равнина П 1
И
1
И
2
– вертикална линиявръзка перпендикулярна на оста x;
И
2
И
3
- хоризонтална комуникационна линия, перпендикулярна на остаz.
И
?
1
(….,….) Проекционна позиция на всяка точка
И 2 (….,….) се определя от две координати
И
3
(….,….)
Ако точка принадлежи на поне една проекционна равнина, тя заема частен
позиция спрямо проекционните равнини. Ако точката не принадлежи на нито една от проекционните равнини, тя заема общ
позиция.
Лекция №2
ПРАВ
1. Директен. 2. Положението на правата линия спрямо проекционните равнини. 3. Принадлежност на точка към права. 4. Следи от права линия. 5. Деление на отсечка в дадено отношение. 6. Определяне на дължината на права отсечка и ъглите на наклона на права спрямо проекционните равнини. 7. Взаимно разположение на прави линии.
1ПРАВ
Проекцията на права линия в общия случай е права, с изключение на случая, когато правата е перпендикулярна на равнината (фиг. 10).
За да начертаете права линия, определете координатите х, г, zдве точки от права линия и прехвърлете тези стойности на чертежа.
2 ПОЗИЦИЯ НА ПРАВАТА ОТНОСНО РАВНИНИТЕ НА ПРОЕКЦИИ
AT
в зависимост от положението на правата линия спрямо проекционните равнини, тя може да заема както общо, така и частно положение.
П права проекция обща позицияпо-малко от правата линия.
Има възходяща линия - това е права линия, която се издига при отдалечаване от наблюдателя (фиг. 11) и низходяща линия, която намалява.
ч П 1 ; З = конст
ч 2 0хзнак
ч 3 0прихоризонтална
ч 1 = ч - собственост
хоризонтална
е ъгълът на наклона на правата към
равнина P 1
е ъгълът на наклона на правата към
равнина P 2
е ъгълът на наклона на правата към
равнина P 3
?
= 0
= (ч 1 P 2) обозначавам
Ориз. 12. Хоризонтално
= (ч 1 P 3) на чертежа
f П 2 ; y= конст
f 1 0хзнак
f 3 0zчелни
f 2 = f - челно свойство
?
= 0
= (f 2 P 1) обозначавам
= (f 2 P 3) на чертежа
Ориз. 13. Фронтален
Р П 3 ; x = конст
Р 1 0признак
Р 2 0zпрофил прав
Р 3 = Р – свойство на профила
прав
= 0
?
= (Р 3 P 1) обозначавам
= (Р 3 P 2) на чертежа
Ориз. 14. Профил прав
а P 1
а 2 0хзнак
а 3 0при
?
=
b P 2
b 1 0хзнак
b 3 0z
?
=
° С P 3
° С 1 0признак
с 2 0z
?
=
3 ТОЧКА ПРИНАДЛЕЖНОСТ КЪМ ДИРЕКТ
T теорема:
Ако в пространството точка принадлежи на права линия, тогава на диаграмата проекциите на тази точка са върху едноименните проекции на правата (фиг. 18):
М AB,
д AB.
справедлив обратна теорема
:
М 1 А 1 б 1 ;
М 2 А 2 б 2 М AB.
4 ПИСТИ ДИРЕКТНО
с
?
лед
– е точка, пресечена от права линия с равнината на проекциите (фиг. 19).Тъй като следата принадлежи на една от проекционните равнини, нейната една координата трябва да бъде равна на нула.
определям на з = к ∩ П 1 - хоризонтална писта
чертеж (фиг. 19) Е = к ∩ П 2 - предна следа
?
P =к ∩
П 3
- профилна писта
Правило за проследяване:
За да се изгради хоризонтална следа на права линия ... .. е необходимо да има челна проекция ... .. права линия ... .. продължете до пресичането й с оста х, след това от точката на пресичане с оста хвъзстановете перпендикуляр към него и продължете хоризонталната ... .. проекция на правата линия ...... докато се пресече с този перпендикуляр.
Предната следа е изградена по подобен начин.
5 РАЗДЕЛЕНИЕ НА ЕДИН РЕД В ТОВА СЪОТНОШЕНИЕ
От свойствата на паралелната проекция е известно, че ако една точка разделя отсечка в дадено съотношение, тогава проекциите на тази точка разделят проекциите на правата със същото име в същото отношение.
Следователно, за да се раздели определен сегмент на диаграма в дадено съотношение, е необходимо да се разделят неговите проекции в същото съотношение.
Познавайки това условие, е възможно да се определи дали точката принадлежи на Да се прав AB : И 2 Да се 2 : Да се 2 AT 2 ¹ И 1 Да се 1 : Да се 1 AT 1 Þ Да се Ï AB
Пример:За разделяне на линия AB в съотношение 2:3 извън точка И 1 начертайте произволен сегмент И 1 AT 0 1 разделен на пет равни части (фиг. 20): А 1 К 0 1 = 2 части, К 0 1 б 0 1 = 3 части, И 1 Да се 0 1 :Да се 0 1 AT 0 1 =2: 3
свържете точка AT 0 1 с точки AT 1 и плъзгане от точката Да се 0 1 успореден ред ( AT 1 AT 0 1) вземете проекцията на точката Да сеедин . Според теоремата на Талес (Ако равни сегменти са отделени от едната страна на ъгъла и през краищата им са начертани успоредни линии, които пресичат другата страна, тогава равни сегменти ще бъдат отложени от другата страна) И 1 Да се 1: Да се 1 AT 1 = = 2: 3, тогава намираме Да се 2. проекционна точка на пътя Да серазделете проекциите на сегмента със същото име ABв това отношение, следователно, точката Да серазделя сегмента ABв съотношение 2:3.
6 ОПРЕДЕЛЯНЕ НА ДЪЛЖИНА НА ОТДЕЛНА ЛИНИЯ И ЪГЛИ
НАКЛОНЕТЕ ДИРЕКТНО КЪМ РАВНИНИТЕ НА ПРОЕКЦИИ
Дължина на рязане AB
може да се определи от правоъгълен триъгълник ABC
, къде А
с
=
А
1
б
1
, CB
=
ДЗ, ъгъл а- ъгъл на наклон на сегмента спрямо равнината П 1
. За да направите това, на диаграмата (фиг. 21) от точката б
1
под ъгъл 90 чертаем отсечка б
1
б
1
0
=
ДЗ,
получен сегмент А
1
б
1
0
и ще бъде естествената стойност на сегмента AB
, и ъгълът б
1
А
1
б
1
0
= α
. Разглежданият метод се нарича метод правоъгълен триъгълник
. Въпреки това, всички конструкции могат да бъдат обяснени като въртене на триъгълник ABC
около страната КАТО
докато стане успореден на равнината П 1
, в този случай триъгълникът се проектира върху проекционната равнина без изкривяване. За определяне b- ъгълът на наклона на сегмента спрямо равнината П 2
конструкции са подобни (фиг. 22). Само в триъгълник ABC
страна слънце
=
дU
и триъгълникът е подравнен с равнината П 2
.
? Обозначете проекциите на правата и
определяне на ъгъла α.
Обозначете проекциите на правата и
определяне на ъгъла α.
Обозначете проекциите на правата и
определяне на ъгъла β.
7 СВЪРЗАНА ПОЗИЦИЯ НА ЛИНИИТЕ
Правите в пространството могат да се пресичат, пресичат и да са успоредни.
1. пресичащи се линии са прави, които лежат в една равнина и имат обща точка (а ∩ b = К).
Теорема:Ако линиите се пресичат в пространството, то техните едноименни проекции се пресичат на чертежа (фиг. 23).
T точката на пресичане на едноименните проекции е на един перпендикуляр на оста х (Да се 1 Да се 2 О х).
Да се = а ∩ b Да се а; Да се b Да се 1 = а 1 ∩ b 1 ;
Да се 2 = а 2 ∩ b 2 .
Обратната теорема също е вярна:
Ако Да се 1 а 1 ; Да се 2 b 2, тогава
Да се 1 = а 1 ∩ b 1 ;
Да се 2 = а 2 ∩ b 2 Да се = а ∩ b.
2.
Кръстосани линии
- това са прави линии, които не лежат в една равнина и нямат обща точка (фиг. 24).
Двойки точки 1 и 2 лежащи върху хоризонтално издадена права се наричат хоризонтално съревноваващи се, а точките 3 и 4 - фронтално състезателен. Те определят видимостта на диаграмата.
П за хоризонтално конкуриращи се точки 1 и 2 видимостта се определя спрямо P 1 . Точка 1 по-близо до окото на наблюдателя, ще се вижда на равнината P 1. От точка 1 м, след това правата линия мще бъде по-висока от линията н.
Коя линия ще се вижда спрямо равнинатаП 2
?
3.
Паралелни линии
са прави, които лежат в една равнина и имат неправилна обща точка.
Теорема:
д Ако правите са успоредни в пространството, то техните едноименни проекции са успоредни на чертежа (фиг. 25).
Ако к м к 1 м 1 , к 2 м 2 , к 3 м 3
Обратната теорема е вярна:
Ако к 1 м 1 ; к 2 м 2 к м
Лекция №3
САМОЛЕТ
1. Методи за задаване на равнина в чертеж. Следи от самолет. 2. Положението на равнината спрямо проекционните равнини. 3. Принадлежност на точка и права на равнина. 4. Основни (специални) линии на самолета.
1 МЕТОДИ ЗА ЗАДАВАНЕ НА РАВНИНАТА В ЧЕРТЕЖА.
САМОЛЕТНА ПЪТЕКА
Самолет- безкрайна линейна повърхност във всички посоки, която по цялата си дължина няма кривина и пречупване.
Равнината в чертежа може да бъде зададена:
Три точки, които не лежат на една права линия - P (А, б, ° С) , ориз. 26.
Права и точка, която не лежи на тази права – П (м, А; А м) , ориз. 27.Ориз. 29 Фиг. тридесет
Определяне на равнина със следисамолетна следа - линията на пресичане на равнината с равнината на проекциите (фиг. 31).
Хоризонтална песен се получава, когато равнината P се пресича с хоризонталната равнина на проекциите (P P1 = P ∩ P 1).
R P2 = R ∩ P 2 – челен отпечатък ;
Р P3 = R ∩ P 3 – профилен отпечатък ;
Р х, Р г, Р z – точки на изчезване .
Система от три взаимно перпендикулярни равнини
Оформяне на сложен чертеж (диаграма)
За удобство при използване на получените изображения от пространствената система от равнини, нека преминем към равнинната.
За това:
1. Приложете метода на завъртане на равнината p 1 около оста X, докато съвпадне с равнината p 2 (фиг. 1)
2. Комбинираме равнините p 1 и p 2 в една равнина на чертежа (фиг. 2)
Снимка 1 | Фигура 2 |
Проекциите A 1 и A 2 са разположени на една и съща комуникационна линия, перпендикулярна на оста X. Тази линия обикновено се нарича проекционна комуникационна линия (фиг. 3).
Фигура 3
Тъй като равнината на проекцията се счита за безкрайна в пространството, границите на равнината p 1, p 2 могат да бъдат пропуснати (фиг. 4).
Фигура 4
В резултат на комбинирането на равнините p 1 и p 2 се получава сложен чертеж или диаграма (от френското epure drawing), ᴛ.ᴇ. чертеж в системата p 1 и p 2 или в системата на две проекционни равнини. Заменяйки визуалното изображение с диаграма, ние загубихме пространствената картина на разположението на проекционните равнини и точки. Но диаграмите осигуряват точност и четливост на изображенията със значителна простота на конструкцията.
Дадена точка в пространството може да има различни позиции спрямо проекционните равнини.
Точковите изображения могат да бъдат конструирани по различни начини:
- думи (вербални);
- графично (чертежи);
- визуално изображение (обемно);
- равнинен (сложен чертеж).
маса 1
Пример за изображение на точки, принадлежащи на равнините p 1 и p 2
Точкова позиция | визуален образ | Интегриран чертеж | Характерни особености |
Точка A принадлежи на равнината p 1 | A 1 - под оста X, A 2 - по оста X | ||
Точка B принадлежи на равнината p 1 | B 1 - над оста X, B 2 - по оста X | ||
Точка C принадлежи на равнината p 2 | C 2 - над оста X, C 1 - по оста X | ||
Точка D принадлежи на равнината p 2 | D 1 - по оста X, D 2 - под оста X | ||
Точка E принадлежи на оста X | E 1 е същото като E 2 и принадлежи на оста X |
Снимка 1
Помислете за три взаимно перпендикулярни равнини p1 , p2 , стр. 3 (ориз. един). Вертикалната равнина p 3 се нарича азпрофилна проекционна равнина. Пресичащи се една с друга, равнини p 1 , p2 , p 3 образуват проекционните оси, докато пространството е разделено на 8 октанта.
стр 1 стр 2=x; -х
стр 1 стр 3 = y; -y
стр 2 стр 3=z; -z
0 е пресечната точка на проекционните оси.
Проекционните равнини, пресичащи се по двойки, определят три оси x, y, z, които могат да се разглеждат като система от декартови координати: оста хнаречена ос x, оста г- оста y, оста З- приложимата ос, точката на пресичане на осите, означена с буквата О,е началото на координатите.
За да получим сложен чертеж, прилагаме метода на завъртане на равнините p 1 и p 3, докато съвпаднат с равнината p 2. Крайният изглед на всички равнини в първия октант е показан на фиг. 2.
Фигура 2
Ето брадвите воли Оз, лежащи във фиксираната равнина p 2 , са показани само веднъж, оста Ойпоказано два пъти. Това се обяснява с факта, че, въртейки се с равнината p 1, оста гна диаграмата е подравнен с оста Ози се върти с равнината p 3, същата ос е подравнена с оста вол.
Всяка точка в пространството се задава с координати. По знаците на координатите можете да определите октанта, в който се намира дадената точка. За да направите това, ние използваме таблицата. 1, който разглежда знаците на координатите в октанти 1–4 (октанти 5–8 не са представени, те имат отрицателна стойност х, а ги zсе повтарят).
маса 1
х | г | z | Октант |
+ | + | + | аз |
+ | _ | + | II |
+ | _ | _ | III |
+ | + | _ | IV |
Има много детайли, информацията за формата на които не може да бъде предадена от две проекции на чертежа (фиг. 75).
За да може информацията за сложната форма на детайла да бъде представена доста пълно, проекцията се използва върху три взаимно перпендикулярни проекционни равнини: фронтална - V, хоризонтална - H и профил - W (чете се "двойно ve").
Системата от проекционни равнини е тристенен ъгъл с връх в точка O. Пресечните точки на равнините на тристенния ъгъл образуват прави линии - проекционните оси (OX, OY, OZ) (фиг. 76).
Обектът се поставя в тристенен ъгъл, така че лицето и основата му да са успоредни съответно на фронталната и хоризонталната проекционна равнина. След това през всички точки на обекта, перпендикулярни на трите проекционни равнини, се прекарват проектиращи лъчи, върху които се получават фронтални, хоризонтални и профилни проекции на обекта. След проекцията обектът се отстранява от тристенния ъгъл и след това хоризонталната и профилната проекционна равнина се завъртат съответно на 90* около осите OX и OZ, докато съвпаднат с равнината на предната проекция, и детайлен чертеж, съдържащ три проекции се получава.
Ориз. 75. Проекцията върху две проекционни равнини не винаги дава
пълна картина на формата на обекта
Ориз. 76. Проекция върху три взаимно перпендикулярни
проекционни равнини
Трите проекции на чертежа са свързани помежду си. Фронталните и хоризонталните проекции запазват проекционната връзка на изображенията, т.е. проекционните връзки се установяват между фронталните и хоризонталните, фронталните и профилните, както и хоризонталните и профилните проекции (виж фиг. 76). Линиите на отношение на проекцията определят местоположението на всяка проекция върху чертожното поле.
В много страни по света е приета друга система за правоъгълна проекция върху три взаимно перпендикулярни проекционни равнини, която условно се нарича "американска" (виж Приложение 3). Основната му разлика е, че по различен начин спрямо проектирания обект в пространството е разположен тристенен ъгъл и проекционните равнини се разгръщат в други посоки. Следователно хоризонталната проекция е над фронталната, а профилната проекция е вдясно от фронталната.
Формата на повечето предмети е комбинация от различни геометрични тела или техни части. Следователно, за да четете и изпълнявате чертежи, трябва да знаете как геометричните тела са изобразени в система от три проекции в производството (Таблица 7). (Чертежи, съдържащи три изгледа, се наричат мултичертежи.)
7. Комплексни и производствени чертежи на детайли с проста геометрична форма
Забележки: 1. В зависимост от характеристиките на производствения процес на чертежа се изобразяват определен брой издатини. 2. На чертежите е обичайно да се дават най-малкия, но достатъчен брой изображения, за да се определи формата на обекта. Броят на чертежните изображения може да бъде намален чрез използване на символите s, l, ? които вече знаете.
Позицията на равнината в пространството се определя от:
- три точки, които не лежат на една права линия;
- права линия и точка извън правата линия;
- две пресичащи се линии;
- две успоредни линии;
- плоска фигура.
В съответствие с това равнината може да бъде зададена на диаграмата:
- проекции на три точки, които не лежат на една права линия (Фигура 3.1, а);
- проекции на точка и права линия (Фигура 3.1, b);
- проекции на две пресичащи се линии (Фигура 3.1, c);
- проекции на две успоредни линии (Фигура 3.1, d);
- плоска фигура (Фигура 3.1, д);
- самолетни следи;
- линията на най-големия наклон на равнината.
Фигура 3.1 - Методи за уточняване на равнини
Самолет в общо положениее равнина, която не е нито успоредна, нито перпендикулярна на никоя от проекционните равнини.
Следване на самолетасе нарича права линия, получена в резултат на пресичането на дадена равнина с една от проекционните равнини.
Една обща равнина може да има три следи: хоризонтална – απ 1, челен – απ 2 и профил – απ 3 , която образува при пресичане с известни проекционни равнини: хоризонтална π 1 , фронтална π 2 и профил π 3 (Фигура 3.2).
Фигура 3.2 - Следи от равнина с общо положение
3.2. Частни позиции самолети
Самолет за частна позиция- равнина, перпендикулярна или успоредна на равнината на проекциите.
Равнина, перпендикулярна на проекционната равнина, се нарича проекционна равнина и ще бъде проектирана върху тази проекционна равнина под формата на права линия.
Свойство на проекционната равнина: всички точки, линии, плоски фигури, принадлежащи на проектиращата равнина, имат проекции върху наклонената следа на равнината(Фигура 3.3).
Фигура 3.3 - Равнина, проектирана отпред, към която принадлежат: точки И, AT, с; линии AU, AB, слънце; триъгълна равнина ABC
Равнина на фронтална проекция – равнина, перпендикулярна на равнината на фронталната проекция(Фигура 3.4, а).
Хоризонтална проекционна равнина – равнина, перпендикулярна на хоризонталната проекционна равнина(Фигура 3.4, b).
Профилно-проектираща равнина – равнина, перпендикулярна на профилната равнина на проекциите.
Равнините, успоредни на проекционните равнини, се наричат нивелирани равниниили двойно проектирани равнини.
Равнина на фронтално ниво – равнина, успоредна на равнината на предната проекция(Фигура 3.4, c).
Хоризонтална нивелирана равнина – равнина, успоредна на хоризонталната проекционна равнина(Фигура 3.4, d).
Нивелирана профилна равнина – равнина, успоредна на равнината на проекцията на профила(Фигура 3.4, д).
Фигура 3.4 - Графики на равнини с определена позиция
3.3. Точка и права в равнината. Принадлежност на точка и права равнина
Една точка принадлежи на равнина, ако принадлежи на която и да е права, лежаща в тази равнина(Фигура 3.5).
Една права принадлежи на равнина, ако има поне две общи точки с равнината.(Фигура 3.6).
Фигура 3.5 - Принадлежност на точка в равнината
α = м // н
д∈ н⇒ д∈ α
Фигура 3.6 - Принадлежност към права равнина
Упражнението
Дадена е равнина, определена от четириъгълник (Фигура 3.7, а). Необходимо е да завършите хоризонталната проекция на върха с.
а | b |
Фигура 3.7 - Решение на проблема
Решение:
- ABCDе плосък четириъгълник, определящ равнина.
- Нека начертаем диагонали в него ACи BD(Фигура 3.7, b), които са пресичащи се линии, също определящи една и съща равнина.
- Според критерия за пресичащи се линии, ние изграждаме хоризонтална проекция на пресечната точка на тези линии - Кспоред известната му фронтална проекция: А 2 ° С 2 ∩ б 2 д 2 =К 2 .
- Възстановете линията на проекционната връзка до пресечната точка с хоризонталната проекция на правата линия BD: върху диагоналната проекция б 1 д 1 сграда Да се 1 .
- През И 1 Да се 1 извършваме проекцията на диагонала И 1 с 1 .
- точка с 1 получаваме с помощта на проекционната свързваща линия до пресичането й с хоризонталната проекция на разширения диагонал И 1 Да се 1 .
3.4. Основни линии на самолета
В равнината могат да се построят безкрайно много прави, но в равнината лежат специални прави, т.нар. основните линии на самолета (Фигура 3.8 - 3.11).
Право ниво или равнинен паралелсе нарича права, лежаща в дадена равнина и успоредна на една от проекционните равнини.
Хоризонтално или хоризонтална линия на ниво ч(първи паралел) е права линия, лежаща в дадена равнина и успоредна на хоризонталната равнина на проекциите (π 1)(Фигура 3.8, а; 3.9).
Фронтален или предно право ниво f(втори паралел) е права линия, лежаща в дадена равнина и успоредна на фронталната равнина на проекциите (π 2)(Фигура 3.8, b; 3.10).
Ниво на профилна линия стр(трети паралел) е права линия, лежаща в дадена равнина и успоредна на профилната равнина на проекциите (π 3)(Фигура 3.8, c; 3.11).
Фигура 3.8 а - Хоризонтална права линия на нивото в равнината, дадена от триъгълника
Фигура 3.8 b - Челна линия на нивото в равнината, дадена от триъгълника
Фигура 3.8 c - Профилна линия на ниво в равнината, определена от триъгълника
Фигура 3.9 - Хоризонтална права линия на нивото в равнината, определена от следи
Фигура 3.10 - Линия на фронтално ниво в равнината, определена от следи
Фигура 3.11 - Профилна линия на ниво в равнината, определена от следи
3.5. Взаимно положение на права и равнина
Една права по отношение на дадена равнина може да бъде успоредна и да има обща точка с нея, тоест да се пресича.
3.5.1. Успоредност на права равнина
Признак за успоредност на права равнина: една права е успоредна на равнина, ако е успоредна на която и да е права в тази равнина(Фигура 3.12).
Фигура 3.12 - Успоредност на права равнина
3.5.2. Пресечна точка на права с равнина
За да се изгради точката на пресичане на права линия с равнина на общо положение (Фигура 3.13), е необходимо:
- Сключете права линия ав спомагателната равнина β (като спомагателна равнина трябва да се изберат равнините на частичното положение);
- Намерете пресечната линия на спомагателната равнина β с дадената равнина α;
- Намерете пресечната точка на дадена права ас линия на пресичане на равнини MN.
Фигура 3.13 - Построяване на пресечна точка на права с равнина
Упражнението
Дадено: директно ABв общо положение равнината σ⊥π 1 . (Фигура 3.14). Построяване на пресечна точка на права ABс равнината σ.
Решение:
- Равнината σ е хоризонтално проектирана, следователно хоризонталната проекция на равнината σ е правата линия σ 1 (хоризонталната следа на равнината);
- Точка Да сетрябва да принадлежи на линията AB ⇒ Да се 1 ∈И 1 AT 1 и дадена равнина σ ⇒ Да се 1 ∈σ 1 , следователно, Да се 1 е в точката на пресичане на проекциите И 1 AT 1 и σ 1;
- Фронтална проекционна точка Да сенамираме с помощта на проекционната свързваща линия: Да се 2 ∈И 2 AT 2 .
Фигура 3.14 - Пресечна точка на линия в общо положение с равнина в конкретно положение
Упражнението
Дадено е: равнина σ = Δ ABC– общо положение, прав EF(Фигура 3.15).
Необходимо е да се построи пресечна точка на права EFс равнината σ.
а | b |
Фигура 3.15 - Пресечна точка на права линия с равнина
- Да сключим права линия EFв спомагателната равнина, за която ще използваме хоризонтално проектираната равнина α (Фигура 3.15, а);
- Ако α⊥π 1, тогава върху равнината на проекциите π 1 равнината α се проектира в права линия (хоризонтална следа на равнината απ 1 или α 1), съвпадаща с д 1 Е 1 ;
- Нека намерим пресечната линия (1-2) на проектиращата равнина α с равнината σ (решението на такава задача ще бъде разгледано);
- Линия (1-2) и дадена линия EFлежат в една и съща равнина α и се пресичат в точка К.
Алгоритъм за решаване на проблема (Фигура 3.15, b):
През EFначертайте спомагателна равнина α:
3.6. Определяне на видимостта по метода на конкурентните точки
При оценката на положението на тази линия е необходимо да се определи - точката на кой участък от линията е по-близо (по-далеч) до нас, като наблюдатели, когато гледаме проекционната равнина π 1 или π 2 .
Точки, които принадлежат на различни обекти и на една от проекционните равнини техните проекции съвпадат (т.е. две точки се проектират в една), се наричат конкуриращи се на тази проекционна равнина.
Необходимо е отделно да се определи видимостта на всяка проекционна равнина.
Видимост при π 2 (фиг. 3.15)
Избираме конкуриращи се точки на π 2 - точки 3 и 4. Нека точката 3∈ BC∈σ, точка 4∈ EF.
За да се определи видимостта на точките в проекционната равнина π 2, е необходимо да се определи местоположението на тези точки в хоризонталната проекционна равнина, когато се гледа π 2 .
Посоката на гледане на π 2 е показана със стрелка.
От хоризонталните проекции на точки 3 и 4, когато се гледа π 2 , се вижда, че точка 4 1 е разположена по-близо до наблюдателя от 3 1 .
4 1 ∈д 1 Е 1 ⇒ 4∈EF⇒ точка 4 ще бъде видима на π 2, разположена на линията EF, следователно правата линия EFна мястото на разглежданите конкурентни точки се намира пред равнината σ и ще се вижда до точката К
Видимост при π 1
За да определим видимостта, избираме точки, които се състезават на π 1 - точки 2 и 5.
За да се определи видимостта на точките в равнината на проекцията π 1, е необходимо да се определи местоположението на тези точки в равнината на предната проекция, когато се гледа π 1 .
Посоката на гледане на π 1 е показана със стрелка.
От фронталните проекции на точки 2 и 5, когато се гледа π 1 , се вижда, че точка 2 2 е разположена по-близо до наблюдателя от 5 2 .
2 1 ∈И 2 AT 2 ⇒ 2∈AB⇒ точка 2 ще бъде видима на π 1, разположена на линията AB, следователно правата линия EFна сечението на разглежданите конкурентни точки се намира под равнината σ и ще бъде невидим до точката Кса пресечните точки на правата с равнината σ.
Видимата от двете конкуриращи се точки ще бъде тази с по-голяма координата "Z" или (и) "Y".
3.7. Перпендикулярност на права равнина
Знак за перпендикулярност на права равнина: Правата е перпендикулярна на равнина, ако е перпендикулярна на две пресичащи се прави, лежащи в дадената равнина.
а | b |
Фигура 3.16 - Задаване на права линия, перпендикулярна на равнината
Теорема. Ако правата линия е перпендикулярна на равнината, тогава на диаграмата: хоризонталната проекция на правата линия е перпендикулярна на хоризонталната проекция на хоризонталната равнина, а фронталната проекция на правата линия е перпендикулярна на фронталната проекция на фронталната (Фигура 3.16, b)
Теоремата се доказва чрез проекционната теорема прав ъгълв конкретен случай.
Ако равнината е дадена със следи, тогава проекциите на права линия, перпендикулярна на равнината, са перпендикулярни съответните следиравнина (Фигура 3.16, а).
Нека линията стрперпендикулярна на равнината σ=Δ ABCи минава през точката К.
- Да построим хоризонтала и фронтал в равнината σ=Δ ABC : А-1∈σ; А-1//π 1; С-2∈σ; С-2//π 2 .
- Възстановяване от точка Кперпендикулярна на дадената равнина: p1⊥h1и p2⊥f2, или p1⊥απ 1 и p2⊥απ 2
3.8. Взаимно положение на две равнини
3.8.1. Плоскопаралелност
Две равнини могат да бъдат успоредни и да се пресичат една с друга.
Знак за успоредност на две равнини: Две равнини са взаимно успоредни, ако две пресичащи се прави от едната равнина са съответно успоредни на две пресичащи се прави от другата равнина.
Упражнението
Дадена е равнина в общо положение α=Δ ABCи точка Е∉α (Фигура 3.17).
Чрез точката Еначертайте равнина β, успоредна на равнината α.
Фигура 3.17 - Построяване на равнина, успоредна на дадена
Решение:
За пресичащи се прави на равнината α приемаме например страните на триъгълника AB и BC.
- Чрез точката Еначертайте права линия м, паралелно, например AB.
- Чрез точката Е, или през всяка точка, принадлежаща на м, начертайте права линия н, паралелно, например слънце, освен това m∩n=F.
- β = м∩ни β//α по дефиниция.
3.8.2. Пресичане на равнини
Резултатът от пресичането на 2 равнини е права линия. Всяка права линия в равнина или в пространството може да бъде уникално определена от две точки. Следователно, за да се изгради линия на пресичане на две равнини, трябва да се намерят две точки, общи за двете равнини, и след това да се свържат.
Разгледайте примери за пресичане на две равнини в различни начинитехните задачи: следи; три точки, които не лежат на една права линия; паралелни линии; пресичащи се линии и др.
Упражнението
Две равнини α и β са дадени чрез следи (Фигура 3.18). Изградете линия на пресичане на равнини.
Фигура 3.18 - Пресичане на равнини в общо положение, дадено чрез следи
Процедурата за изграждане на линия на пресичане на равнини:
- Намерете пресечната точка на хоризонталните следи - това е точката М(нейните прогнози М 1 и М 2 , докато М 1 =М, защото М -точка на конкретно положение, принадлежаща на равнината π 1).
- Намерете пресечната точка на челните следи - това е точката н(нейните прогнози н 1 и н 2 , докато н 2 = н, защото Н-точка на конкретно положение, принадлежаща на равнината π 2).
- Изградете линия на пресичане на равнините, като свържете проекциите на получените точки със същото име: М 1 н 1 и М 2 н 2 .
Мн- линията на пресичане на равнините.
Упражнението
Равнина σ = Δ ABC, равнината α се проектира хоризонтално (α⊥π 1) ⇒α 1 е хоризонталната следа на равнината (Фигура 3.19).
Построете линия на пресичане на тези равнини.
Решение:
Тъй като равнината α пресича страните ABи AUтриъгълник ABC, след това пресечните точки Ки Лот тези страни с равнината α са общи за двете дадени равнини, което ще позволи чрез свързването им да се намери необходимата линия на пресичане.
Точките могат да бъдат намерени като точки на пресичане на прави с проектираща равнина: намерете хоризонталните проекции на точките Ки Л, това е К 1 и Л 1, в пресечната точка на хоризонталната следа (α 1) на дадената равнина α с хоризонталните проекции на страните Δ ABC: И 1 AT 1 и А 1 ° Седин . След това, използвайки линиите на проекционната връзка, намираме фронталните проекции на тези точки К2и Л 2 върху фронтални проекции на прави линии ABи AU. Нека комбинираме проекциите със същото име: К 1 и Л 1 ; К2и Л 2. Построена е пресечната линия на дадените равнини.
Алгоритъм за решаване на задачата:
KL– линия на пресичане Δ ABCи σ (α∩σ = KL).
Фигура 3.19 - Пресечна точка на равнини с обща и частна позиция
Упражнението
Дадени са равнини α = m//n и равнина β = Δ ABC(Фигура 3.20).
Построете пресечна линия на дадени равнини.
Решение:
- За да се намерят точките, общи за двете дадени равнини и определящи линията на пресичане на равнините α и β, е необходимо да се използват спомагателните равнини на определено положение.
- Като такива равнини избираме две спомагателни равнини с определена позиция, например: σ // τ; σ⊥π 2; τ⊥π 2 .
- Нововъведените равнини се пресичат с всяка от дадените равнини α и β по прави линии, успоредни една на друга, тъй като σ // τ:
- резултатът от пресичането на равнините α, σ и τ са прави линии (4-5) и (6-7);
- резултатът от пресичането на равнините β, σ и τ са правите (3-2) и (1-8).
- Правите (4-5) и (3-2) лежат в равнината σ; точка на пресичане Медновременно лежи в равнините α и β, тоест на линията на пресичане на тези равнини;
- По същия начин намираме точката н, общи за равнините α и β.
- Чрез свързване на точките Ми н, построяваме пресечната линия на равнините α и β.
Фигура 3.20 - Пресечна точка на две равнини в общо положение (общ случай)
Алгоритъм за решаване на задачата:
Упражнението
Равнините α = Δ ABCи β = а//b. Построете линия на пресичане на дадените равнини (Фигура 3.21).
Фигура 3.21 Решаване на задача за пресичане на равнини
Решение:
Нека използваме спомагателни секущи равнини на частно положение. Ние ги въвеждаме така, че да намалим броя на конструкциите. Например, нека въведем равнината σ⊥π 2 , ограждаща правата ав спомагателната равнина σ (σ∈ а). Равнината σ пресича равнината α по правата (1-2) и σ∩β= а. Следователно (1-2)∩ а=К.
Точка Да сепринадлежи на двете равнини α и β.
Оттук и точката К, е една от желаните точки, през които минава пресечната линия на дадените равнини α и β.
За да намерим втората точка, принадлежаща на пресечната линия на α и β, завършваме правата bв спомагателната равнина τ⊥π 2 (τ∈ b).
Чрез свързване на точките Ки Л, получаваме пресечната линия на равнините α и β.
3.8.3. Взаимно перпендикулярни равнини
Равнините са взаимно перпендикулярни, ако една от тях минава през перпендикуляр на другата.
Упражнението
Дадена е равнина σ⊥π 2 и права линия в общо положение – DE(Фигура 3.22)
Изисква се за изграждане чрез DEравнина τ⊥σ.
Решение .
Нека начертаем перпендикуляр CDкъм равнината σ – ° С 2 д 2 ⊥σ 2 (базирано на ).
Фигура 3.22 - Построяване на равнина, перпендикулярна на дадена равнина
Според теоремата за проекция на прав ъгъл ° С 1 д 1 трябва да е успореден на проекционната ос. пресичащи се линии CD∩DEопределят равнината τ. И така, τ⊥σ.
Подобно разсъждение в случай на равнина в общо положение.
Упражнението
Равнина α = Δ ABCи точка Кизвън равнината α.
Необходимо е да се построи равнина β⊥α, минаваща през точката К.
Алгоритъм за решение(Фигура 3.23):
- Да изградим хоризонтала чи челен fв дадена равнина α = Δ ABC;
- Чрез точката Кначертайте перпендикуляр bкъм равнината α (съгласно теорема за перпендикуляра към равнината: ако правата е перпендикулярна на равнината, тогава нейните проекции са перпендикулярни на наклонените проекции на хоризонталата и фронта, лежащи в равнината:б 2⊥f2; b 1⊥h1;
- Задаваме равнината β по произволен начин, например β = a∩b, така се построява равнината, перпендикулярна на дадената: α⊥β.
Фигура 3.23 - Построяване на равнина, перпендикулярна на дадения Δ ABC
3.9. Задачи за самостоятелно решаване
1. Равнина α = м//н(Фигура 3.24). Известно е, че К∈α.
Начертайте фронталната проекция на точката Да се.
Фигура 3.24
2. Построяване на следи от права, зададена от отсечка CBи определете квадрантите, през които минава (Фигура 3.25).
Фигура 3.25
3. Построете проекции на квадрат, принадлежащ на равнината α⊥π 2, ако неговият диагонал MN//π 2 (Фигура 3.26).
Фигура 3.26
4. Построяване на правоъгълник ABCDс по-голямата страна слънцена права линия м, въз основа на условието, че отношението на неговите страни е 2 (Фигура 3.27).
Фигура 3.27
5. Равнина α= а//b(Фигура 3.28). Построете равнина β, успоредна на равнината α и на разстояние 20 mm от нея.
Фигура 3.28
6. Равнина α=∆ ABCи точка д дравнина β⊥α и β⊥π 1 .
7. Дадена е равнина α=∆ ABCи точка дизвън самолета. Конструирайте през точка ддиректен DE//α и DE//π 1.